《（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 立體幾何教學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 立體幾何教學(xué)案（21頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題二 立體幾何江蘇 新高考高考對(duì)本專題內(nèi)容的考查一般是“一小一大”，小題主要考查體積和表面積的計(jì)算問(wèn)題，而大題主要證明線線、線面、面面的平行與垂直問(wèn)題，其考查形式單一，難度一般.第1課時(shí)立體幾何中的計(jì)算(基礎(chǔ)課)?？碱}型突破空間幾何體的表面積與體積必備知識(shí)空間幾何體的幾組常用公式(1)柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式：S柱側(cè)ch(c為底面周長(zhǎng)，h為高)；S錐側(cè)ch(c為底面周長(zhǎng)，h為斜高)；S臺(tái)側(cè)(cc)h(c，c分別為上下底面的周長(zhǎng)，h為斜高)(2)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：V柱體Sh(S為底面面積，h為高)；V錐體Sh(S為底面面積，h為高)；V臺(tái)(SS)h(不要求記憶)(3)球的表面積和
2、體積公式：S球4R2(R為球的半徑)；V球R3(R為球的半徑)題組練透1現(xiàn)有一個(gè)底面半徑為3 cm，母線長(zhǎng)為5 cm的圓錐狀實(shí)心鐵器，將其高溫熔化后鑄成一個(gè)實(shí)心鐵球(不計(jì)損耗)，則該鐵球的半徑為_cm.解析：因?yàn)閳A錐底面半徑為3 cm，母線長(zhǎng)為5 cm，所以圓錐的高為4 cm，其體積為32412 cm3，設(shè)鐵球的半徑為r，則r312，所以該鐵球的半徑是 cm.答案：2(2017蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知直四棱柱底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)面對(duì)角線的長(zhǎng)為2，則該直四棱柱的側(cè)面積為_解析：由題意得，直四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以該直四棱柱的側(cè)面積為Scl42216.答案：163(2017南通、泰州一調(diào))如圖，在正
3、四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB3 cm，AA11 cm，則三棱錐D1A1BD的體積為_cm3. 解析：三棱錐D1A1BD的體積等于三棱錐BA1D1D的體積，因?yàn)槿忮FBA1D1D的高等于AB，A1D1D的面積為矩形AA1D1D的面積的，所以三棱錐BA1D1D的體積是正四棱柱ABCDA1B1C1D1的體積的，所以三棱錐D1A1BD的體積等于321.答案：4.如圖所示是一個(gè)直三棱柱(以A1B1C1為底面)被一個(gè)平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1B1C11，A1B1C190，A1A4，B1B2，C1C3，則此幾何體的體積為_解析：在A1A上取點(diǎn)A2，在C1C上取點(diǎn)C2，使A1A
4、2C1C2BB1，連結(jié)A2B，BC2，A2C2，VV V 112.答案：5設(shè)甲，乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等且，則的值是_解析：設(shè)甲，乙兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則有2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，又，則2.答案：方法歸納求幾何體的表面積及體積的解題技巧(1)求幾何體的表面積及體積問(wèn)題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解多
5、面體與球的切接問(wèn)題必備知識(shí)解決球與其他幾何體的切、接問(wèn)題(1)解題的關(guān)鍵：仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系(2)選準(zhǔn)最佳角度作出截面：要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系，達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的(3)認(rèn)識(shí)球與正方體組合的3種特殊截面：(4)熟記2個(gè)結(jié)論：設(shè)小圓O1半徑為r，OO1d，則d2r2R2；若A，B是圓O1上兩點(diǎn)，則AB2rsin2Rsin.題組練透1(2017江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是_解析：設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉與圓柱O
