2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運算練習(xí) 文
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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運算練習(xí) 文 考點 內(nèi)容解讀 要求 高考示例 ??碱}型 預(yù)測熱度 1.導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景 2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 Ⅱ 2017課標(biāo)全國Ⅰ,14; 2017天津,10; 2016山東,10; 2015課標(biāo)Ⅰ,14; 2015課標(biāo)Ⅱ,16 選擇題、 填空題 ★★★ 2.導(dǎo)數(shù)的運算 1.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù)),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的導(dǎo)數(shù) 2.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù) Ⅲ 2016天
2、津,10; 2015天津,11 選擇題、 解答題 分析解讀 本部分主要是對導(dǎo)數(shù)概念及其運算的考查,以導(dǎo)數(shù)的運算公式和運算法則為基礎(chǔ),以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為重點. 1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義最常見的是求過曲線上某點的切線的斜率、方程、斜率與傾斜角的關(guān)系、切點的坐標(biāo),或以平行、垂直直線的斜率間的關(guān)系為載體求字母的取值等. 2.導(dǎo)數(shù)的運算是每年必考的內(nèi)容,一般不單獨考查,而在考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時與單調(diào)性、極值與最值結(jié)合出題考查. 3.本節(jié)內(nèi)容在高考中分值為5分左右,屬于容易題. 五年高考 考點一 導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義 1.(2016山東,10,5分)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點,
3、使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3 答案 A 2.(2014陜西,10,5分)如圖,修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切).已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分,則該函數(shù)的解析式為( ) A.y=x3-x2-x B.y=x3+x2-3x C.y=x3-x D.y=x3+x2-2x 答案 A 3.(2017天津,10,5分)已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-ln x的圖象在點(1, f(1))處的切線為l,則l在y軸上
4、的截距為 . 答案 1 4.(2017課標(biāo)全國Ⅰ,14,5分)曲線y=x2+在點(1,2)處的切線方程為 . 答案 x-y+1=0 5.(2016課標(biāo)全國Ⅲ,16,5分)已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≤0時, f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)在點(1,2)處的切線方程是 . 答案 y=2x 6.(2015課標(biāo)Ⅰ,14,5分)已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖象在點(1, f(1))處的切線過點(2,7),則a= . 答案 1 7.(2015課標(biāo)Ⅱ,16,5分)已知曲線y=x+ln x在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相
5、切,則a= . 答案 8 8.(2014江西,11,5分)若曲線y=xln x上點P處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點P的坐標(biāo)是 . 答案 (e,e) 教師用書專用(9—15) 9.(2014廣東,11,5分)曲線y=-5ex+3在點(0,-2)處的切線方程為 . 答案 5x+y+2=0 10.(2013江西,11,5分)若曲線y=xα+1(α∈R)在點(1,2)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點,則α= . 答案 2 11.(2013廣東,12,5分)若曲線y=ax2-ln x在點(1,a)處的切線平行于x軸,則a= . 答案 12.(
6、2015山東,20,13分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)ln x,g(x)=.已知曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線與直線2x-y=0平行. (1)求a的值; (2)是否存在自然數(shù)k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,請說明理由; (3)設(shè)函數(shù)m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的較小值),求m(x)的最大值. 解析 (1)由題意知,曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線斜率為2, 所以f '(1)=2, 又f '(x)=ln x++1,所以a=1. (2)k=1時,方程f(x
7、)=g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根. 設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-, 當(dāng)x∈(0,1]時,h(x)<0. 又h(2)=3ln 2-=ln 8->1-1=0, 所以存在x0∈(1,2), 使得h(x0)=0. 因為h'(x)=ln x++1+, 所以當(dāng)x∈(1,2)時,h'(x)>1->0, 當(dāng)x∈(2,+∞)時,h'(x)>0, 所以當(dāng)x∈(1,+∞)時,h(x)單調(diào)遞增. 所以k=1時,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根. (3)由(2)知方程f(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根x0, 且x∈(0,x0)時, f(
8、x) 9、
(1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(1, f(1))處的切線方程;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
解析 (1)由題意知a=0時,f(x)=,x∈(0,+∞),
此時f '(x)=,
可得f '(1)=,
又f(1)=0,
所以曲線y=f(x)在(1, f(1))處的切線方程為x-2y-1=0.
