2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用滾動訓(xùn)練一 新人教A版選修2-2

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1、2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用滾動訓(xùn)練一 新人教A版選修2-2 一、選擇題 1．自變量x從x0變化到x1時，函數(shù)值的增量與相應(yīng)自變量的增量之比是函數(shù)(　　) A．從x0到x1的平均變化率 B．在x＝x1處的變化率 C．在x＝x1處的變化量 D．在區(qū)間[x0，x1]上的導(dǎo)數(shù) 考點　平均變化率 題點　函數(shù)的平均變化率 答案　A 解析?。奖硎竞瘮?shù)從x0到x1的平均變化率． 2．下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是(　　) A．(a－x2)′＝1－2x B．(2)′＝3 C．(cos 60°)′＝－sin 60° D．[ln(2x)]′＝ 考點　導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用

2、 題點　導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 答案　B 解析　根據(jù)題意，依次分析選項： 對于A，(a－x2)′＝a′－(x2)′＝－2x，故A錯誤； 對于B，(2)′＝()′＝2××＝3，故B正確； 對于C，(cos 60°)′＝0，故C錯誤； 對于D，[ln(2x)]′＝(2x)′＝，故D錯誤．故選B. 3．函數(shù)y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，則實數(shù)a的值為(　　) A. B．0 C．1 D．2 考點　導(dǎo)數(shù)乘除法則及運算 題點　導(dǎo)數(shù)乘除法則及運算 答案　C 解析　y′＝(1－ax)2＋x[(1－ax)2]′ ＝(1－ax)2＋x[2(1－ax)(－a)]

3、＝(1－ax)2－2ax(1－ax)， 由y′|x＝2＝(1－2a)2－4a(1－2a) ＝12a2－8a＋1＝5(a>0)， 解得a＝1. 4．曲線y＝ln x在點M處的切線過原點，則該切線的斜率為(　　) A．1 B．e C．－ D. 考點　導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 題點　導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 答案　D 解析　設(shè)M(x0，ln x0)， 由y＝ln x得y′＝， 所以切線斜率k＝＝， 所以切線方程為y－ln x0＝(x－x0)． 由題意得0－ln x0＝(0－x0)＝－1， 即ln x0＝1，所以x0＝e. 所以k＝＝，故選D. 5．已知函數(shù)f(x)＝asin x

4、＋bx3＋1(a，b∈R)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(2 016)＋f(－2 016)＋f′(2 017)－f′(－2 017)等于(　　) A．2 017 B．2 016 C．2 D．0 考點　導(dǎo)數(shù)的加減法則及運算 題點　導(dǎo)數(shù)的加減法則及運算 答案　C 解析　函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝acos x＋3bx2， 則f′(x)為偶函數(shù)，則f′(2 017)－f′(－2 017) ＝f′(2 017)－f′(2 017)＝0， 由f(x)＝asin x＋bx3＋1， 得f(2 016)＝asin 2 016＋b·2 0163＋1， f(－2 016)＝－asin

5、 2 016－b·2 0163＋1， 則f(2 016)＋f(－2 016)＝2， 則f(2 016)＋f(－2 016)＋f′(2 017)－f′(－2 017)＝2＋0＝2，故選C. 6．設(shè)f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R且為常數(shù))，曲線y＝f(x)與直線y＝x在點(0,0)相切，則a＋b的值為(　　) A．－1 B．1 C．0 D．2 答案　A 解析　由y＝f(x)過點(0,0)得b＝－1， ∴f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax－1， ∴f′(x)＝＋＋a， 又∵曲線y＝f(x)與直線y＝x在點(0,0)相切，即曲線y＝f(x)在點(0,0)處切線的

6、斜率為， ∴f′(0)＝，即1＋＋a＝， ∴a＝0，故a＋b＝－1，選A. 7．已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f(x)的一個“巧值點”．給出四個函數(shù)：①f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝ln x，④f(x)＝tan x，其中有“巧值點”的函數(shù)的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考點　導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 題點　導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 答案　B 解析　根據(jù)題意，依次分析所給的函數(shù)： ①若f(x)＝x2，則f′(x)＝2x，由x2＝2x，得x＝0或x＝2，這個方程顯然有解，①符合要求； ②若f(x)

7、＝e－x，則f′(x)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程無解，②不符合要求； ③f(x)＝ln x，則f′(x)＝，若ln x＝，利用數(shù)形結(jié)合可知該方程存在實數(shù)解，③符合要求； ④f(x)＝tan x，則f′(x)＝，即sin xcos x＝1，變形得sin 2x＝2，無解，④不符合要求，故選B. 8．若函數(shù)f(x)＝－eax(a>0，b>0)的圖象在x＝0處的切線與圓x2＋y2＝1相切，則a＋b的最大值為(　　) A．4 B．2 C．2 D. 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案　D 解析　函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝－eax·a，