6、1O2的上、下底面及母線均相切，所以圓柱的底面半徑為R、高為2R，所以.答案：2(2017全國(guó)卷改編)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為_解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r2122，所以圓柱的體積V1.答案：3已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為2的球O的球面上，且AB3，BC，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，則棱錐EABCD的體積為_解析：如圖所示，BE過(guò)球心O，DE 2，VE ABCD322.答案：24(2017南京、鹽城一模)將矩形ABCD繞邊AB旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱，AB3，BC2，圓柱上底面圓心為O，EFG為下底面圓的一個(gè)內(nèi)接直角
7、三角形，則三棱錐OEFG體積的最大值是_解析：因?yàn)閷⒕匦蜛BCD繞邊AB旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱，AB3，BC2，圓柱上底面圓心為O，EFG為下底面圓的一個(gè)內(nèi)接直角三角形，所以三棱錐OEFG的高為圓柱的高，即高為AB，所以當(dāng)三棱錐OEFG體積取最大值時(shí)，EFG的面積最大，當(dāng)EF為直徑，且G在EF的垂直平分線上時(shí)，(SEFG)max424, 所以三棱錐OEFG體積的最大值(VOEFG)max(SEFG)maxAB434.答案：4方法歸納多面體與球的切接問(wèn)題的解題技巧方法解讀適合題型截面法解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作球內(nèi)切多面體或
8、旋轉(zhuǎn)體構(gòu)造直角三角形法首先確定球心位置，借助外接的性質(zhì)球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑，尋求球心到底面中心的距離、半徑、頂點(diǎn)到底面中心的距離構(gòu)造成直角三角形，利用勾股定理求半徑正棱錐、正棱柱的外接球補(bǔ)形法因正方體、長(zhǎng)方體的外接球半徑易求得，故將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體，便可借助外接球?yàn)橥粋€(gè)的特點(diǎn)求解三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，從正方體或長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)中選取點(diǎn)作為頂點(diǎn)組成的三棱錐、四棱錐等平面圖形的翻折問(wèn)題必備知識(shí)將平面圖形沿其中一條或幾條線段折起，使其成為空間圖形，把這類問(wèn)題稱為平面圖形的翻折問(wèn)題平面圖形經(jīng)過(guò)翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生了變化，有的沒(méi)有發(fā)生變化，弄清
9、它們是解決問(wèn)題的關(guān)鍵一般地，翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化解決這類問(wèn)題就是要據(jù)此研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和幾何量的度量值，這是化解翻折問(wèn)題難點(diǎn)的主要方法題組練透1(2017南通三模)已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，則這個(gè)圓錐的高為_解析：因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為的扇形，所以圓錐的母線長(zhǎng)l3，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則底面周長(zhǎng)2r3，所以r1，所以圓錐的高為2.答案：22(2017南京考前模擬)如圖，正ABC的邊長(zhǎng)為2，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別為邊AC與BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將ABC沿CD翻折，使平面ADC平面DCB，
10、則棱錐EDFC的體積為_ 解析：SDFCSABC，E到平面DFC的距離h等于AD.VEDFCSDFCh.答案：3.(2017全國(guó)卷)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐當(dāng)ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為_解析：法一：由題意可知，折起后所得三棱錐為正三棱錐，當(dāng)ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，設(shè)ABC的邊長(zhǎng)為a(a0)cm，則ABC的面積為a2，DBC的