(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).
f '(x)=+=.
當(dāng)a≥0時,f '(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)a<0時,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,
Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).
①當(dāng)a=-時,Δ=0,
f '( 10、x)=≤0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
②當(dāng)a<-時,Δ<0,g(x)<0,
f '(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
③當(dāng)-0,
設(shè)x1,x2(x1 11、-時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
當(dāng)-
12、所以f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值為f=.
(2)設(shè)過點P(1,t)的直線與曲線y=f(x)相切于點(x0,y0),
則y0=2-3x0,且切線斜率為k=6-3,
所以切線方程為y-y0=(6-3)(x-x0),
因此t-y0=(6-3)(1-x0).整理得4-6+t+3=0.
設(shè)g(x)=4x3-6x2+t+3,
則“過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切”等價于“g(x)有3個不同零點”.
g'(x)=12x2-12x=12x(x-1).
g(x)與g'(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
g'(x)
13、
+
0
-
0
+
g(x)
↗
t+3
↘
t+1
↗
所以,g(0)=t+3是g(x)的極大值,g(1)=t+1是g(x)的極小值.
當(dāng)g(0)=t+3≤0,即t≤-3時,此時g(x)在區(qū)間(-∞,1]和(1,+∞)上分別至多有1個零點,所以g(x)至多有2個零點.
當(dāng)g(1)=t+1≥0,即t≥-1時,此時g(x)在區(qū)間(-∞,0)和[0,+∞)上分別至多有1個零點,所以g(x)至多有2個零點.
當(dāng)g(0)>0且g(1)<0,即-3 14、上恰有1個零點.由于g(x)在區(qū)間(-∞,0)和(1,+∞)上單調(diào),所以g(x)分別在區(qū)間(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1個零點.
綜上可知,當(dāng)過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切時,t的取值范圍是(-3,-1).
(3)過點A(-1,2)存在3條直線與曲線y=f(x)相切;
過點B(2,10)存在2條直線與曲線y=f(x)相切;
過點C(0,2)存在1條直線與曲線y=f(x)相切.
15.(2013北京,18,13分)已知函數(shù)f(x)=x2+xsin x+cos x.
(1)若曲線y=f(x)在點(a, f(a))處與直線y=b相切,求a與b的值;
(2)若曲線 15、y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,求b的取值范圍.
解析 由f(x)=x2+xsin x+cos x,得f '(x)=x(2+cos x).
(1)因為曲線y=f(x)在點(a,f(a))處與直線y=b相切,所以f '(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).
解得a=0,b=f(0)=1.
(2)令f '(x)=0,得x=0.
f(x)與f '(x)的情況如下:
x
(-∞,0)
0
(0,+∞)
f '(x)
-
0
+
f(x)
↘
1
↗
所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(0)=1是f 16、(x)的最小值.
當(dāng)b≤1時,曲線y=f(x)與直線y=b最多只有一個交點;
當(dāng)b>1時,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,
f(0)=11時曲線y=f(x)與直線y=b有且僅有兩個不同交點.
綜上可知,如果曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點,那么b的取值范圍是(1,+∞).
考點二 導(dǎo)數(shù)的運算
1.(2016天津,10,5分)已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex, f '(x)為 17、f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f '(0)的值為 .
答案 3
2.(2015天津,11,5分)已知函數(shù)f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a為實數(shù), f '(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f '(1)=3,則a的值為 .
答案 3
三年模擬
A組 2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組
考點一 導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義
1.(2018廣東佛山一中期中考試,11)已知f(x)=(x+a)ex的圖象在x=-1與x=1處的切線互相垂直,則a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 A
2.(2017四川名校一模,6)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖, f '(x)是f 18、(x)的導(dǎo)函數(shù),則下列數(shù)值排序正確的是( )
A.0 19、.(2018河北“名校聯(lián)盟”高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測,16)設(shè)函數(shù)y=f(x)在其圖象上任意一點(x0,y0)處的切線方程為y-y0=(3-6x0)(x-x0),且f(3)=0,則不等式≥0的解集為 .
答案 (-∞,0)∪(0,1]∪(3,+∞)
6.(2017湖南衡陽八中期中,14)曲線f(x)=xex在點(1,f(1))處的切線的斜率是 .