8、所以f′(0)＝－e0·a＝－， 即在x＝0處的切線斜率k＝－， 又f(0)＝－e0＝－， 所以切點坐標為， 所以切線方程為y＋＝－x，即ax＋by＋1＝0. 圓心到直線ax＋by＋1＝0的距離d＝＝1， 即a2＋b2＝1，所以a2＋b2＝1≥2ab，即0

9、數(shù) 題點　常數(shù)、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案　 解析　∵函數(shù)f(x)＝mxm－n的導(dǎo)數(shù)為 f′(x)＝m(m－n)xm－n－1， ∴m(m－n)＝8且m－n－1＝3，解得m＝2，n＝－2， 由此可得mn＝2－2＝. 10．若某物體做運動方程為s＝(1－t)2(位移單位為m，時間單位為s)的直線運動，則其在t＝1.2 s時的瞬時速度v為________ m/s. 考點　導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用 題點　導(dǎo)數(shù)的物理意義 答案　0.4 解析　∵s＝t2－2t＋1，∴s′＝2t－2， ∴v＝s′|t＝1.2＝2×1.2－2＝0.4(m/s)． 11．函數(shù)f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－

10、3)(x－4)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)，則f′(1)＝________. 考點　導(dǎo)數(shù)的乘除法則及運算 題點　導(dǎo)數(shù)的乘除法則及運算 答案?。? 解析　∵f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)， 令g(x)＝x(x－2)(x－3)(x－4)， 則f(x)＝(x－1)g(x) ∴f′(x)＝(x－1)′g(x)＋(x－1)g′(x) ＝g(x)＋(x－1)g′(x)， 則f′(1)＝g(1)＋(1－1)g′(1)＝g(1)， ∵g(1)＝1×(1－2)(1－3)(1－4)＝－6， ∴f′(1)＝g(1)＝－6. 12．若點P是曲線y＝x2－ln x上任意一點，則點P到

11、直線y＝x－2的最小距離為________． 考點　導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 題點　導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 答案　 解析　令y′＝2x－＝1，得x＝1， 故當點P坐標為(1,1)時，它到已知直線的距離最小，最小距離d＝＝. 三、解答題 13．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲線y＝f(x)在點P(0，f(0))處的切線，求切線l的方程． 考點　求函數(shù)在某點處的切線方程 題點　求函數(shù)在某點處的切線方程 解　∵f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1， ∴f′(x)＝2ax－2＋，∴f′(0)＝－1， ∴切點P的坐標為(0,1)，l的斜率為－1，

12、 ∴切線l的方程為x＋y－1＝0. 四、探究與拓展 14．已知函數(shù)f(x)＝cos x＋e－x＋x2 016，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，則f2 017(x)等于(　　) A．－sin x＋e－x B．cos x－e－x C．－sin x－e－x D．－cos x＋e－x 考點　導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 題點　導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用 答案　C 解析　f1(x)＝f′(x)＝－sin x－e－x＋2 016x2 015， f2(x)＝f1′(x)＝－cos x＋e－x＋2 016×2 015×x2 014

13、， f3(x)＝f2′(x)＝sin x－e－x＋2 016×2 015×2 014x2 013， f4(x)＝f3′(x)＝cos x＋e－x＋2 016×2 015×2 014×2 013x2 012， …， ∴f2 016(x)＝f′2 015(x)＝cos x＋e－x＋2 016×2 015×2 014×2 013×…×1， ∴f2 017(x)＝－sin x－e－x，故選C. 15．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x及曲線y＝f(x)上一點P(1，－2)，過點P作直線l. (1)若直線l與曲線y＝f(x)相切于點P，求直線l的方程； (2)若直線l與曲線y＝f(x)相切，

14、且切點異于點P，求直線l的方程． 考點　求函數(shù)過某點的切線方程 題點　求函數(shù)過某點的切線方程 解　(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3. 過點P且以P(1，－2)為切點的直線l的斜率為f′(1)＝0， 故所求直線l的方程為y＝－2. (2)設(shè)過點P(1，－2)的直線l與曲線y＝f(x)相切于點(x0，x－3x0)． 由f′(x0)＝3x－3， 得直線l的方程為y－(x－3x0)＝(3x－3)(x－x0)． 又直線l過點P(1，－2)， 所以－2－(x－3x0)＝(3x－3)(1－x0)， 即(x0－1)2(x0＋2)＝3(x－1)(x0－1)， 解得x0＝1(舍去)或x0＝－， 故直線l的斜率k＝－， 故直線l的方程為y－(－2)＝－(x－1)， 即9x＋4y－1＝0.