11、高為5a，則正三棱錐的高為，25a0，0a0，即x42x30，得0x2，則當(dāng)x時(shí)，f(x)f(2)80，V4.所求三棱錐的體積的最大值為4.答案：4方法歸納解決翻折問(wèn)題需要把握的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)解決與翻折有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清翻折前后的變化量和不變量一般情況下，折線同一側(cè)的，線段的長(zhǎng)度是不變量，位置關(guān)系可能會(huì)發(fā)生變化，抓住兩個(gè)“不變性”與折線垂直的線段，翻折前后垂直關(guān)系不改變；與折線平行的線段，翻折前后平行關(guān)系不改變(2)解決問(wèn)題時(shí)，要綜合考慮翻折前后的圖形，既要分析翻折后的圖形，也要分析翻折前的圖形課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是棱B1B的中點(diǎn)，則三棱錐B1
12、ADE的體積為_解析：VB1ADEVDAEB1SAEB1DA11.答案：2若兩球表面積之比是49，則其體積之比為_解析：設(shè)兩球半徑分別為r1，r2，因?yàn)?r4r49，所以r1r223，所以兩球體積之比為rr33827.答案：8273(2017天津高考)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為_解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則6a218，得a，設(shè)該正方體外接球的半徑為R，則2Ra3，得R，所以該球的體積為R3.答案：4已知圓錐的母線長(zhǎng)為10 cm，側(cè)面積為60 cm2，則此圓錐的體積為_cm3.解析：設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則側(cè)面積為rl10r6
13、0，解得r6，則圓錐的高h(yuǎn)8，則此圓錐的體積為r2h36896.答案：965(2017揚(yáng)州期末)若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2(單位：cm)，側(cè)面積為8(單位：cm2)，則它的體積為_(單位：cm3)解析：因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)面積為8，所以底面周長(zhǎng)c8，ch8，所以斜高h(yuǎn)2，正四棱錐的高為h，所以正四棱錐的體積為22.答案：6設(shè)棱長(zhǎng)為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側(cè)面積分別為V2，S2，若，則的值為_解析：由題意知，V1a3，S16a2，V2r3，S2r2，由得，得ar，從而.答案：7.(2017蘇北三市三模)如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中
14、，已知ABAA13，點(diǎn)P在棱CC1上，則三棱錐PABA1的體積為_解析：三棱錐的底面積SABA133，點(diǎn)P到底面的距離為ABC的高h(yuǎn)，故三棱錐的體積VPABA1SABA1h.答案：8(2017無(wú)錫期末)已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個(gè)圓心角為，且面積為3的扇形，則該圓錐的體積等于_解析：設(shè)圓錐的母線為l，底面半徑為r，因?yàn)?l2，所以l3，所以r33，所以r1，所以圓錐的高是2，所以圓錐的體積是122.答案：9(2017徐州古邳中學(xué)摸底)表面積為24的圓柱，當(dāng)其體積最大時(shí)，該圓柱的底面半徑與高的比為_解析：設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，則圓柱的表面積S2r22rh24，即r2rh12，得rh12r2
15、，Vr2hr(12r2)(12rr3)，令V(123r2)0，得r2，函數(shù)Vr2h在區(qū)間(0,2上單調(diào)遞增，在區(qū)間2，)上單調(diào)遞減，r2時(shí)，V最大，此時(shí)2h1248，即h4，.答案：10三棱錐PABC中，PA平面ABC，ACBC，ACBC1，PA，則該三棱錐外接球的表面積為_解析：把三棱錐PABC看作由平面截一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為1、1、的長(zhǎng)方體所得的一部分(如圖).易知該三棱錐的外接球就是對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體的外接球又長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，故外接球半徑為，表面積為425.答案：511已知正三棱錐PABC的體積為，底面邊長(zhǎng)為2，則側(cè)棱PA的長(zhǎng)為_解析：設(shè)底面正三角形ABC的中心為O，又底面邊長(zhǎng)為2，故OA
16、，由VPABCPOSABC，得PO22，PO，所以PA2.答案：212(2017蘇州期末)一個(gè)長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別為3,8,9，若在該長(zhǎng)方體上面鉆一個(gè)圓柱形的孔后其表面積沒(méi)有變化，則圓孔的半徑為_解析：圓柱兩底面積等于圓柱的側(cè)面積孔的打法有三種，所以有三種情況：孔高為3，則2r22r3，解得r3；孔高為8，則r8；孔高為9，則r9.而實(shí)際情況是，當(dāng)r8，r9時(shí)，因?yàn)殚L(zhǎng)方體有個(gè)棱長(zhǎng)為3，所以受限制不能打，所以只有符合答案：313.如圖所示，在體積為9的長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，對(duì)角線B1D與平面A1BC1交于點(diǎn)E，則四棱錐EA1B1C1D1的體積V_.解析：連結(jié)B1D1交A1C1于點(diǎn)F，