答案 2e
7.(2017廣東韶關(guān)六校聯(lián)考,14)已知函數(shù)f(x)=ln x-ax2,且曲線f(x)在點(2,f(2))處的切線的斜率是-,則a= .
答案
8.(2016北京東城期中,16)若過曲線f(x)=xln x 20、上的點P的切線斜率為2,則點P的坐標(biāo)為 .
答案 (e,e)
9.(人教A選1—1,三,2,B1,變式)已知函數(shù)f(x)=,g(x)=aln x,a∈R.若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交,且在交點處有相同的切線,則a= ,切線方程為 .
答案 ;x-2ey+e2=0
考點二 導(dǎo)數(shù)的運算
10.(2018福建福安一中測試,6)已知f(x)=e-x+ex的導(dǎo)函數(shù)為f '(x),則f '(1)=( )
A.e- B.e+ C.1+ D.0
答案 A
11.(2018福建福州八縣聯(lián)考,11)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f '(x),且滿足f(x)=2x 21、f '(1)+ln,則f(1)=( )
A.-e B.2 C.-2 D.e
答案 B
12.(2017山西名校聯(lián)考,3)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,則f(x)的解析式可能為( )
A.f(x)=3cos x B.f(x)=x3+x2 C.f(x)=1+sin 2x D.f(x)=ex+x
答案 C
13.(2016河北衡水中學(xué)二調(diào),10)若點P是曲線y=x2-ln x上任意一點,則點P到直線y=x-2的最小距離為( )
A.1 B. C. D.
答案 B
B組 2016—2018年模擬·提升題組
(滿分:55分 時間:50分鐘)
一、選擇題(每小 22、題5分,共15分)
1.(2018福建福州八縣聯(lián)考,9)函數(shù)f(x)=4x3-6x2+a的極大值為6,那么f(a-5)的值是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 C
2. (2017河南鄭州、平頂山、濮陽二模,10)設(shè)函數(shù)f(0)(x)=sin x,定義f(1)(x)=f'[f(0)(x)],f(2)(x)=f'[f(1)(x)],……, f(n)(x)=f '[f(n-1)(x)],則f(1)(15°)+f(2)(15°)+f(3)(15°)+…+f(2 017)(15°)的值是( )
A. B. C.0 D.1
答案 A
3.(2016江西贛中南五校2月第一次 23、聯(lián)考,11)已知函數(shù)fn(x)=xn+1,n∈N的圖象與直線x=1交于點P,若圖象在點P處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為xn,則log2 013x1+log2 013x2+…+log2 013x2 012的值為( )
A.-1 B.1-log2 0132 012 C.-log2 0132 012 D.1
答案 A
二、填空題(每小題5分,共10分)
4.(2017山西名校聯(lián)考,16)設(shè)函數(shù)f(x)=且f'(-1)=f'(1),則當(dāng)x>0時,f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的極小值為 .
答案 2
5.(2017天津紅橋期中聯(lián)考,16)若曲線f(x)=ax5+ln x存在垂直于y軸的 24、切線,則實數(shù)a的取值范圍是 .
答案 (-∞,0)
三、解答題(每小題10分,共30分)
6.(2018廣東惠州一調(diào),21)設(shè)函數(shù)f(x)=.
(1)求曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線方程;
(2)當(dāng)x≥1時,不等式f(x)-≥恒成立,求a的取值范圍.
解析 (1)根據(jù)題意可得,f(e)=,f '(x)=,
所以f '(e)==-,
所以曲線在點(e,f(e))處的切線方程為y-=-(x-e),即x+e2y-3e=0.
(2)根據(jù)題意可得,f(x)--=≥0在x≥1時恒成立,
令g(x)=ln x-a(x2-1)(x≥1),所以g'(x)=-2ax,
當(dāng) 25、a≤0時,g'(x)>0,所以函數(shù)y=g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(1)=0,
所以不等式f(x)-≥成立,故a≤0符合題意;
當(dāng)a>0時,令-2ax=0,解得x=(舍負(fù)),令=1,解得a=,
①當(dāng)01,所以在上,g'(x)>0,在上,g'(x)<0,
所以函數(shù)y=g(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
g=ln-a=-ln a-+a,令h(a)=-ln a-+a,則h'(a)=-++1=,易知h'(a)>0恒成立,又0
26、(x)<0在(1,+∞)上恒成立,所以函數(shù)y=g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(x)≤g(1)=0,顯然a≥不符合題意.
