（浙江專(zhuān)用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9 第9講 曲線與方程教學(xué)案

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1、第9講　曲線與方程 1．曲線與方程 在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系： (1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解； (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上． 那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線． 2．曲線的交點(diǎn) 設(shè)曲線C1的方程為F1(x，y)＝0，曲線C2的方程為F2(x，y)＝0，則C1，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的實(shí)數(shù)解，若此方程組無(wú)解，則兩曲線無(wú)交點(diǎn)． 3．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟 (1)建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； (2)設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)； (3

2、)列式——列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式； (4)代換——依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的方程式，并化簡(jiǎn)； (5)證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程． [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)f(x0，y0)＝0是點(diǎn)P(x0，y0)在曲線f(x，y)＝0上的充要條件．(　　) (2)方程x2＋xy＝x的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線．(　　) (3)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一樣的．(　　) (4)方程y＝與x＝y(tǒng)2表示同一曲線．(　　) (5)y＝kx與x＝y(tǒng)表示同一直線．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)

3、×　(4)×　(5)× [教材衍化] 1．(選修2-1P37練習(xí)T3改編)已知點(diǎn)F，直線l：x＝－，點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是(　　) A．雙曲線　　　　　　　　 B．橢圓 C．圓 D．拋物線 解析：選D.由已知|MF|＝|MB|，根據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線． 2．(選修2-1P35例1改編)曲線C：xy＝2上任一點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之積為_(kāi)_______． 解析：在曲線xy＝2上任取一點(diǎn)(x0，y0)，則x0y0＝2，該點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之積為|x0||y0|＝|x0y0|＝

4、2. 答案：2 3．(選修2-1P37A組T4改編)已知⊙O的方程為x2＋y2＝4，過(guò)M(4，0)的直線與⊙O交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______． 解析：根據(jù)垂徑定理知：OP⊥PM，所以P點(diǎn)軌跡是以O(shè)M為直徑的圓且在⊙O內(nèi)的部分．以O(shè)M為直徑的圓的方程為(x－2)2＋y2＝4，它與⊙O的交點(diǎn)為(1，±)．結(jié)合圖形可知所求軌跡方程為(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)． 答案：(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1) [易錯(cuò)糾偏] (1)混淆“軌跡”與“軌跡方程”出錯(cuò)； (2)忽視軌跡方程的“完備性”與“純粹性”． 1．(1)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A(2，2)，

5、B(0，0)距離的比值為2的點(diǎn)的軌跡是________． (2)設(shè)動(dòng)圓M與y軸相切且與圓C：x2＋y2－2x＝0相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_(kāi)_______． 解析：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以滿足條件的點(diǎn)的軌跡是圓． (2)若動(dòng)圓在y軸右側(cè)，則動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)C(1，0)與到定 直線x＝－1的距離相等，其軌跡是拋物線，且＝1，所以其方程為y2＝4x(x＞0)；若動(dòng)圓在y軸左側(cè)，則圓心軌跡是x軸負(fù)半軸，其方程為y＝0(x＜0)．故動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)． 答案：(1)圓　(2)y2＝4x(

6、x＞0)或y＝0(x＜0) 2．已知A(－2，0)，B(1，0)兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P不在x軸上，且滿足∠APO＝∠BPO，其中O為原點(diǎn)，則P點(diǎn)的軌跡方程是________． 解析：由角的平分線性質(zhì)定理得|PA|＝2|PB|，設(shè)P(x，y)，則＝2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)． 答案：(x－2)2＋y2＝4(y≠0) 　　　　　　定義法求軌跡方程 已知A(－5，0)，B(5，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足||，||，8成等差數(shù)列，則點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______． 【解析】　由已知得||－||＝8， 所以點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支， 且a＝4，b＝3，c＝5，

7、所以點(diǎn)P的軌跡方程為－＝1(x≥4)． 【答案】　－＝1(x≥4) (變條件)若將本例中的條件“||，||，8”改為“||，||，8”，求點(diǎn)P的軌跡方程． 解：由已知得||－||＝8， 所以點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且a＝4，b＝3，c＝5， 所以點(diǎn)P的軌跡方程為－＝1(x≤－4)． 定義法求軌跡方程 (1)在利用圓錐曲線的定義求軌跡方程時(shí)，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)曲線的方程，寫(xiě)出所求的軌跡方程； (2)利用定義法求軌跡方程時(shí)，還要看軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制．　