17、連結(jié)BD，BF，則平面A1BC1平面BDD1B1BF，因?yàn)镋平面A1BC1，E平面BDD1B1，所以EBF.因?yàn)镕是A1C1的中點(diǎn)，所以BF是中線，又B1F綊BD，所以，故點(diǎn)E到平面A1B1C1D1的距離是BB1的，所以四棱錐EA1B1C1D1的體積VS四邊形A1B1C1D1BB1V長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D11.答案：114半徑為2的球O中有一內(nèi)接正四棱柱(底面是正方形，側(cè)棱垂直底面)當(dāng)該正四棱柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差是_解析：依題意，設(shè)球的內(nèi)接正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a、高為h，則有162a2h22ah，即4ah16，該正四棱柱的側(cè)面積S4ah16，當(dāng)且僅當(dāng)ha2
18、時(shí)取等號(hào)因此，當(dāng)該正四棱柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該正四棱柱的側(cè)面積之差是4221616()答案：16()1已知三棱錐SABC所在頂點(diǎn)都在球O的球面上，且SC平面ABC，若SCABAC1，BAC120，則球O的表面積為_解析：ABAC1，BAC120，BC，三角形ABC的外接圓直徑2r2，r1.SC平面ABC，SC1，該三棱錐的外接球半徑R，球O的表面積S4R25.答案：52.(2017南京三模)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC90，點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)ADDC1最小時(shí)，三棱錐DABC1的體積為_解析：在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面A
19、BC，所以BB1AB，又因?yàn)锳BC90，即BCAB，又BCBB1B，所以AB平面BB1C1C, 因?yàn)锳B1，BC2，點(diǎn)D為側(cè)棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)，所以側(cè)面展開，當(dāng)ADDC1最小時(shí)，BD1，所以SBDC1BDB1C11，所以三棱錐DABC1的體積為SBDC1AB.答案：3設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1,1,1,1，和a，且長(zhǎng)為a的棱與長(zhǎng)為的棱異面，則a的取值范圍是_解析：如圖所示，AB，CDa，設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，則EDAB，ECAB，則ED，同理EC.由構(gòu)成三角形的條件知0aEDEC，所以0a.答案：(0，)4.如圖，已知AB為圓O的直徑，C為圓上一動(dòng)點(diǎn)，PA圓O所在的平面，且PAAB2，過(guò)點(diǎn)A作平
20、面PB，分別交PB，PC于E，F(xiàn)，當(dāng)三棱錐PAEF的體積最大時(shí)，tanBAC_.解析：PB平面AEF，AFPB.又ACBC，APBC，BC平面PAC，AFBC，AF平面PBC，AFE90.設(shè)BAC，在RtPAC中，AF，在RtPAB中，AEPE，EF，VPAEFAFEFPEAF，當(dāng)AF1時(shí)，VPAEF取得最大值，此時(shí)AF1，cos ，sin ，tan .答案：第2課時(shí)平行與垂直(能力課)?？碱}型突破線線、線面位置關(guān)系的證明例1(2017江蘇高考)如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面
21、ABC；(2)ADAC.證明(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳BAD，EFAD，所以EFAB.又因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因?yàn)锳D平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因?yàn)锳C平面ABC，所以ADAC.方法歸納立體幾何證明問(wèn)題的注意點(diǎn) (1)證明立體幾何問(wèn)題的主要方法是定理法，解題時(shí)必須按照定理成立的條件進(jìn)行推理如線面平行的判定定理中要求其中一條直線在平面內(nèi)，另一條直線必須說(shuō)明它在平面外；線面垂直的判定
