2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 立體幾何 專題對(duì)點(diǎn)練16 空間中的平行與幾何體的體積 文

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 立體幾何 專題對(duì)點(diǎn)練16 空間中的平行與幾何體的體積 文 1. 如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為2,∠B1BA=,M,N分別為A1C1與B1C的中點(diǎn),且側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC. (1)證明:MN∥平面ABB1A1; (2)求三棱柱B1-ABC的高及體積. 2.(2018全國(guó)Ⅲ,文19) 如圖,矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直,M是上異于C,D的點(diǎn). (1)證明:平面AMD⊥平面BMC; (2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC∥平面PBD?說(shuō)明理由.

2、3. (2018廣西名校聯(lián)盟)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB⊥PC,CA=CB,M是AB的中點(diǎn).點(diǎn)N在棱PC上,點(diǎn)D是BN的中點(diǎn). 求證:(1)MD∥平面PAC; (2)平面ABN⊥平面PMC. 4. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB與△PAD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,E是BC的中點(diǎn). (1)求證:AE∥平面PCD; (2)求四棱錐P-ABCD的體積. 5. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,側(cè)棱AA1⊥平面ABC,且D,E分別

3、是棱A1B1,AA1的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱AB上,且AF=AB. (1)求證:EF∥平面BDC1; (2)求三棱錐D-BEC1的體積. 6. 如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于2,平面ABCD⊥平面ABEF,AF∥BE,BE=2AF=2,EF=. (1)求證:AC∥平面DEF; (2)求三棱錐C-DEF的體積. 7. 如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,點(diǎn)M是棱CC1的中點(diǎn). (1)在棱AB上是否存在一點(diǎn)N,使MN∥平面AB1C1?若存在,請(qǐng)確定點(diǎn)N的位置.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由; (2)當(dāng)△ABC是等邊

4、三角形,且AC=CC1=2時(shí),求點(diǎn)M到平面AB1C1的距離. 8. 如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,∠BCC1=,AB=BB1=2,BC=1,D為CC1的中點(diǎn). (1)求證:DB1⊥平面ABD; (2)求點(diǎn)A1到平面ADB1的距離. 專題對(duì)點(diǎn)練16答案 1.(1)證明 取AC的中點(diǎn)P,連接PN,PM. ∵在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別為A1C1與B1C的中點(diǎn), ∴PN∥AB1,PM∥AA1. ∵PM∩PN=P,AB1∩AA1=A,PM,PN?平面PMN,AB1,AA1?平面AB1A1,

5、 ∴平面PMN∥平面AB1A1. ∵M(jìn)N?平面PMN, ∴MN∥平面ABB1A1. (2)解 設(shè)O為AB的中點(diǎn),連接B1O,由題意知△B1BA是正三角形,則B1O⊥AB. ∵側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC,且交線為AB,∴B1O⊥平面ABC, ∴三棱柱B1-ABC的高B1O=AB1=. ∵S△ABC=×2×2×sin 60°=, ∴三棱柱B1-ABC的體積V=S△ABC·B1O==1. 2.解 (1)由題設(shè)知,平面CMD⊥平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽C⊥CD,BC?平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM. 因?yàn)镸為上異于C,D的點(diǎn),且DC為直徑,所以DM⊥C

6、M. 又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC. 而DM?平面AMD, 故平面AMD⊥平面BMC. (2)當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí),MC∥平面PBD. 證明如下:連接AC交BD于O. 因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為AC中點(diǎn). 連接OP,因?yàn)镻為AM中點(diǎn), 所以MC∥OP. MC?平面PBD,OP?平面PBD, 所以MC∥平面PBD. 3.證明 (1)在△ABN中,M是AB的中點(diǎn),D是BN的中點(diǎn), 所以MD∥AN. 又因?yàn)锳N?平面PAC,MD?平面PAC,所以MD∥平面PAC. (2)在△ABC中,CA=CB,M是AB的中點(diǎn), 所以AB⊥MC. 又因?yàn)锳B⊥PC,PC

7、?平面PMC,MC?平面PMC,PC∩MC=C,所以AB⊥平面PMC.又因?yàn)锳B?平面ABN,所以平面ABN⊥平面PMC. 4.(1)證明 ∵∠ABC=∠BAD=90°, ∴AD∥BC. ∵BC=2AD,E是BC的中點(diǎn), ∴AD=CE, ∴四邊形ADCE是平行四邊形, ∴AE∥CD. 又AE?平面PCD,CD?平面PCD, ∴AE∥平面PCD. (2)解 連接DE,BD,設(shè)AE∩BD=O,連接OP, 則四邊形ABED是正方形, ∴O為BD的中點(diǎn). ∵△PAB與△PAD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,∴BD=2,OB=,OA=,PA=PB=2, ∴OP⊥OB,OP=,∴O