8、 1．(2020·浙江名校聯(lián)考)已知△ABC的頂點(diǎn)B(0，0)，C(5，0)，AB邊上的中線長(zhǎng)|CD|＝3，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_(kāi)_________________． 解析：設(shè)A(x，y)，由題意可知D.又因?yàn)閨CD|＝3，所以＋＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以點(diǎn)A不能落在x軸上，即y≠0，所以點(diǎn)A的軌跡方程為(x－10)2＋y2＝36(y≠0)． 答案：(x－10)2＋y2＝36(y≠0) 2．(2020·杭州七校模擬)已知?jiǎng)訄AC過(guò)點(diǎn)A(－2，0)，且與圓M：(x－2)2＋y2＝64相內(nèi)切．求動(dòng)圓C的圓心的軌跡方程． 解：圓M：(x－2)2＋y2＝

9、64，圓心M的坐標(biāo)為(2，0)，半徑R＝8.因?yàn)閨AM|＝4|AM|. 所以圓心C的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為A，M，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，設(shè)其方程為＋＝1(a>b>0)，則a＝4，c＝2.所以b2＝a2－c2＝12. 所以動(dòng)圓C的圓心的軌跡方程為＋＝1. 　　　　　　直接法求軌跡方程(高頻考點(diǎn)) 直接法求點(diǎn)的軌跡方程是求軌跡方程的一種重要方法，也是高考考查的重要內(nèi)容．主要命題角度有： (1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的關(guān)系式求軌跡方程(或判斷軌跡)； (2)無(wú)明確等

10、量關(guān)系求軌跡方程． 角度一　已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的關(guān)系式求軌跡方程(或判斷軌跡) 已知點(diǎn)F(0，1)，直線l：y＝－1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，且·＝·，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為(　　) A．x2＝4y　　　　　　　　 B．y2＝3x C．x2＝2y D．y2＝4x 【解析】　設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(x，－1)． 因?yàn)椤ぃ健ぃ?0，y＋1)·(－x，2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)， 整理得x2＝4y， 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2＝4y. 【答案】　A 角度二　無(wú)明確等量關(guān)系求軌跡方程 (2020·金

11、華十校聯(lián)考)已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程． 【解】　法一：設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線， 所以y≠0. 因?yàn)锳C⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)． 法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1，0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝|AB|＝2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))． 所以直角頂點(diǎn)C的軌

12、跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． 直接法求曲線方程的一般步驟 (1)建立合理的直角坐標(biāo)系； (2)設(shè)出所求曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，把幾何條件或等量關(guān)系用坐標(biāo)表示為代數(shù)方程； (3)化簡(jiǎn)整理這個(gè)方程，檢驗(yàn)并說(shuō)明所求的方程就是曲線的方程． 直接法求曲線方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系“翻譯”為代數(shù)方程，要注意“翻譯”的等價(jià)性． [提醒]　對(duì)方程化簡(jiǎn)時(shí)，只要前后方程解集相同，證明一步可以省略，必要時(shí)可說(shuō)明x，y的取值范圍．　 1．已知|AB|＝2，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______． 解析：如圖所示，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，直線AB為

13、x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(－1，0)，B(1，0)． 設(shè)P(x，y)， 因?yàn)閨PA|＝2|PB|， 所以 ＝2， 整理得x2＋y2－x＋1＝0， 即＋y2＝. 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為＋y2＝. 答案：＋y2＝ 2．如圖，過(guò)點(diǎn)P(2，4)作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸非負(fù)半軸于A點(diǎn)，l2交y軸非負(fù)半軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程． 解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)． 因?yàn)镸(x，y)為線段AB中點(diǎn)，所以點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(2x，0)，B(0，2y)． 當(dāng)x≠1時(shí)，因?yàn)閘1⊥l2，且l1，l2過(guò)點(diǎn)P(2，4)，所以kPA·kPB＝－1，