22、定理中要求平面內(nèi)的兩條直線必須是相交直線等，如果定理的條件不完整，則結(jié)論不一定正確(2)證明立體幾何問(wèn)題，要緊密結(jié)合圖形，有時(shí)要利用平面幾何的相關(guān)知識(shí)，因此需要多畫出一些圖形輔助使用變式訓(xùn)練1(2017蘇錫常鎮(zhèn)一模)如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1C1C是菱形，AC1與A1C交于點(diǎn)O，E是棱AB上一點(diǎn)，且OE平面BCC1B1.(1)求證：E是AB的中點(diǎn)；(2)若AC1A1B，求證：AC1BC.證明：(1)連結(jié)BC1，因?yàn)镺E平面BCC1B1，OE平面ABC1，平面BCC1B1平面ABC1BC1，所以O(shè)EBC1 . 因?yàn)閭?cè)面AA1C1C是菱形，AC1A1CO，所以O(shè)是AC1中點(diǎn)，
23、 所以1，E是AB的中點(diǎn). (2)因?yàn)閭?cè)面AA1C1C是菱形，所以AC1A1C, 又AC1A1B，A1CA1BA1，A1C平面A1BC，A1B平面A1BC，所以AC1平面A1BC, 因?yàn)锽C平面A1BC，所以AC1BC.2(2017蘇州模擬)在如圖所示的空間幾何體ABCDPE中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，PA平面ABCD，PAEB，且PAAD4，EB2.(1)若點(diǎn)Q是PD的中點(diǎn)，求證：AQ平面PCD；(2)證明：BD平面PEC.證明：(1)因?yàn)镻AAD，Q是PD的中點(diǎn)，所以AQPD.又PA平面ABCD，所以CDPA.又CDDA，PADAA，所以CD平面ADP.又因?yàn)锳Q平面ADP，所以C
24、DAQ，又PDCDD，所以AQ平面PCD.(2)取PC的中點(diǎn)M，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)N，連結(jié)MN，ME，在PAC中，易知MNPA，MNPA，又PAEB，EBPA，所以MNEB，MNEB，所以四邊形BEMN是平行四邊形，所以EMBN.又EM平面PEC，BN平面PEC，所以BN平面PEC，即BD平面PEC.兩平面之間位置關(guān)系的證明例2(2017南京模擬)如圖，直線PA垂直于圓O所在的平面，ABC內(nèi)接于圓O，且AB為圓O的直徑，M為線段PB的中點(diǎn)，N為線段BC的中點(diǎn)求證：(1)平面MON平面PAC；(2)平面PBC平面MON.證明(1)因?yàn)镸，O，N分別是PB，AB，BC的中點(diǎn)，所以MOPA，NOAC
25、，又MONOO，PAACA，所以平面MON平面PAC.(2)因?yàn)镻A平面ABC，BC平面ABC，所以PABC.由(1)知，MOPA，所以MOBC.連結(jié)OC，則OCOB，因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)NBC.又MOONO，MO平面MON，ON平面MON，所以BC平面MON.又BC平面PBC，所以平面PBC平面MON.方法歸納1.證明面面平行依據(jù)判定定理，只要找到一個(gè)面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可，從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行，再轉(zhuǎn)化為證明線線平行.2.證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個(gè)面過(guò)另一個(gè)面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不
26、存在這樣的直線，則借助中線、高線或添加輔助線解決.變式訓(xùn)練1(2017無(wú)錫期末)在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，AP平面PCD，E，F(xiàn)分別為PC，AB的中點(diǎn)求證：(1)平面PAD平面ABCD；(2)EF平面PAD. 證明：(1)因?yàn)锳P平面PCD，CD平面PCD，所以APCD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以ADCD, 又因?yàn)锳PADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以CD平面PAD，因?yàn)镃D平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.(2)連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，OF，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以O(shè)點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以O(shè)EPA，因?yàn)镺E平面PAD，P
27、A平面PAD，所以O(shè)E平面PAD, 同理可得：OF平面PAD，又因?yàn)镺EOFO，所以平面OEF平面PAD, 因?yàn)镋F平面OEF，所以EF平面PAD.2.(2016江蘇高考)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求證：(1)直線DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.證明：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DEAC，于是DEA1C1.又因?yàn)镈E平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直線DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC
