數(shù)學(xué)第二部分 空間與圖形 第二十三課時(shí) 菱形

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1、第第2323課時(shí)課時(shí)菱菱形形-2-3-1.菱形定義:(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形,叫做菱形.(2)順次連接對(duì)角線相等的四邊形(矩形、等腰梯形)的各邊中點(diǎn)得到菱形.2.菱形的性質(zhì):邊:(1)菱形的對(duì)邊平行且相等,菱形的四條邊相等;角:(2)菱形的對(duì)角相等;對(duì)角線:(3)菱形的對(duì)角線互相垂直平分,并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.對(duì)稱性:(4)菱形既是軸對(duì)稱圖形(2條對(duì)稱軸),也是中心對(duì)稱圖形,對(duì)角線的交點(diǎn)是它的對(duì)稱中心.-4-3.菱形的判定:邊:(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;(2)四條邊相等的四邊形是菱形;角:對(duì)角線:(3)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形;(4)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形

2、是菱形.-5-1.(2017益陽(yáng))下列性質(zhì)中菱形不一定具有的性質(zhì)是 ( C )A.對(duì)角線互相平分B.對(duì)角線互相垂直 C.對(duì)角線相等 D.既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形2.(2017十堰)下列命題錯(cuò)誤的是 ( C )A.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形B.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形C.一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形3.(2017南充)已知菱形的周長(zhǎng)為4 ,兩條對(duì)角線的和為6,則菱形的面積為 ( D )A.2B. C.3D.4-6-考點(diǎn)考點(diǎn)1菱形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)【例1】(2017廣東)如圖所示,已知四邊形ABCD,ADEF都是菱形,BAD=FAD,BAD為

3、銳角.(1)求證:ADBF;(2)若BF=BC,求ADC的度數(shù).-7-【名師點(diǎn)撥】 此題考點(diǎn)為菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定、性質(zhì).(1)連結(jié)DB、DF.根據(jù)菱形四邊相等得出AB=AD=FA,再利用SAS證明BAD FAD,得出DB=DF,那么D在線段BF的垂直平分線上,又AB=AF,即A在線段BF的垂直平分線上,進(jìn)而證明ADBF;(2)設(shè)ADBF于H,作DGBC于G,證明DG= CD.在直角CDG中得出C=30,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出ADC=180-C=150.-8-【我的解法】 解:(1)證明:如圖,連結(jié)DB、DF.四邊形ABCD,ADEF都是菱形,AB=BC=CD=DA,AD=DE=E

4、F=FA.在BAD與FAD中,AB=AF,BAD=FAD,AD=AD,BAD FAD,DB=DF,D在線段BF的垂直平分線上,AB=AF,A在線段BF的垂直平分線上,AD是線段BF的垂直平分線,ADBF;-9-(2)如圖,設(shè)ADBF于H,作DGBC于G,則四邊形BGDH是矩形, BCAD,ADC=180-C=150.【題型感悟】 熟記菱形的性質(zhì)和全等三角形的判斷、性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.-10-【考點(diǎn)變式】(2017自貢)如圖,點(diǎn)E,F分別在菱形ABCD的邊DC,DA上,且CE=AF.求證:ABF=CBE.解:四邊形ABCD是菱形,AB=BC,A=C,ABF CBE(SAS),ABF=CBE.-11

5、-考點(diǎn)考點(diǎn)2菱形的判定菱形的判定【例2】(2017張家界)如圖,在平行四邊形ABCD中,邊AB的垂直平分線交AD于點(diǎn)E,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接AF,BE.(1)求證:AGE BGF;(2)試判斷四邊形AFBE的形狀,并說(shuō)明理由.【名師點(diǎn)撥】 此題考點(diǎn)為平行四邊形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);線段垂直平分線的性質(zhì)及菱形的判斷.(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出ADBC,得出AEG=BFG,由AAS證明AGE BGF即可;(2)由全等三角形的性質(zhì)得出AE=BF,由ADBC,證出四邊形AFBE是平行四邊形,再根據(jù)EFAB,即可得出結(jié)論.-12-【我的解法】 解:(1)證明:四邊形ABCD是平行四邊形

6、,ADBC,AEG=BFG,EF垂直平分AB,AG=BG,在AGE和BGF中,AEG=BFG,AGE=BGF,AG=BG,AGE BGF(AAS);(2)四邊形AFBE是菱形,理由如下:AGE BGF,AE=BF,ADBC,四邊形AFBE是平行四邊形,又EFAB,四邊形AFBE是菱形.【題型感悟】 熟練掌握菱形的判斷方法是解題的關(guān)鍵.-13-【考點(diǎn)變式】(2017襄陽(yáng))如圖,AEBF,AC平分BAE,且交BF于點(diǎn)C,BD平分ABF,且交AE于點(diǎn)D,連接CD.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)若ADB=30,BD=6,求AD的長(zhǎng).解:(1)證明:AEBF,ADB=CBD,又BD平分ABF,

7、ABD=CBD,ABD=ADB,AB=AD,同理:AB=BC,AD=BC,四邊形ABCD是平行四邊形,又AB=AD,四邊形ABCD是菱形;-14-一、選擇題1.(2017海南)如圖,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,則ABC的周長(zhǎng)是 ( C )A.14B.16C.18 D.202.(2017長(zhǎng)沙)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD的長(zhǎng)分別為6 cm,8 cm,則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)為 ( D )A.5 cmB.10 cmC.14 cmD.20 cm-15-3.(2017河南)如圖,在 ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,添加下列條件不能判定 ABCD是菱形的只有 ( C )A.ACBDB.

8、AB=BCC.AC=BDD.1=2-16-二、填空題4.(2017南寧)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,AC=2,BD=2 ,將菱形按如圖方式折疊,使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合,折痕為EF,則五邊形AEFCD的周長(zhǎng)為7.5.(2017菏澤)菱形ABCD中,A=60,其周長(zhǎng)為24 cm,則菱形的面積為18 cm2.-17-三、解答題6.(2017永州)如圖,已知四邊形ABCD是菱形,DFAB于點(diǎn)F,BECD于點(diǎn)E.(1)求證:AF=CE;(2)若DE=2,BE=4,求sinDAF的值.解:(1)證明:四邊形ABCD是菱形,AD=BC,A=C.又DFAB,BECD,AFD=CEB=90,在ADF和CBE中,AFD=CEB,A=C,AD=CB,ADF CBE.AF=CE.(2)設(shè)BC=x,則CE=x-2,在RtBCE中,BE2+CE2=BC2,42+(x-2)2=x2,x=5,