2022高考數學大一輪復習 第八章 解析幾何 課下層級訓練48 拋物線（含解析）文 新人教A版

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1、2022高考數學大一輪復習 第八章 解析幾何 課下層級訓練48 拋物線（含解析）文 新人教A版 1．點M(5,3)到拋物線y＝ax2(a≠0)的準線的距離為6，那么拋物線的方程是(　　) A．y＝12x2　　　　　　 B．y＝12x2或y＝－36x2 C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2 D　[分兩類a>0，a<0，可得y＝x2或y＝－x2.] 2．已知AB是拋物線y2＝8x的一條焦點弦，|AB|＝16，則AB中點C的橫坐標是(　　) A．3　　　　 B．4　　　　 C．6　　　　 D．8 C　[設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p＝16，又

2、p＝4，所以x1＋x2＝12，所以點C的橫坐標是＝6.] 3．(2016·全國卷Ⅰ)設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，曲線y＝(k＞0)與C交于點P，PF⊥x軸，則k＝(　　) A． B．1 C． D．2 D　[∵y2＝4x，∴F(1,0)． 又∵曲線y＝(k＞0)與C交于點P，PF⊥x軸，∴P(1,2)． 將點P(1,2)的坐標代入y＝(k＞0)得k＝2.] 4．(2019·皖北協作區(qū)聯考)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)，若直線y＝2x被拋物線所截弦長為4，則拋物線C的方程為(　　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．x2＝2y D．x2＝y C　[由得或 即兩

3、交點坐標為(0,0)和(4p,8p)，則＝4，得p＝1(舍去負值)，故拋物線C的方程為x2＝2y.] 5．(2018·山東濰坊二模)直線y＝k(x＋2)(k＞0)與拋物線C：y2＝8x交于A，B兩點，F為C的焦點，若sin ∠ABF＝2sin ∠BAF，則k的值是(　　) A． B． C．1 D． B　[分別過A，B項拋物線的準線作垂線，垂足分別為M，N，則AF＝AM，BF＝BN. 設直線y＝(x＋2)(k＞0)與x軸交于點P，則P(－2,0)． ∵拋物線的方程為y2＝8x，∴拋物線的準線方程為x＝－2，即點P在準線上．∵sin ∠ABF＝2sin ∠BAF， ∴根據正弦定

4、理可得AF＝2BF，∴AM＝2BN， ∴＝＝，即B為PA的中點． 聯立方程組消去x可得y2－＋16＝0． 設A，B，則y1y2＝16． ∵B為PA的中點，∴y1＝2y2，即B(1,2)． ∵P(－2,0)，∴直線AB的斜率為.] 6．直線l過拋物線x2＝2py(p>0)的焦點，且與拋物線交于A，B兩點，若線段AB的長是6，AB的中點到x軸的距離是1，則此拋物線方程是__________． x2＝8y　[設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝y1＋y2＋p＝2＋p＝6，∴p＝4.即拋物線方程為x2＝8y.] 7．(2018·四川南充三模)已知斜率為2的直線l過拋物線y

5、2＝ax的焦點F，且與y軸相交于點A，若△OAF(O為坐標原點)的面積為4，則a＝__________． ±8　[焦點坐標，|OF|＝，直線的點斜式方程y＝2在y軸的截距是－，所以S△OAF＝××＝4，解得a2＝64，∵a>0，∴a＝8，∴y2＝8x，故答案為±8.] 8．(2018·全國卷Ⅲ)已知點M(－1,1)和拋物線C：y2＝4x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點．若∠AMB＝90°，則k＝________． 2　[方法一　設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ∴y－y＝4(x1－x2)，∴k＝＝ 設AB中點M′(x0，y0)，拋物線的焦點為F，分別過點A，B

6、作準線x＝－1的垂線，垂足為A′，B′， 則|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|) ＝(|AA′|＋|BB′|)． ∵M′(x0，y0)為AB中點， ∴M為A′B′的中點，∴MM′平行于x軸， ∴y1＋y2＝2，∴k＝2． 方法二　由題意知，拋物線的焦點坐標為F(1,0)，設直線方程為y＝k(x－1)，直線方程與y2＝4x聯立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝1，x1＋x2＝． 由M(－1,1)，得＝(－1－x1,1－y1)，＝(－1－x2,1－y2)． 由∠AMB＝90°，得·＝0， ∴(x1＋1)

7、(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0． 又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]， y1＋y2＝k(x1＋x2－2)， ∴1＋＋1＋k2－k＋1＝0， 整理得－＋1＝0，解得k＝2.] 9．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4，且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M． (1)求拋物線的方程； (2)若過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標． 解　(1)拋物線y2＝2px的準線為

