（浙江專用）2021版新高考數學一輪復習 第九章 平面解析幾何 9 第9講 曲線與方程教學案

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1、第9講曲線與方程1曲線與方程在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程的實數解建立了如下的關系：(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都在曲線上那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線2曲線的交點設曲線C1的方程為F1(x，y)0，曲線C2的方程為F2(x，y)0，則C1，C2的交點坐標即為方程組的實數解，若此方程組無解，則兩曲線無交點3求動點的軌跡方程的一般步驟(1)建系建立適當的坐標系；(2)設點設軌跡上的任一點P(x，y)；(3)列式列出動點P所滿足的關系式；(4)代換依條件式的特點，選用距離公式、斜

2、率公式等將其轉化為關于x，y的方程式，并化簡；(5)證明證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)f(x0，y0)0是點P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上的充要條件()(2)方程x2xyx的曲線是一個點和一條直線()(3)動點的軌跡方程和動點的軌跡是一樣的()(4)方程y與xy2表示同一曲線()(5)ykx與xy表示同一直線()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(選修21P37練習T3改編)已知點F，直線l：x，點B是l上的動點，若過點B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是()A雙曲線B橢圓C圓 D拋物線

3、解析：選D.由已知|MF|MB|，根據拋物線的定義知，點M的軌跡是以點F為焦點，直線l為準線的拋物線2(選修21P35例1改編)曲線C：xy2上任一點到兩坐標軸的距離之積為_解析：在曲線xy2上任取一點(x0，y0)，則x0y02，該點到兩坐標軸的距離之積為|x0|y0|x0y0|2.答案：23(選修21P37A組T4改編)已知O的方程為x2y24，過M(4，0)的直線與O交于A，B兩點，則弦AB的中點P的軌跡方程為_解析：根據垂徑定理知：OPPM，所以P點軌跡是以OM為直徑的圓且在O內的部分以OM為直徑的圓的方程為(x2)2y24，它與O的交點為(1，)結合圖形可知所求軌跡方程為(x2)2y

4、24(0x1)答案：(x2)2y24(0x1)易錯糾偏(1)混淆“軌跡”與“軌跡方程”出錯；(2)忽視軌跡方程的“完備性”與“純粹性”1(1)平面內與兩定點A(2，2)，B(0，0)距離的比值為2的點的軌跡是_(2)設動圓M與y軸相切且與圓C：x2y22x0相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_解析：(1)設動點坐標為(x，y)，則2，整理得3x23y24x4y80，所以滿足條件的點的軌跡是圓(2)若動圓在y軸右側，則動圓圓心到定點C(1，0)與到定直線x1的距離相等，其軌跡是拋物線，且1，所以其方程為y24x(x0)；若動圓在y軸左側，則圓心軌跡是x軸負半軸，其方程為y0(x0)故動圓圓心M的軌

5、跡方程為y24x(x0)或y0(x0)答案：(1)圓(2)y24x(x0)或y0(x0)2已知A(2，0)，B(1，0)兩點，動點P不在x軸上，且滿足APOBPO，其中O為原點，則P點的軌跡方程是_解析：由角的平分線性質定理得|PA|2|PB|，設P(x，y)，則2，整理得(x2)2y24(y0)答案：(x2)2y24(y0)定義法求軌跡方程 已知A(5，0)，B(5，0)，動點P滿足|，|，8成等差數列，則點P的軌跡方程為_【解析】由已知得|8，所以點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支，且a4，b3，c5，所以點P的軌跡方程為1(x4)【答案】1(x4) (變條件)若將本例中的條件“|，

6、|，8”改為“|，|，8”，求點P的軌跡方程解：由已知得|8，所以點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的左支，且a4，b3，c5，所以點P的軌跡方程為1(x4)定義法求軌跡方程(1)在利用圓錐曲線的定義求軌跡方程時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據曲線的方程，寫出所求的軌跡方程；(2)利用定義法求軌跡方程時，還要看軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應對其中的變量x或y進行限制 1(2020浙江名校聯考)已知ABC的頂點B(0，0)，C(5，0)，AB邊上的中線長|CD|3，則頂點A的軌跡方程為_解析：設A(x，y)，由題意可知D.又因為|CD|3，所以9，

