（江蘇專用版 ）2018-2019學年高中數學 4.1.1 直角坐標系學案 蘇教版選修4-4

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1、 4.1.1　直角坐標系 1．掌握在平面直角坐標系中刻畫點的位置的方法，體會坐標系的作用． 2．對具體問題，能建立適當的坐標系，使所刻畫的代數形式具有更簡便的結果． [基礎·初探] 1．直線坐標系 在直線上，取一個點為原點，并確定一個長度單位和直線的方向，就建立了直線上的坐標系，即數軸． 數軸上任意一點P都可以由惟一的實數x確定，x稱為點P的坐標． 2．平面直角坐標系 在平面上，取兩條互相垂直的直線的交點為原點，并確定一個長度單位和這兩條直線的方向，就建立了平面直角坐標系．平面上任意一點P都可以由惟一的有序實數對(x，y)確定，(x，y)稱為點P的坐標． 3．空

2、間直角坐標系 在空間中，選擇兩兩垂直且交于一點的三條直線，取這三條直線的交點為原點，并確定一個長度單位和這三條直線的方向，就建立了空間直角坐標系． 空間中任意一點P都可以由惟一的三元有序實數組(x，y，z)確定，(x，y，z)稱為點P的坐標． [思考·探究] 1．建立適當的坐標系一般有哪些規(guī)則？ 【提示】　(1)如果圖形有對稱中心，可以選擇對稱中心為坐標原點； (2)如果圖形有對稱軸，可以選擇對稱軸為坐標軸； (3)使圖形上的特殊點盡可能多的落在坐標軸上． 2．由坐標(x，y)怎樣確定點的位置？ 【提示】　在平面直角坐標系中，分別過點M(x,0)，N(0，y)作x軸和y軸的垂

3、線，兩條直線的交點P即(x，y)所確定的點． [質疑·手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問3

4、：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 建立適當的坐標系刻畫點的位置 　正方形的邊長等于4，試選擇適當的坐標系，表示其頂點與中心的坐標． 【自主解答】　　法一　以正方形的一個頂點為原點，兩條鄰邊為坐標軸，且把第四個頂點放在第一象限，建立平面直角坐標系，如圖(1)所示．此時，其四個頂點的坐標分別為O(0,0)、A(4,0)、B(4,4)、C(0,4)，中心為M(2,2)． 法二　以正方形的中心

5、為原點，且使兩條坐標軸平行于正方形的邊，建立平面直角坐標系，如圖(2)所示．此時，正方形的頂點坐標分別為A(2，－2)、B(2,2)、C(－2,2)、D(－2，－2)，中心為O(0,0)． 法三　以正方形的兩條對角線為坐標軸建立直角坐標系，如圖(3)所示．此時，正方形的頂點坐標分別為A(2，0)、B(0,2)、C(－2，0)、D(0，－2)，中心為O(0,0)．(作圖時只要以圖(2)中的原點O為圓心，OA為半徑作圓，該圓與坐標軸的四個交點即是圖(3)中正方形的各個頂點) [再練一題] 1．選擇適當的坐標系，表示兩條直角邊長都為1的直角三角形的三個頂點的坐標． 【導學號：989900

6、00】 【解】　法一　以直角三角形的兩條直角邊AC、BC所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖(1)所示的平面直角坐標系，則C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)． 法二　以斜邊AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立如圖(2)所示的平面直角坐標系．則A(－，0)，B(，0)，C(0，)． 建立坐標系解決證明問題 　用解析法證明：等腰三角形底邊延長線上一點，到兩腰的距離之差等于一腰上的高． 【自主解答】　　如圖，在△ABC中，AB＝AC， P為BC延長線上一點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，以BC所在直線為x軸，以BC的中垂線為y軸， 建立直角

7、坐標系，如圖所示， 設A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)(a＞0，b＞0)，則直線AB的方程為bx－ay＋ab＝0， 直線AC的方程為bx＋ay－ab＝0， 取P(x0,0)，使x0＞a，則點P到直線AB、AC的距離分別為 PD＝＝， PE＝＝. 點C到直線AB的距離為 CF＝＝， 則PD－PE＝＝CF. 故所需證明命題成立． [再練一題] 2．已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分別為兩腰上的高，求證：BD＝CE. 【證明】　如圖，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系． 設B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)． 則直線

8、AC的方程為y＝－x＋h，即：hx＋ay－ah＝0. 直線AB的方程為y＝x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. 由點到直線的距離公式得： BD＝， CE＝. ∴BD＝CE. 建立坐標系求軌跡方程 　如圖4-1-1所示，過點P(2,4)有兩條互相垂直的直線l1，l2.l1交x軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M滿足的方程． 圖4-1-1 【思路探究】　法一　設點→求斜率→斜率積為－1→整理得方程→ 檢查有無不適合的點→結論 法二　設M(x，y)→尋求M滿足的條件→列方程→檢查有無不適合的點 →結論 法三　O，A，P，B四點共圓→PM＝MO→求kO