8、P2+OA2=PA2,即OP⊥OA. 又OA?平面ABCD,BD?平面ABCD,OA∩OB=O,∴OP⊥平面ABCD. ∴VP-ABCD=S梯形ABCD·OP=×(2+4)×2×=2. 5.(1)證明 取AB的中點(diǎn)O,連接A1O. ∵AF=AB,∴F為AO的中點(diǎn). 又E為AA1的中點(diǎn),∴EF∥A1O. ∵A1D=A1B1,BO=AB,AB􀰿A1B1,∴A1D􀰿BO, ∴四邊形A1DBO為平行四邊形, ∴A1O∥BD, ∴EF∥BD.又EF?平面BDC1,BD?平面BDC1,∴EF∥平面BDC1. (2)解 ∵AA1⊥平面A1B1C1,C1

9、D?平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D. ∵A1C1=B1C1=A1B1=2,D為A1B1的中點(diǎn), ∴C1D⊥A1B1,C1D=. 又AA1?平面AA1B1B,A1B1?平面AA1B1B,AA1∩A1B1=A1, ∴C1D⊥平面AA1B1B. ∵AB=AA1=2,D,E分別為A1B1,AA1的中點(diǎn), ∴S△BDE=22-×1×2-×1×2-×1×1=. ∴S△BDE·C1D=. 6.(1)證明 連接BD,記AC∩BD=O,取DE的中點(diǎn)G,連接OG,FG. ∵點(diǎn)O,G分別是BD和ED的中點(diǎn), ∴OG􀰿BE. 又AF􀰿BE, ∴OG&

10、#1051711;AF, ∴四邊形AOGF是平行四邊形, ∴AO∥FG,即AC∥FG. 又AC?平面DEF,FG?平面DEF, ∴AC∥平面DEF. (2)解 在四邊形ABEF中,過(guò)F作FH∥AB交BE于點(diǎn)H. 由已知條件知,在梯形ABEF中,AB=FH=2,EF=,EH=1, 則FH2=EF2+EH2,即FE⊥EB,從而FE⊥AF. ∵AC∥平面DEF,∴點(diǎn)C與點(diǎn)A到平面DEF的距離相等, ∴VC-DEF=VA-DEF. ∵DA⊥AB,∴DA⊥平面ABEF, 又S△AEF=AF·EF=×1×. ∴三棱錐C-DEF的體積VC-DEF=VA-DEF=VD-AEF=S△

11、AEF·AD=×2=. 7.解 (1)在棱AB上存在中點(diǎn)N,使MN∥平面AB1C1,證明如下: 設(shè)BB1的中點(diǎn)為D,連接DM,NM,ND,因?yàn)辄c(diǎn)M,N,D是CC1,AB,BB1的中點(diǎn), 所以ND∥AB1,DM∥B1C1,所以ND∥平面AB1C1,DM∥平面AB1C1. 又ND∩DM=D,所以平面NDM∥平面AB1C1.因?yàn)镸N?平面NDM,所以MN∥平面AB1C1. (2)因?yàn)镸N∥平面AB1C1,所以點(diǎn)M到平面AB1C1的距離與點(diǎn)N到平面AB1C1的距離相等. 又點(diǎn)N為AB的中點(diǎn),所以點(diǎn)N到平面AB1C1的距離等于點(diǎn)B到平面AB1C1的距離的一半. 因?yàn)锳A1⊥平面ABC,

12、所以AB1=AC1=2,所以△AB1C1的底邊B1C1上的高為. 設(shè)點(diǎn)B到平面AB1C1的距離為h,則由, 得×2××2××h,可得h=,即點(diǎn)M到平面AB1C1的距離為. 8.(1)證明 在四邊形BCC1B1中, ∵BC=CD=DC1=1,∠BCD=, ∴BD=1. ∵B1D=,BB1=2, ∴B1D⊥BD. ∵AB⊥平面BCC1B1, ∴AB⊥DB1, ∴DB1⊥平面ABD. (2)解 對(duì)于四面體A1ADB1,A1到直線DB1的距離即為A1到平面BB1C1C的距離,A1到DB1的距離為2.設(shè)A1到平面ADB1的距離為h, △ADB1為直角三角形,AD·DB1=, ∴×h=h. ∵×2×2=2,D到平面AA1B1的距離為, ∴×2×. ∵,∴, 解得h=. ∴點(diǎn)A1到平面ADB1的距離為.