7、即(x10)2y236，由于A，B，C三點不共線，所以點A不能落在x軸上，即y0，所以點A的軌跡方程為(x10)2y236(y0)答案：(x10)2y236(y0)2(2020杭州七校模擬)已知動圓C過點A(2，0)，且與圓M：(x2)2y264相內切求動圓C的圓心的軌跡方程解：圓M：(x2)2y264，圓心M的坐標為(2，0)，半徑R8.因為|AM|4|AM|.所以圓心C的軌跡是中心在原點，焦點為A，M，長軸長為8的橢圓，設其方程為1(ab0)，則a4，c2.所以b2a2c212.所以動圓C的圓心的軌跡方程為1.直接法求軌跡方程(高頻考點)直接法求點的軌跡方程是求軌跡方程的一種重要方法，也是

8、高考考查的重要內容主要命題角度有：(1)已知動點滿足的關系式求軌跡方程(或判斷軌跡)；(2)無明確等量關系求軌跡方程角度一已知動點滿足的關系式求軌跡方程(或判斷軌跡) 已知點F(0，1)，直線l：y1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且，則動點P的軌跡C的方程為()Ax24yBy23xCx22y Dy24x【解析】設點P(x，y)，則Q(x，1)因為，所以(0，y1)(x，2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x24y，所以動點P的軌跡C的方程為x24y.【答案】A角度二無明確等量關系求軌跡方程 (2020金華十校聯考)已知直角三角形ABC的斜邊為AB

9、，且A(1，0)，B(3，0)求直角頂點C的軌跡方程【解】法一：設C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y0.因為ACBC，所以kACkBC1，又kAC，kBC，所以1，化簡得x2y22x30.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2y22x30(y0)法二：設AB的中點為D，由中點坐標公式得D(1，0)，由直角三角形的性質知|CD|AB|2.由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點)所以直角頂點C的軌跡方程為(x1)2y24(y0)直接法求曲線方程的一般步驟(1)建立合理的直角坐標系；(2)設出所求曲線上點的坐標，把幾何條

10、件或等量關系用坐標表示為代數方程；(3)化簡整理這個方程，檢驗并說明所求的方程就是曲線的方程直接法求曲線方程時最關鍵的就是把幾何條件或等量關系“翻譯”為代數方程，要注意“翻譯”的等價性提醒對方程化簡時，只要前后方程解集相同，證明一步可以省略，必要時可說明x，y的取值范圍 1已知|AB|2，動點P滿足|PA|2|PB|，則動點P的軌跡方程為_解析：如圖所示，以AB的中點O為原點，直線AB為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(1，0)，B(1，0)設P(x，y)，因為|PA|2|PB|，所以 2，整理得x2y2x10，即y2.所以動點P的軌跡方程為y2.答案：y22如圖，過點P(2，4)作兩條

11、互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸非負半軸于A點，l2交y軸非負半軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程解：設點M的坐標為(x，y)因為M(x，y)為線段AB中點，所以點A，B的坐標分別為A(2x，0)，B(0，2y)當x1時，因為l1l2，且l1，l2過點P(2，4)，所以kPAkPB1，即1(x1)，化簡得x2y50(x1)當x1時，A，B分別為(2，0)，(0，4)，所以線段AB的中點為(1，2)，滿足方程x2y50(x0，y0)綜上得M的軌跡方程為x2y50(x0，y0)利用相關點法(代入法)求軌跡方程 (2020杭州模擬)已知點Q在橢圓C：1上，點P滿足()(其中O為坐標原點，F

12、1為橢圓C的左焦點)，則點P的軌跡為()A圓 B拋物線C雙曲線 D橢圓【解析】因為點P滿足()，所以Q是線段PF1的中點設P(x1，y1)，由于F1為橢圓C：1的左焦點，則F1(，0)，故Q，由點Q在橢圓C：1上，則點P的軌跡方程為1，故點P的軌跡為橢圓【答案】D 1(2020浙江名校聯考)已知雙曲線y21的左、右頂點分別為A1，A2，點P(x1，y1)，Q(x1，y1)是雙曲線上不同于A1，A2的兩個不同的動點，則直線A1P與A2Q交點的軌跡方程為_解析：由題設知|x1|，A1(，0)，A2(，0)，則有直線A1P的方程為y(x)，直線A2Q的方程為y(x)，聯立，解得所以所以x0，且|x|

13、2，故點Q的軌跡是以C，F為焦點的雙曲線，a1，c2，得b23，所求軌跡方程為x21.答案：x2110(2020杭州高級中學模擬)已知P是橢圓1(ab0)上的任意一點，F1，F2是它的兩個焦點，O為坐標原點，則動點Q的軌跡方程是_解析：，如圖，22，設Q(x，y)，則(x，y)，即P點的坐標為，又P在橢圓上，則有1，即1.答案：111設F(1，0)，M點在x軸上，P點在y軸上，且2，當點P在y軸上運動時，求點N的軌跡方程解：設M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，因為，(x0，y0)，(1，y0)，所以(x0，y0)(1，y0)0，所以x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，所