9、P及OP中點坐標→ 點斜式寫出OP的垂直平分線方程為所求 【自主解答】　法一　設點M的坐標為(x，y)，因為M為線段AB的中點，所以點A的坐標為(2x,0)，點B的坐標為(0,2y)． 因為l1⊥l2，且l1，l2過點P(2,4)， 所以kAP·kPB＝－1. 而kAP＝(x≠1)，kPB＝，所以·＝－1(x≠1)，整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)． 因為當x＝1時，點A，B的坐標分別為(2,0)，(0,4)，所以線段AB的中點坐標是(1,2)，它滿足方程x＋2y－5＝0. 綜上所述，點M滿足的方程是x＋2y－5＝0. 法二　設點M的坐標為(x，y)，則A，B兩點的坐標分別是

10、(2x,0)，(0,2y)， 連接PM.因為l1⊥l2，所以PM＝AB. 而PM＝， AB＝， 所以2＝， 化簡，得x＋2y－5＝0，即為所求方程． 法三　因為l1⊥l2，OA⊥OB，點M為線段AB的中點，所以O，A，P，B四點共圓， 且該圓的圓心為M(x，y)，所以PM＝MO，所以點M的軌跡為線段OP的垂直平分線． 因為kOP＝＝2，OP的中點坐標為(1,2)，所以點M滿足的方程為y－2＝－(x－1)， 化簡得x＋2y－5＝0. 通過建立坐標系精確地刻畫集合圖形的位置和物體運動的軌跡的方法稱為解析法．解決此類問題的關鍵： (1)建立平面直角坐標系； (2)設點(點

11、與坐標的對應)； (3)列式(方程與坐標的對應，列出幾何條件，并將幾何條件代數化)； (4)化簡(注意變形的等價性)； (5)證明(若保證等價變形，則此步驟可以省略)． [再練一題] 3．設圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為C，過原點作圓的弦OA，求OA中點B的軌跡方程． 【解】　法一　(直接法)：設B點坐標為(x，y)， 由題意，得OB2＋BC2＝OC2，如圖所示， 即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，即OA中點B的軌跡方程為(x－)2＋y2＝(去掉原點)． 法二　(幾何法)：設B點坐標為(x，y)， 由題意知CB⊥OA，OC的中點記為M(，0)， 則M

12、B＝OC＝， 故B點的軌跡方程為(x－)2＋y2＝(去掉原點)． 法三　(代入法)：設A點坐標為(x1，y1)，B點坐標為(x，y)， 由題意得 即 又因為(x1－1)2＋y＝1， 所以(2x－1)2＋(2y)2＝1， 即(x－)2＋y2＝(去掉原點)． 法四　(交點法)：設直線OA的方程為y＝kx， 當k＝0時，B為(1,0)；當k≠0時，直線BC的方程為： y＝－(x－1)，直線OA，BC的方程聯(lián)立消去k即得其交點軌跡方程：y2＋x(x－1)＝0，即(x－)2＋y2＝(x≠0,1)， 顯然B(1,0)滿足(x－)2＋y2＝， 故(x－)2＋y2＝(去掉原點)為所求．

13、 [真題鏈接賞析] 　(教材第16頁習題4.1第4題)據氣象臺預報，在A市正東方300 km的B處有一臺風中心形成，并以每小時40 km的速度向西北方向移動，在距臺風中心250 km以內的地區(qū)將受其影響．問：從現(xiàn)在起經過多少時間，臺風將影響A市，持續(xù)時間多長？ 　已知B村位于A村的正西方向1公里處，原計劃經過B村沿著北偏東60°的方向埋設一條地下管線m.但在A村的西北方向400米處，發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址W.根據初步勘察的結果，文物管理部門將遺址W周圍100米范圍劃為禁區(qū)．試問：埋設地下管線m的計劃需要修改嗎？ 【命題意圖】　本題主要考查合理建立直角坐標系，并能應用其解決實際問題的能力．

14、 【解】　以A村為原點，直線BA為x軸，建立如圖所示的坐標系． 則點B坐標為(－1 000,0)，點W坐標為(－200，200)，由題意，管線m的斜率為k＝tan 30°＝， 所以管線m所在的方程為y＝(x＋1 000)， 化簡得x－3y＋1 000＝0， 即x－y＋1 000＝0. 點W到該直線m的距離為 d＝ ＝|500－100－100|＝100(5－－)． 因為5－－＞1，所以d＞100. 故管線m不會穿過禁區(qū)，故該計劃不需要修改． 1．已知點P(－1＋2m，－3－m)在第三象限，則m的取值范圍是________． 【解析】　∵第三象限點的坐標特征是橫坐標與

15、縱坐標均小于0， ∴即∴－3＜m＜. 【答案】　(－3，) 2．點P(2，－3，－1)關于yOz坐標平面對稱的點的坐標是________． 【解析】　∵P(x，y，z)關于平面yOz坐標平面對稱的為點P′(－x，y，z)， ∴點(2，－3，－1)關于yOz平面的對稱點為(－2，－3，－1)． 【答案】　(－2，－3，－1) 3．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周長為10，則A點的軌跡方程是________． 【解析】　∵BC＝4，∴AB＋AC＝10－BC＝6＞BC， ∴A的軌跡為橢圓除去B、C兩點，∴設橢圓方程為＋＝1，故2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝

16、2，∴b2＝32－22＝5. 故軌跡方程為＋＝1(y≠0)． 【答案】?。?(y≠0) 4．點(－2，－3)關于直線3x＋4y＋5＝0對稱的點的坐標為________． 【導學號：98990001】 【解析】　設所求對稱點為(x，y)，則 解得 所求對稱點坐標為(，)． 【答案】　(，) 我還有這些不足： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 8