（江蘇專用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.4 拋物線 2.4.2 拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案 蘇教版選修1-1

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1、 2.4.2　拋物線的幾何性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解拋物線的簡單的幾何性質(zhì)，如范圍、對稱性、頂點(diǎn)和離心率等．　2.會用拋物線的幾何性質(zhì)處理簡單的實(shí)際問題．(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知] 拋物線的幾何性質(zhì) 類型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 圖象 性 質(zhì) 焦點(diǎn) F F F F 準(zhǔn)線 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 對稱軸 x軸 y軸 頂點(diǎn) O(0,0) 離心率 e＝1

2、開口方向 向右 向左 向上 向下 [基礎(chǔ)自測] 1．判斷正誤： (1)拋物線是中心對稱圖形．(　　) (2)拋物線的范圍是x∈R.(　　) (3)拋物線是軸對稱圖形．(　　) 【解析】　(1)×.在拋物線方程中，以－x代x，－y代y，方程發(fā)生了變化，故拋物線不是中心對稱圖形． (2)×.拋物線的方程不同，其范圍就不同，如y2＝2px(p＞0)的范圍是x≥0，y∈R. (3)√.拋物線y2＝±2py(p＞0)的對稱軸是x軸，拋物線x2＝±2py(p＞0)的對稱軸是y軸． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)√ 2．拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是a，

3、則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是________. 【導(dǎo)學(xué)號：95902138】 【解析】　由拋物線的定義知：點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離a等于點(diǎn)M到拋物線的準(zhǔn)線x＝－的距離，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)即點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為a－. 【答案】　a－ [合 作 探 究·攻 重 難] 拋物線的方程及其幾何性質(zhì) 　(1)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若PF＝4，則△POF的面積為________． (2)已知拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. [思路探究]　(1)利用拋物線的對稱性及

4、等邊三角形的性質(zhì)求解； (2)設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)拋物線的對稱性表示出三角形的面積，解方程可得拋物線方程中的參數(shù)，即得拋物線的方程． 【自主解答】　(1)如圖，設(shè)P(x0，y0)，由PF＝x0＋＝4， 得x0＝3，代入拋物線方程得y＝4×3＝24. 所以y0＝2.所以S△POF＝OF·y0＝××2＝2. 【答案】　2 (2)由題意，設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a≠0)．焦點(diǎn)F，直線l：x＝， ∴A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，， ∴AB＝a，∵△OAB的面積為4， ∴··a＝4，∴a＝±4，∴拋物線的方程為y2＝±4x. [規(guī)律方法]　 1．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，目標(biāo)就是

5、求解p，只要列出一個關(guān)于p的方程即可求解． 2．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程要明確四個步驟： (1)定位置(根據(jù)條件確定拋物線的焦點(diǎn)位置及開口)； (2)設(shè)方程(根據(jù)焦點(diǎn)和開口設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程)； (3)找關(guān)系(根據(jù)條件列出關(guān)于p的方程)； (4)得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知雙曲線C1：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，若拋物線C2：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，求拋物線C2的方程. 【導(dǎo)學(xué)號：95902139】 【解】　∵雙曲線C1：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2， ∴＝＝2，∴b＝a， ∴雙曲線的漸近線方程為x±y＝c，

6、 ∴拋物線C2：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為＝2，∴p＝8， ∴所求的拋物線方程為x2＝16y. 拋物線中的應(yīng)用題 　河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時，水面寬為8米，一小船寬4米，高2米，載貨后船露出水面上的部分高米，問水面上漲到與拋物線拱頂相距多少米時，小船開始不能通航？ [思路探究]　→→→→ 【自主解答】　如圖，建立坐標(biāo)系，設(shè)拱橋拋物線方程為x2＝－2py(p>0)， 由題意，將B(4，－5)代入方程得p＝，∴拋物線方程為x2＝－y.∵當(dāng)船的兩側(cè)和拱橋接觸時船不能通航．設(shè)此時船面寬為AA′，則A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－.

7、 又知船露出水面上部分為米，設(shè)水面與拋物線拱頂相距為h，則h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上漲到距拋物線拱頂2米時，小船不能通航． [規(guī)律方法]　 1．本題的解題關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)語言(文字、符號、圖形、字母等)表達(dá)、分析、解決問題． 2．以拋物線為數(shù)學(xué)模型的實(shí)例很多，如拱橋、隧道、噴泉等，應(yīng)用拋物線主要體現(xiàn)在：(1)建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的方程．(2)利用已求方程求點(diǎn)的坐標(biāo)． [跟蹤訓(xùn)練] 2．某隧道橫斷面由拋物線及矩形的三邊組成，尺寸如2-4-1圖所示，某卡車空車時能通過此隧道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3米，車與箱共高4.5米，問此車能否通過