14、即·＝－1(x≠1)， 化簡(jiǎn)得x＋2y－5＝0(x≠1)． 當(dāng)x＝1時(shí)，A，B分別為(2，0)，(0，4)， 所以線段AB的中點(diǎn)為(1，2)， 滿足方程x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)． 綜上得M的軌跡方程為x＋2y－5＝0(x≥0，y≥0)． 　　　　　　利用相關(guān)點(diǎn)法(代入法)求軌跡方程 (2020·杭州模擬)已知點(diǎn)Q在橢圓C：＋＝1上，點(diǎn)P滿足＝(＋)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓C的左焦點(diǎn))，則點(diǎn)P的軌跡為(　　) A．圓 B．拋物線 C．雙曲線 D．橢圓 【解析】　因?yàn)辄c(diǎn)P滿足＝(＋)， 所以Q是線段PF1的中點(diǎn)．設(shè)P(x1，y1)， 由于F1為

15、橢圓C：＋＝1的左焦點(diǎn)， 則F1(－，0)，故Q， 由點(diǎn)Q在橢圓C：＋＝1上， 則點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1， 故點(diǎn)P的軌跡為橢圓． 【答案】　D 　 1．(2020·浙江名校聯(lián)考)已知雙曲線－y2＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是雙曲線上不同于A1，A2的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，則直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_______． 解析：由題設(shè)知|x1|>，A1(－，0)，A2(，0)，則有 直線A1P的方程為y＝(x＋)，① 直線A2Q的方程為y＝(x－)，② 聯(lián)立①②，解得所以③ 所以x≠0，且|x|<，因?yàn)辄c(diǎn)P(x1，y1

16、)在雙曲線－y2＝1上，所以－y＝1. 將③代入上式，整理得所求軌跡的方程為＋y2＝1(x≠0，且x≠±)． 答案：＋y2＝1(x≠0，且x≠±) 2．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：＋y2＝1上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足＝.求點(diǎn)P的軌跡方程． 解：設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)， 則N(x0，0)，＝(x－x0，y)， ＝(0，y0)． 由＝ 得 x0＝x，y0＝y(tǒng). 因?yàn)镸(x0，y0)在C上， 所以＋＝1. 因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝2. [基礎(chǔ)題組練] 1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲線是(　　) A．一條直線和一條雙曲線

17、 B．兩條雙曲線 C．兩個(gè)點(diǎn) D．以上答案都不對(duì) 解析：選C.(x－y)2＋(xy－1)2＝0 ?故或 2．到點(diǎn)F(0，4)的距離比到直線y＝－5的距離小1的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(　　) A．y＝16x2　　　　　　　　 B．y＝－16x2 C．x2＝16y D．x2＝－16y 解析：選C.由條件知，動(dòng)點(diǎn)M到F(0，4)的距離與到直線y＝－4的距離相等，所以點(diǎn)M的軌跡是以F(0，4)為焦點(diǎn)，直線y＝－4為準(zhǔn)線的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝16y. 3．(2020·嘉興模擬)已知點(diǎn)A(1，0)，直線l：y＝2x－4，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，若＝，則點(diǎn)P的軌跡方程為(　　) A

18、．y＝－2x B．y＝2x C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4 解析：選B.設(shè)P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，點(diǎn)A是線段RP的中點(diǎn)，所以即 因?yàn)辄c(diǎn)R(x1，y1)在直線y＝2x－4上， 所以y1＝2x1－4， 所以－y＝2(2－x)－4，即y＝2x. 4．(2020·紹興一中高三期中)到兩條互相垂直的異面直線距離相等的點(diǎn)的軌跡，被過(guò)一直線與另一直線垂直的平面所截，截得的曲線為(　　) A．相交直線 B．雙曲線 C．拋物線 D．橢圓弧 解析：選C.如圖所示，建立坐標(biāo)系，不妨設(shè)兩條互相垂直的異面直線為OA，BC，設(shè)OB＝a，P(x，y，z)到直線OA，BC

19、的距離相等， 所以x2＋z2＝(x－a)2＋y2， 所以2ax－y2＋z2－a2＝0， 若被平面xOy所截，則z＝0，y2＝2ax－a2；若被平面xOz所截，則y＝0，z2＝－2ax＋a2，故選C. 5．設(shè)點(diǎn)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則P點(diǎn)的軌跡方程為(　　) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 解析：選D.如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1，0)．連接MA，PM， 則MA⊥PA，且|MA|＝1， 又因?yàn)閨PA|＝1， 所以|PM|＝＝，即|PM|2＝2，所以(x－1)

