高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)匯總 考點(diǎn)41 拋物線（含解析）

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1、高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)匯總 考點(diǎn)41 拋物線（含解析） 一、選擇題 1、（xx·安徽高考文科·Ｔ3）拋物線的準(zhǔn)線方程是（ ） A. B. C. D. 【解題提示】 將拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)形式即可得出。 【解析】選A。，所以拋物線的準(zhǔn)線方程是y=-1. 2. (xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ高考文科數(shù)學(xué)·T10) (xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ高考文科數(shù)學(xué)·T10)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),則錯(cuò)誤！未找到引用源。=　(　　) A. B.6 C.12 D. 【解題提示】畫(huà)出圖形,利用拋物線的定義求解.

2、 【解析】選C.設(shè)AF=2m,BF=2n,F.則由拋物線的定義和直角三角形知識(shí)可得, 2m=2·+m,2n=2·-n,解得m= (2+),n= (2-),所以m+n=6. AB=AF+BF=2m+2n=12.故選C. 3. (xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ高考理科數(shù)學(xué)·T10)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為(　　)　 A. B. C. D. 【解題提示】將三角形OAB的面積通過(guò)焦點(diǎn)“一分為二”,設(shè)出AF,BF,利用拋物線的定義求得面積. 【解析】選D.設(shè)點(diǎn)A,B分別在第一和第四象限,AF=2

3、m,BF=2n,則由拋物線的定義和直角三角形知識(shí)可得,2m=2·+m,2n=2·-n,解得m= (2+),n= (2-),所以m+n=6.所以 S△OAB=·(m+n)=.故選D. 4. （xx·四川高考理科·Ｔ10）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與面積之和的最小值是（ ） A. 2 B.3 C. D. 【解題提示】 設(shè)AB方程：聯(lián)立結(jié)合求出m 求的最小值 【解析】選B. 可設(shè)直線AB的方程為：，點(diǎn)，，又，則直線AB與軸的交點(diǎn)，由，所以，又，因?yàn)辄c(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，所以，故，于是=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“

4、”， 所以與面積之和的最小值是. 5. （xx·四川高考文科·Ｔ10）與（xx·四川高考理科·Ｔ10）相同 已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與面積之和的最小值是（ ） A. 2 B.3 C. D. 【解題提示】 設(shè)AB方程：聯(lián)立結(jié)合求出m 求的最小值 【解析】選B.可設(shè)直線AB的方程為：，點(diǎn)，，又，則直線AB與軸的交點(diǎn)，由，所以，又，因?yàn)辄c(diǎn)，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，所以，故，于是=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”， 所以與面積之和的最小值是. 6. （xx·遼寧高考理科·Ｔ10）已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,過(guò)點(diǎn)的直線與

5、在第一象限相切于點(diǎn),記的焦點(diǎn)為,則直線的斜率為 【解題提示】由拋物線的定義知的值，也就確定了拋物線的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；進(jìn)而結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)Ｂ的坐標(biāo)，利用直線的斜率公式求出直線的斜率 【解析】選Ｄ. 根據(jù)已知條件得，所以從而拋物線方程為，其焦點(diǎn)． 設(shè)切點(diǎn)，由題意，在第一象限內(nèi)．由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線的斜率為，而切線的斜率也可以為 又因?yàn)榍悬c(diǎn)在曲線上，所以．由上述條件解得． 即．從而直線的斜率為． 二、填空題 7. （xx·湖南高考理科·Ｔ15）如圖， 正方形的邊長(zhǎng)分別為，原點(diǎn)為的中點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò) 【解題提示】有正方形的邊長(zhǎng)給出點(diǎn)C,F的坐標(biāo)帶入

6、拋物線方程求解。 【解析】由題可得，，則。 答案: 3. 8. （xx·上海高考理科·Ｔ4） 【解題提示】先求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出p的值，即得拋物線的準(zhǔn)線方程. 【解析】根據(jù)橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)F(2，0)得p=4,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2. 答案：x=-2. 9. （xx·山東高考文科·Ｔ15） 已知雙曲線的焦距為，右頂點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長(zhǎng)為，且，則雙曲線的漸近線方程為. 【解題指南】本題考查了雙曲線知識(shí)，利用雙曲線與拋物線的交點(diǎn)為突破口求出a,b之間的關(guān)系，進(jìn)而求得雙曲線的漸近線方程. 【解析】 由題意知， 拋