28、A1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因?yàn)锳1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又因?yàn)锳1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因?yàn)锽1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又因?yàn)锽1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因?yàn)橹本€B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.空間線面位置關(guān)系的綜合問(wèn)題例3(2017蘇北三市模擬)如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓O上，且ABEF，矩形ABCD所在的平面和圓O所在的平面互相垂直(1)求證：
29、平面AFC平面CBF.(2)在線段CF上是否存在一點(diǎn)M，使得OM平面ADF？并說(shuō)明理由解(1)證明：平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEFAB，CB平面ABEF.AF平面ABEF，AFCB.又AB為圓O的直徑，AFBF.又BFCBB，AF平面CBF.AF平面AFC，平面AFC平面CBF.(2)當(dāng)M為CF的中點(diǎn)時(shí)，OM平面ADF.證明如下：取CF中點(diǎn)M，設(shè)DF的中點(diǎn)為N，連結(jié)AN，MN，則MN綊CD，又AO綊CD，則MN綊AO，四邊形MNAO為平行四邊形，OMAN，又AN平面DAF，OM平面DAF，OM平面DAF.方法歸納與平行、垂直有關(guān)的存在性問(wèn)題的解題步驟變式訓(xùn)練1.如
30、圖，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD平面BCE，BEEC.(1)求證：平面AEC平面ABE；(2)點(diǎn)F在BE上，若DE平面ACF，求的值解：(1)證明：四邊形ABCD為矩形，ABBC，平面ABCD平面BCE，AB平面BCE，CEAB.又CEBE，ABBEB，CE平面ABE，又CE平面AEC，平面AEC平面ABE.(2)連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)OF.DE平面ACF，DE平面BDE，平面ACF平面BDEOF.DEOF，又在矩形ABCD中，O為BD中點(diǎn)，F(xiàn)為BE中點(diǎn)，即.2如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，DA的中點(diǎn)將矩形ABCD沿線段EF折起，使得DFA60.設(shè)G為AF上的點(diǎn)(1)試確
31、定點(diǎn)G的位置，使得CF平面BDG；(2)在(1)的條件下，證明：DGAE.解：(1)當(dāng)點(diǎn)G為AF的中點(diǎn)時(shí)，CF平面BDG.證明如下：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，DA的中點(diǎn)，所以EFABCD.連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OG，則AOCO.又G為AF的中點(diǎn)，所以CFOG.因?yàn)镃F平面BDG，OG平面BDG.所以CF平面BDG.(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，DA的中點(diǎn)，所以EFFD，EFFA.又FDFAF，所以EF平面ADF，因?yàn)镈G平面ADF，所以EFDG.因?yàn)镕DFA，DFA60，所以ADF是等邊三角形，DGAF，又AFEFF，所以DG平面ABEF.因?yàn)锳E平面ABEF，所以DGAE.課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1.如圖
32、，在三棱錐VABC中，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，平面VAB平面ABC，VAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，ACBC且ACBC.(1)求證：VB平面MOC；(2)求線段VC的長(zhǎng)解：(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，所以MOVB.又MO平面MOC，VB平面MOC，所以VB平面MOC.(2)因?yàn)锳CBC，O為AB的中點(diǎn)，ACBC，AB2，所以O(shè)CAB，且CO1.連結(jié)VO，因?yàn)閂AB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以VO.又平面VAB平面ABC，OCAB，平面VAB平面ABCAB，OC平面ABC，所以O(shè)C平面VAB，所以O(shè)CVO，所以VC2.2.(2017南通二調(diào))如圖，在直三棱柱ABCA1B1