20、2＋y2＝2. 6．若曲線C上存在點(diǎn)M，使M到平面內(nèi)兩點(diǎn)A(－5，0)，B(5，0)，距離之差的絕對(duì)值為8，則稱(chēng)曲線C為“好曲線”．以下曲線不是“好曲線”的是(　　) A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9 C.＋＝1 D．x2＝16y 解析：選B.因?yàn)镸到平面內(nèi)兩點(diǎn)A(－5，0)，B(5，0)距離之差的絕對(duì)值為8，所以M的軌跡是以A(－5，0)，B(5，0)為焦點(diǎn)的雙曲線，方程為－＝1. A項(xiàng)，直線x＋y＝5過(guò)點(diǎn)(5，0)，滿足題意，為“好曲線”；B項(xiàng)，x2＋y2＝9的圓心為(0，0)，半徑為3，與M的軌跡沒(méi)有交點(diǎn)，不滿足題意；C項(xiàng)，＋＝1的右頂點(diǎn)為(5，0)，滿足題意，為“好

21、曲線”；D項(xiàng)，方程代入－＝1，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，所以Δ＞0，滿足題意，為“好曲線”． 7．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1，0)，B(2，2)，若點(diǎn)C滿足＝＋t(－)，其中t∈R，則點(diǎn)C的軌跡方程是________． 解析：設(shè)C(x，y)，則＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t，2t)，所以消去參數(shù)t得點(diǎn)C的軌跡方程為y＝2x－2. 答案：y＝2x－2 8．已知M(－2，0)，N(2，0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是________． 解析：設(shè)P(x，y)， 因?yàn)椤鱉PN為直角三角形， 所以|MP|2＋|NP|2＝|MN|2， 所

22、以(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16， 整理得，x2＋y2＝4. 因?yàn)镸，N，P不共線，所以x≠±2， 所以軌跡方程為x2＋y2＝4(x≠±2)． 答案：x2＋y2＝4(x≠±2) 9．已知點(diǎn)P是圓C：(x＋2)2＋y2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)F(2，0)，線段PF的垂直平分線與直線CP的交點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q(x，y)的軌跡方程是________． 解析：依題意有|QP|＝|QF|，則||QC|－|QF||＝|CP|＝2，又|CF|＝4>2，故點(diǎn)Q的軌跡是以C，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線，a＝1，c＝2，得b2＝3，所求軌跡方程為x2－＝1. 答案：x2－＝1 10．(2020·杭州高級(jí)

23、中學(xué)模擬)已知P是橢圓＋＝1(a>b>0)上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝＋，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是________． 解析：＝＋，如圖，＋＝＝2＝－2，設(shè)Q(x，y)，則＝－＝－(x，y)＝， 即P點(diǎn)的坐標(biāo)為，又P在橢圓上，則有＋＝1，即＋＝1. 答案：＋＝1 11．設(shè)F(1，0)，M點(diǎn)在x軸上，P點(diǎn)在y軸上，且＝2，⊥，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡方程． 解：設(shè)M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)， 因?yàn)椤?，?x0，－y0)，＝(1，－y0)， 所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0. 由＝2得(x－x0，y)＝2(

24、－x0，y0)， 所以 即所以－x＋＝0，即y2＝4x. 故所求的點(diǎn)N的軌跡方程是y2＝4x. 12．已知P為圓A：(x＋1)2＋y2＝8上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B(1，0)．線段PB的垂直平分線與半徑PA相交于點(diǎn)M，記點(diǎn)M的軌跡為Γ. (1)求曲線Γ的方程； (2)當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，且cos∠BAP＝時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)． 解：(1)圓A的圓心為A(－1，0)，半徑等于2. 由已知|MB|＝|MP|， 于是|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MP|＝2>2＝|AB|， 故曲線Γ是以A，B為焦點(diǎn)，以2為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓， 即a＝，c＝1，b＝1， 所以曲線Γ的方程為＋y2＝1. (2)由co