8、x＝－， 于是4＋＝5，∴p＝2，∴拋物線方程為y2＝4x． (2)由(1)知點A的坐標是(4,4)，由題意得B(0,4)，M(0,2)． 又∵F(1,0)，∴kFA＝． ∵MN⊥FA，∴kMN＝－． ∴FA的方程為y＝(x－1)，MN的方程為y＝－x＋2， 聯立解方程組得x＝，y＝， ∴點N的坐標為． 10．(2019·河南鄭州月考)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

9、B的方程是y＝2， 與y2＝2px聯立，從而有4x2－5px＋p2＝0． 由題易知，方程必有兩個不等實根． 所以x1＋x2＝，由拋物線定義得 |AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9， 所以p＝4，從而拋物線方程為y2＝8x． (2)由于p＝4，則4x2－5px＋p2＝0， 即x2－5x＋4＝0，從而x1＝1，x2＝4， 于是y1＝－2，y2＝4， 從而A(1，－2)，B(4,4)．設C(x3，y3)， 則＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4) ＝(4λ＋1,4λ－2)． 又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝

10、0或λ＝2． [B級　能力提升訓練] 11．(2018·廣東茂名二模)若動圓的圓心在拋物線y＝x2上，且與直線y＋3＝0相切，則此圓恒過定點(　　) A．(0,2) B．(0，－3) C．(0,3) D．(0,6) C　[直線y＋3＝0是拋物線x2＝12y的準線，由拋物線的定義知拋物線上的點到直線y＝－3的距離與到焦點(0,3)的距離相等，所以此圓恒過定點(0,3)．] 12．如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線依次交拋物線及其準線于點A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝x B．y2＝3x C．y2＝x D．

11、y2＝9x B　[如圖，分別過點A，B作準線的垂線，交準線于點E，D， 設|BF|＝a，則|BC|＝2a，由拋物線的定義得，|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因為|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a,2|AE|＝|AC|，所以6＝3＋3a，從而得a＝1，因為BD∥FG，所以＝.即＝，解得p＝，因此拋物線方程為y2＝3x.] 13．已知直線y＝a交拋物線y＝x2于A，B兩點．若該拋物線上存在點C，使得∠ACB為直角，則實數a的取值范圍為__________． [1，＋∞)　[如圖，設C(x0，x)(x≠a)，A(－，a)，B(，a)， 則＝(－－x0

12、，a－x)，＝(－x0，a－x)． ∵CA⊥CB，∴·＝0，即－(a－x)＋(a－x)2＝0，(a－x)(－1＋a－x)＝0.∴x＝a－1≥0，∴a≥1.] 14．(2017·全國卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|＝________． 6　[如圖，不妨設點M位于第一象限內，拋物線C的準線交x軸于點A，過點M作準線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，∴PM∥OF． 由題意知，F(2,0)，|FO|＝|AO|＝2． ∵點M為FN的中點，PM∥OF，∴|MP|＝|FO|＝1． 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|

13、MB|＝|MP|＋|BP|＝3． 由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.] 15．如圖，已知拋物線C∶y2＝2px(p＞0)，焦點為F，過點G(p,0)作直線l交拋物線C于A，M兩點，設A(x1，y1)，M(x2，y2)． (1)若y1y2＝－8，求拋物線C的方程； (2)若直線AF與x軸不垂直，直線AF交拋物線C于另一點B，直線BG交拋物線C于另一點N.求證：直線AB與直線MN斜率之比為定值． (1)解　設直線AM的方程為x＝my＋p， 代入y2＝2px得y2－2mpy－2p2＝0， 則y1y2＝－2p2＝－8，得p＝2． ∴拋物線C的方程為

14、y2＝4x． (2)證明　設B(x3，y3)，N(x4，y4)． 由(1)可知y3y4＝－2p2，y1y3＝－p2． 又直線AB的斜率kAB＝＝， 直線MN的斜率kMN＝＝， ∴＝＝＝＝2． 故直線AB與直線MN斜率之比為定值． 16．(2018·浙江卷)如圖，已知點P是y軸左側(不含y軸)一點，拋物線C：y2＝4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上． (1)設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸； (2)若P是半橢圓x2＋＝1(x<0)上的動點，求△PAB面積的取值范圍. (1)證明　設P(x0，y0)，A，B． 因為PA，PB的中點在拋物線上， 所以y1，y2為方程2＝4· 即y2－2y0y＋8x0－y＝0的兩個不同的實根． 所以y1＋y2＝2y0，因此，PM垂直于y軸． (2)解　由(1)可知，， 所以|PM|＝(y＋y)－x0＝y－3x0， |y1－y2|＝2． 因此，△PAB的面積 S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝(y－4x0)． 因為x＋＝1(x0<0)， 所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]， 因此，△PAB面積的取值范圍是．