33、C1中，ACBC，A1B與AB1交于點(diǎn)D，A1C與AC1交于點(diǎn)E. 求證：(1)DE平面B1BCC1；(2)平面A1BC平面A1ACC1.證明：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形A1ACC1為平行四邊形又E為A1C與AC1的交點(diǎn)， 所以E為A1C的中點(diǎn). 同理，D為A1B的中點(diǎn)，所以DEBC. 又BC平面B1BCC1，DE平面B1BCC1，所以DE平面B1BCC1. (2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，又BC平面ABC，所以AA1BC.又ACBC，ACAA1A，AC平面A1ACC1，AA1平面A1ACC1，所以BC平面A1ACC1.因?yàn)锽C平面A1BC，所以平面A
34、1BC平面A1ACC1.3.(2017南京三模)如圖，在三棱錐ABCD中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD上的點(diǎn)，且BD平面AEF.(1)求證：EF平面ABD；(2)若BDCD，AE平面BCD，求證：平面AEF平面ACD.證明：(1)因?yàn)锽D平面AEF，BD平面BCD，平面AEF平面BCDEF，所以 BDEF.因?yàn)锽D平面ABD，EF平面ABD，所以 EF平面ABD.(2)因?yàn)锳E平面BCD，CD平面BCD，所以AECD.因?yàn)锽DCD，BDEF，所以 CDEF，又AEEFE，AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF.又CD平面ACD，所以平面AEF平面ACD.4.在四棱錐PABCD中，PA底
35、面ABCD，ABCD，ABBC，ABBC1，DC2，點(diǎn)E在PB上(1)求證：平面AEC平面PAD；(2)當(dāng)PD平面AEC時(shí)，求PEEB的值解：(1)證明：在平面ABCD中，過(guò)A作AFDC于F，則CFDFAF1，DACDAFFAC454590，即ACDA.又PA平面ABCD，AC平面ABCD，ACPA.PA平面PAD，AD平面PAD，且PAADA，AC平面PAD.又AC平面AEC，平面AEC平面PAD.(2)連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO.PD平面AEC，PD平面PBD，平面PBD平面AECEO，PDEO，則PEEBDOOB.又DOCBOA，DOOBDCAB21，PEEB的值為2.5.(2017揚(yáng)
36、州考前調(diào)研)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為梯形，CDAB，AB2CD，AC交BD于O，銳角PAD所在平面底面ABCD，PABD，點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上，且PQ2QC.求證：(1)PA平面QBD；(2)BDAD. 證明：(1)連結(jié)OQ, 因?yàn)锳BCD，AB2CD，所以AO2OC，又PQ2QC，所以PAOQ，因?yàn)镺Q平面QBD，PA平面QBD，所以PA平面QBD. (2)在平面PAD內(nèi)過(guò)P作PHAD于H，因?yàn)閭?cè)面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PH平面PAD，所以PH平面ABCD，又BD平面ABCD，所以PHBD.又PABD，且PAPHP，PA平面PAD，PH平面PAD，所以
37、BD平面PAD，又AD平面PAD，所以BDAD.6.如圖，在多面體ABCDFE中，四邊形ABCD是矩形，四邊形ABEF為等腰梯形，且ABEF，AF2，EF2AB4，平面ABCD平面ABEF.(1)求證：BEDF；(2)若P為BD的中點(diǎn)，試問(wèn)：在線段AE上是否存在點(diǎn)Q，使得PQ平面BCE？若存在，找出點(diǎn)Q的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)證明：如圖，取EF的中點(diǎn)G，連結(jié)AG，因?yàn)镋F2AB，所以ABEG，又ABEG，所以四邊形ABEG為平行四邊形，所以AGBE，且AGBEAF2.在AGF中，GFEF2，AGAF2，所以AG2AF2GF2，所以AGAF.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以ADAB，又平面ABCD平面ABEF，且平面ABCD平面ABEFAB，AD平面ABCD，所以AD平面ABEF，又AG平面ABEF，所以ADAG.因?yàn)锳DAFA，所以AG平面ADF.因?yàn)锳GBE，所以BE平面ADF.因?yàn)镈F平面ADF，所以BEDF.(2)存在點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn)，使得PQ平面BCE.證明如下：連結(jié)AC，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以P為AC的中點(diǎn)在ACE中，因?yàn)辄c(diǎn)P，Q分別為AC，AE的中點(diǎn)，所以PQCE.又PQ平面BCE，CE平面BCE，所以PQ平面BCE.21
（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 立體幾何教學(xué)案