25、s∠BAP＝，|AP|＝2，得P. 于是直線AP的方程為y＝(x＋1)． 由 整理得5x2＋2x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－. 由于點(diǎn)M在線段AP上， 所以點(diǎn)M坐標(biāo)為. [綜合題組練] 1．已知log2x，log2y，2成等差數(shù)列，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(x，y)的軌跡為(　　) 解析：選A.由2log2y＝2＋log2x得log2y2＝log2(4x)，故點(diǎn)M(x，y)的軌跡方程為y2＝4x(x＞0，y＞0)，即y＝2(x＞0)，故選A. 2．已知點(diǎn)A，B分別是射線l1：y＝x(x≥0)，l2：y＝－x(x≥0)上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△OAB的面積為定值2，

26、則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_______． 解析：由題意可設(shè)A(x1，x1)，B(x2，－x2)，M(x，y)， 其中x1>0，x2>0，則 因?yàn)椤鱋AB的面積為定值2， 所以S△OAB＝OA·OB＝(x1)(x2)＝x1x2＝2. ①2－②2得x2－y2＝x1x2，而x1x2＝2， 所以x2－y2＝2. 由于x1>0，x2>0，所以x>0， 即所求點(diǎn)M的軌跡方程為x2－y2＝2(x>0)． 答案：x2－y2＝2(x>0) 3．曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1(－1，0)和F2(1，0)的距離的積等于常數(shù)a2(a＞1)的點(diǎn)的軌跡．給出下列三個(gè)結(jié)論： ①曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；

27、 ②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)； ③若點(diǎn)P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于a2. 其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________． 解析：因?yàn)樵c(diǎn)O到兩個(gè)定點(diǎn)F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)的距離的積是1，而a2＞1，所以曲線C不過(guò)原點(diǎn)，即①錯(cuò)誤； 因?yàn)镕1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)M是曲線C上任意一點(diǎn)，所以|MF1||MF2|＝a2對(duì)應(yīng)的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即②正確； 因?yàn)镾△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1|·|PF2|＝a2，即△F1PF2的面積不大于a2，所以③正確． 答案：②③ 4．已知坐標(biāo)平面上動(dòng)點(diǎn)M(x，y)與兩個(gè)定點(diǎn)P(

28、26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|. (1)求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形； (2)記(1)中軌跡為C，過(guò)點(diǎn)N(－2，3)的直線l被C所截得的線段長(zhǎng)度為8，求直線l的方程． 解：(1)由題意，得＝5，即＝5， 化簡(jiǎn)，得x2＋y2－2x－2y－23＝0， 所以點(diǎn)M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25. 軌跡是以(1，1)為圓心，以5為半徑的圓． (2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x＝－2， 此時(shí)所截得的線段長(zhǎng)度為2＝8， 所以l：x＝－2符合題意． 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0，圓心(1，1

29、)到直線l的距離d＝， 由題意，得＋42＝52，解得k＝. 所以直線l的方程為x－y＋＝0，即5x－12y＋46＝0. 綜上，直線l的方程為x＝－2或5x－12y＋46＝0. 5.(2020·溫州市普通高中?？?如圖，P為圓M：(x－)2＋y2＝24上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)Q(－，0)，線段PQ的垂直平分線交線段MP于點(diǎn)N. (1)求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程； (2)記動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線C，設(shè)圓O：x2＋y2＝2的切線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，求|OA|·|OB|的最大值． 解：(1)連接QN，因?yàn)閨NM|＋|NQ|＝|NM|＋|NP|＝|MP|＝2＞2＝|MQ|， 所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為橢圓， 所

30、以a＝，c＝，所以b2＝3. 所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為＋＝1. (2)①當(dāng)切線l垂直坐標(biāo)軸時(shí)，|OA|·|OB|＝4. ②當(dāng)切線l不垂直坐標(biāo)軸時(shí)，設(shè)切線l的方程為y＝kx＋m(k≠0)，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直線和圓相切，得m2＝2＋2k2. 由得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－6＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)·(kx2＋m)＝(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝(k2＋1)·－km·＋m2 ＝＝0， 所以∠AOB＝90°，所以|OA|·|OB|＝|AB|， 又因?yàn)閨AB|＝ |x1－x2| ＝· ＝， 令t＝k2，則|AB|＝2 ＝2≤3， 當(dāng)且僅當(dāng)k＝±時(shí)，等號(hào)成立， 所以|OA|·|OB|≤3， 綜上，|OA|·|OB|的最大值為3. 15