綜上所述,a的取值范圍為{a|a≤0}.
7.(2017皖南八校12月聯(lián)考,21)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2-2ax-1.
(1)當(dāng)a=1時,求曲線y=f(x)在點(-1,f(-1))處的切線方程;
(2)當(dāng)x>0時,f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
解析 (1)當(dāng)a=1時,f(x)=ex-x2-2x-1,f(-1)=,
所以切點坐標(biāo)為,
f '(x)=ex-2x-2,所以f '(-1)=,
故曲線y=f(x)在點(-1,f(-1))處的切線 27、方程為y-=[x-(-1)],即y=x+.
(2)對f(x)=ex-ax2-2ax-1求導(dǎo)得f '(x)=ex-2ax-2a,
令g(x)=f '(x)=ex-2ax-2a(x>0),則g'(x)=ex-2a(x>0).
①當(dāng)2a≤1,即a≤時,g'(x)=ex-2a>1-2a≥0,
所以g(x)=f '(x)=ex-2ax-2a在(0,+∞)上為增函數(shù),
所以g(x)>g(0)=1-2a≥0,則f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),
所以f(x)>f(0)=1-0-0-1=0,故a≤時符合題意.
②當(dāng)2a>1,即a>時,令g'(x)=ex-2a=0,得x=ln 2a>0,當(dāng)x變化時 28、,g'(x),g(x)的變化情況如下表,
x
(0,ln 2a)
ln 2a
(ln 2a,+∞)
g'(x)
-
0
+
g(x)
減函數(shù)
極小值
增函數(shù)
當(dāng)x∈(0,ln 2a)時,g(x) 29、范圍.
解析 (1)當(dāng)a=1時,f(x)=ex-x2+2x,f '(x)=ex-2x+2,
∴f '(1)=e,f(1)=e+1,
∴所求切線方程為y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+1=0.
(2)f '(x)=ex-2x+2a,∵f(x)在R上單調(diào)遞增,
∴f '(x)≥0在R上恒成立,
∴a≥x-在R上恒成立.令g(x)=x-,
則g'(x)=1-,令g'(x)=0,得x=ln 2,
∵在(-∞,ln 2)上,g'(x)>0,在(ln 2,+∞)上,g'(x)<0,
∴g(x)在(-∞,ln 2)上單調(diào)遞增,在(ln 2,+∞)上單調(diào)遞減,
∴g(x)max=g 30、(ln 2)=ln 2-1,
∴a≥ln 2-1,
∴實數(shù)a的取值范圍為[ln 2-1,+∞).
C組 2016—2018年模擬·方法題組
方法1 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法
1.(2018河南許昌、平頂山聯(lián)考,3)已知f(x)是偶函數(shù),在(-∞,0)上滿足xf '(x)>0恒成立,則下列不等式成立的是( )
A.f(-3) 31、006 D.2007
答案 B
方法2 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程
3.(2018河南天一大聯(lián)考,10)已知f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù),滿足f[f(x)-ex]=1,則曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程為( )
A.y=x+1 B.y=x-1 C.y=-x+1 D.y=-x-1
答案 A
4.(2016遼寧實驗中學(xué)分校期中,20)已知函數(shù)f(x)=x3-x2+bx+a(a,b∈R),其導(dǎo)函數(shù)f '(x)的圖象過原點.
(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的圖象在x=3處的切線方程;
(2)若存在x<0,使得f '(x)=-9,求a的最大值;
解析 (1)f '(x)=x2-(a+1)x+b,由題意得f '(0)=0,故b=0.所以f '(x)=x(x-a-1).
當(dāng)a=1時,f(x)=x3-x2+1,f '(x)=x(x-2),
故f(3)=1,f '(3)=3.
故函數(shù)f(x)的圖象在x=3處的切線方程為y-1=3(x-3),即3x-y-8=0.
(2)由f '(x)=-9,得x(x-a-1)=-9.
當(dāng)x<0時,-a-1=-x-=(-x)+≥2=6,所以a≤-7.
當(dāng)且僅當(dāng)x=-3時,a=-7,故a的最大值為-7.
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