14、以即所以x0，即y24x.故所求的點N的軌跡方程是y24x.12已知P為圓A：(x1)2y28上的動點，點B(1，0)線段PB的垂直平分線與半徑PA相交于點M，記點M的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)當點P在第一象限，且cosBAP時，求點M的坐標解：(1)圓A的圓心為A(1，0)，半徑等于2.由已知|MB|MP|，于是|MA|MB|MA|MP|22|AB|，故曲線是以A，B為焦點，以2為長軸長的橢圓，即a，c1，b1，所以曲線的方程為y21.(2)由cosBAP，|AP|2，得P.于是直線AP的方程為y(x1)由整理得5x22x70，解得x11，x2.由于點M在線段AP上，所以點M坐標為.

15、綜合題組練1已知log2x，log2y，2成等差數列，則在平面直角坐標系中，點M(x，y)的軌跡為()解析：選A.由2log2y2log2x得log2y2log2(4x)，故點M(x，y)的軌跡方程為y24x(x0，y0)，即y2(x0)，故選A.2已知點A，B分別是射線l1：yx(x0)，l2：yx(x0)上的動點，O為坐標原點，且OAB的面積為定值2，則線段AB的中點M的軌跡方程為_解析：由題意可設A(x1，x1)，B(x2，x2)，M(x，y)，其中x10，x20，則因為OAB的面積為定值2，所以SOABOAOB(x1)(x2)x1x22.22得x2y2x1x2，而x1x22，所以x2y

16、22.由于x10，x20，所以x0，即所求點M的軌跡方程為x2y22(x0)答案：x2y22(x0)3曲線C是平面內與兩個定點F1(1，0)和F2(1，0)的距離的積等于常數a2(a1)的點的軌跡給出下列三個結論：曲線C過坐標原點；曲線C關于坐標原點對稱；若點P在曲線C上，則F1PF2的面積不大于a2.其中，所有正確結論的序號是_解析：因為原點O到兩個定點F1(1，0)，F2(1，0)的距離的積是1，而a21，所以曲線C不過原點，即錯誤；因為F1(1，0)，F2(1，0)關于原點對稱，設M是曲線C上任意一點，所以|MF1|MF2|a2對應的軌跡關于原點對稱，即正確；因為SF1PF2|PF1|P

17、F2|sinF1PF2|PF1|PF2|a2，即F1PF2的面積不大于a2，所以正確答案：4已知坐標平面上動點M(x，y)與兩個定點P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|5|MQ|.(1)求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；(2)記(1)中軌跡為C，過點N(2，3)的直線l被C所截得的線段長度為8，求直線l的方程解：(1)由題意，得5，即5，化簡，得x2y22x2y230，所以點M的軌跡方程是(x1)2(y1)225.軌跡是以(1，1)為圓心，以5為半徑的圓(2)當直線l的斜率不存在時，l：x2，此時所截得的線段長度為28，所以l：x2符合題意當直線l的斜率存在時，設l的方程為y3k(x

18、2)，即kxy2k30，圓心(1，1)到直線l的距離d，由題意，得4252，解得k.所以直線l的方程為xy0，即5x12y460.綜上，直線l的方程為x2或5x12y460.5.(2020溫州市普通高中?？?如圖，P為圓M：(x)2y224上的動點，定點Q(，0)，線段PQ的垂直平分線交線段MP于點N.(1)求動點N的軌跡方程；(2)記動點N的軌跡為曲線C，設圓O：x2y22的切線l交曲線C于A，B兩點，求|OA|OB|的最大值解：(1)連接QN，因為|NM|NQ|NM|NP|MP|22|MQ|，所以動點N的軌跡為橢圓，所以a，c，所以b23.所以動點N的軌跡方程為1.(2)當切線l垂直坐標軸時，|OA|OB|4.當切線l不垂直坐標軸時，設切線l的方程為ykxm(k0)，點A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直線和圓相切，得m222k2.由得(2k21)x24kmx2m260，所以x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(k21)x1x2km(x1x2)m2(k21)kmm20，所以AOB90，所以|OA|OB|AB|，又因為|AB| |x1x2|，令tk2，則|AB|223，當且僅當k時，等號成立，所以|OA|OB|3，綜上，|OA|OB|的最大值為3.15