7、物線準(zhǔn)線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為， 即代入雙曲線方程為，得， 漸近線方程為，. 答案： 10.(xx·陜西高考文科·T11)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為　　　　. 【解題指南】根據(jù)拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=-可以得到所求準(zhǔn)線方程. 【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)得拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1. 答案:x=-1 三、解答題 11.（xx·福建高考文科·Ｔ21）21．（本小題滿分12分） 已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2. （1） 求曲線的方程； （2） 曲線在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).直線分別與直線及軸交于點(diǎn)，以為直徑作圓，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切

8、點(diǎn)為，試探究：當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與原點(diǎn)不重合）時(shí)，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論. 【解題指南】（1）由題意曲線符合拋物線的定義，直接寫(xiě)出曲線方程．（2）利用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示直線的方程，求出點(diǎn)A，點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓C的圓心和半徑，表示出AB的長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)計(jì)算為定值． 【解析】.方法一（1）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)， 依題意，點(diǎn)S到的距離與它到直線的距離相等， 所以曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線， 所以曲線的方程為. （2）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變，證明如下： 由（1）知拋物線的方程為， 設(shè)，則， 由，得切線的斜率， 所以切線的方程為，即. 由，得.

9、 由，得. 又，所以圓心， 半徑， . 所以點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長(zhǎng)度不變. 方法二： （1）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)， 則， 依題意，點(diǎn)只能在直線的上方，所以， 所以， 化簡(jiǎn)得，曲線的方程為. （2）同方法一. P B A M F y x 0 12. （xx·浙江高考文科·Ｔ22）已知的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線C：上，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，； （1）若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)； （2）求面積的最大值. 【解題提示】（1）根據(jù)拋物線的定義，利用條件|PF|=3，求建立方程關(guān)系即可求點(diǎn)M的坐標(biāo)； （2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，利用直線和

10、拋物線聯(lián)立結(jié)合弦長(zhǎng)公式公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，利用導(dǎo)數(shù)即可求出三角形面積的最值． 【解析】（1）由題意知焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為， 設(shè)，由拋物線的定義可知，解得，所以，即或由，得或。 （2）設(shè)直線AB的方程為，，， 由得， 于是 即AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2k，2k2+m） 由，得 解得，由，得， 由△＞0，k＞0得， 又因?yàn)椋? 點(diǎn)F到直線AB的距離， 所以， 設(shè)， 則令=0，解得， 于是f（m）在是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)， 又， 所以當(dāng)時(shí)，f（m）取得最大值，此時(shí)， ∴△ABP面積的最大值為． 13.(xx·陜西高考理科·T20)(本小題滿分13

11、分) 如圖,曲線C由上半橢圓C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分拋物線C2:y=-x2+1(y≤0)連接而成,C1,C2的公共點(diǎn)為A,B,其中C1的離心率為. (1)求a,b的值. (2)過(guò)點(diǎn)B的直線l與C1,C2分別交于P,Q(均異于點(diǎn)A,B),若AP⊥AQ,求直線l的方程. 【解題指南】(1)在C1,C2的方程中,令y=0可得b值,再利用橢圓中a,b,c的關(guān)系及離心率求得a值.(2)利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系分別用直線l與C1,C2的方程聯(lián)立,求得點(diǎn)P,Q的坐標(biāo),結(jié)合條件AP⊥AQ,求直線l的方程. 【解析】(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,

12、0),B(1,0)是上半橢圓C1的左右頂點(diǎn). 設(shè)C1的半焦距為c,由=及a2-c2=b2=1得a=2. 所以a=2,b=1. (2)由(1)知,上半橢圓C1的方程為+x2=1(y≥0). 易知,直線l與x軸不重合也不垂直,設(shè)其方程為y=k(x-1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.　(*) 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xp,yp), 因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)B,所以x=1是方程(*)的一個(gè)根, 由求根公式,得xp=,從而yp=, 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 同理,由得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(-k-1,-k2-2k). 所以=(k,-4),=-k(1,k+2). 因?yàn)锳P⊥AQ,所以·=0,即[k-4(k+2)]=0, 因?yàn)閗≠0,所以k-4(k+2)=0,解得k=-. 經(jīng)檢驗(yàn),k=-符合題意, 故直線l的方程為y=-(x-1).