8、此隧道？說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：95902140】 圖2-4-1 【解】　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(－3，－3)，A(3，－3)． 設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得9＝－2p·(－3)， ∴p＝，∴拋物線方程為x2＝－3y(－3≤y≤0)． ∵車與箱共高4.5 m， ∴集裝箱上表面距拋物線形隧道拱頂0.5 m．設(shè)拋物線上點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0，－0.5)， D′的坐標(biāo)為(－x0，－0.5)，則x＝－3×(－0.5)，解得x0＝±＝±. ∴|DD′|＝2|x0|＝＜3，故此車不能通過隧道. 直線與拋物線的綜合應(yīng)用 [探究問題

9、] 1．直線l過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F，與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 AB的長是多少？ 【提示】　由拋物線的定義可知AF＝x1＋，BF＝x2＋， 所以AB＝AF＋BF＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p. 2．斜率為k的直線l與拋物線y2＝2px(p＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB的長是多少？ 【提示】　設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，則AB＝ ＝ ＝＝|x1－x2|. 這個公式稱為弦長公式． 　(1)已知過拋物線y2＝6x焦點(diǎn)的弦長為12，則該弦所在直線的傾斜角是________． (2)求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且截直線

10、2x－y＋1＝0所得弦長為的拋物線方程． [思路探究]　(1)應(yīng)用焦半徑公式求解；(2)應(yīng)用弦長公式求解． 【自主解答】　(1)拋物線的焦點(diǎn)為.設(shè)直線方程為y＝k，與方程y2＝6x聯(lián)立得：4k2x2－(12k2＋24)x＋9k2＝0.設(shè)直線與拋物線交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∴x1＋x2＝，∴x1＋x2＋3＝＋3＝12. ∴k2＝1，∴k＝±1. 故弦所在直線的傾斜角是或π. 【答案】　或π (2)設(shè)所求拋物線方程為y2＝ax(a≠0) ① 直線方程變形為y＝2x＋1

11、 ② 設(shè)拋物線截直線得弦長為AB，將②代入①整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0， 則AB＝＝.解得a＝12或a＝－4. 故所求拋物線方程為y2＝12x或y2＝－4x. [規(guī)律方法]　直線與拋物線相交的弦長問題 直線和拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，直線的斜率為k. (1)一般的弦長公式：|AB|＝|x1－x2|. (2)焦點(diǎn)弦長公式：當(dāng)直線經(jīng)過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)時，弦長|AB|＝x1＋x2＋p. (3)求弦長時，為簡化計(jì)算常常借助根與系數(shù)的關(guān)系，這樣可以避免分別求x1，x2的麻煩，如果是利用弦長求參數(shù)的問題，只需要列出參數(shù)的方程

12、或不等式即可求解，而(x1，y2)或(y1，x2)一般是求不出來的. [跟蹤訓(xùn)練] 3．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長為8，則p＝__________. 【導(dǎo)學(xué)號：95902141】 【解析】　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)橹本€傾斜角為45°，過拋物線焦點(diǎn)，所以可設(shè)直線方程為y＝x－，代入拋物線方程得＝2px，即x2－3px＋＝0，故x1＋x2＝3p， 由拋物線的定義可知，|AB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝4p＝8，因此p＝2. 【答案】　2 [構(gòu)建·體系] [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙

13、基] 1．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線與拋物線相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1＋x2＝8，則PQ的值為________. 【導(dǎo)學(xué)號：95902142】 【解析】　PQ＝x1＋x2＋2＝10. 【答案】　10 2.如圖2-4-2，已知等邊三角形AOB的頂點(diǎn)A，B在拋物線y2＝6x上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB的邊長為________． 圖2-4-2 【解析】　設(shè)△AOB邊長為a，則A，∴＝6×a.∴a＝12. 【答案】　12 3.如圖2-4-3所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在1時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬________米.

14、 【導(dǎo)學(xué)號：95902143】 圖2-4-3 【解析】　設(shè)水面與拱橋的一個交點(diǎn)為A，如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則A的坐標(biāo)為(2，－2)．設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則22＝－2p×(－2)，得p＝1. 設(shè)水位下降1米后水面與拱橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，－3)，則x＝6，解得x0＝±，所以水面寬為2米． 【答案】　2 4．已知點(diǎn)P(6，y)在拋物線y2＝2px(p＞0)上，若點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F的距離等于8，則焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于__________． 【解析】　拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線為x＝－，因?yàn)镻(6，y)為拋物線上的點(diǎn)，所以P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，所以6＋＝8，所以p＝4，焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于4. 【答案】　4 5．若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，且AM＝，AF＝3，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【解】　設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝2py(p＞0)， 設(shè)A(x0，y0)，由題知 M.∵AF＝3，∴y0＋＝3，∵AM＝， ∴x＋＝17， ∴x＝8，代入方程x＝2py0得，8＝2p，解得p＝2或p＝4. ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y或x2＝8y. 8