2022高考數(shù)學二輪復習 第一部分 壓軸專題二 函數(shù)與導數(shù) 第2講 利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題練習 文

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1、2022高考數(shù)學二輪復習 第一部分 壓軸專題二 函數(shù)與導數(shù) 第2講 利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題練習 文 A組　小題提速練 一、選擇題 1．曲線y＝ex在點A處的切線與直線x＋y＋3＝0垂直，則點A的坐標為(　　) A．(－1，e－1)　　　　　 B．(0,1) C．(1，e) D．(0,2) 解析：與直線x＋y＋3＝0垂直的直線的斜率為1，所以切線的斜率為1，因為y′＝ex，所以由y′＝ex＝1，解得x＝0，此時y＝e0＝1，即點A的坐標為(0,1)，選B. 答案：B 2．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2cos x，若f′(x)是f(x)的導函數(shù)，則函數(shù)f′(x)在原點附近的圖

2、象大致是(　　) 解析：因為f′(x)＝2x－2sin x，[f′(x)]′＝2－2cos x≥0，所以函數(shù)f′(x)在R上單調(diào)遞增，故選A. 答案：A 3．曲線f(x)＝xln x在點(1，f(1))處的切線的傾斜角為(　　) A. B. C. D. 解析：因為f(x)＝xln x，所以f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝1，所以曲線f(x)＝xln x在點(1，f(1))處的切線的傾斜角為. 答案：B 4．如圖是f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由題意知在x＝－1

3、處f′(－1)＝0，且其左右兩側(cè)導數(shù)符號為左負右正． 答案：A 5．當函數(shù)y＝x·2x取極小值時，x＝(　　) A. B．－ C．－ln 2 D．ln 2 解析：令y′＝2x＋x·2xln 2＝0，∴x＝－. 答案：B 6．函數(shù)f(x)＝x2－ln x的最小值為(　　) A. B．1 C．0 D．不存在 解析：∵f′(x)＝x－＝，且x>0. 令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0， 得0

4、值2，但無極大值 B．當x＝－1時，取極大值－2，但無極小值 C．當x＝－1時，取極小值－2；當x＝1時，取極大值2 D．當x＝－1時，取極大值－2；當x＝1時，取極小值2 解析：f′(x)＝1－，令f′(x)＝0， 得x＝±1，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1,0)和(0,1)上單調(diào)遞減， 所以當x＝－1時，取極大值－2， 當x＝1時，取極小值2. 答案：D 8．若直線y＝ax是曲線y＝2ln x＋1的一條切線，則實數(shù)a的值為(　　) 解析：依題意，設(shè)直線y＝ax與曲線y＝2ln x＋1的切點的橫坐標為x0，則有y′|x＝x0＝，于是

5、有 答案：B 9．已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上為減函數(shù)，函數(shù)g(x)＝x2－aln x在(1,2)上為增函數(shù)，則a的值為(　　) A．1 B．2 C．0 D. 解析：∵函數(shù)f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上為減函數(shù)，∴≥1，得a≥2. 又∵g′(x)＝2x－，依題意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立，有a≤2，∴a＝2. 答案：B 10．若函數(shù)f(x)＝x＋(b∈R)的導函數(shù)在區(qū)間(1,2)上有零點，則f(x)在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的是(　　) A．(－2,0) B．(0,1) C．(1，＋∞) D

6、．(－∞，－2) 解析：由題意知，f′(x)＝1－， ∵函數(shù)f(x)＝x＋(b∈R)的導函數(shù)在區(qū)間(1,2)上有零點， 令1－＝0，得b＝x2， 又x∈(1,2)，∴b∈(1,4)． 令f′(x)>0，解得x<－或x>， 即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－)，(，＋∞)． ∵b∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合題意． 答案：D 11．(2017·長沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值為，則a的值為(　　) A.－1 B. C. D.＋1 解析：由f(x)＝得f′(x)＝，當a>1時，若x>，則f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，若1

7、，則f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，故當x＝時，函數(shù)f(x)有最大值＝，得a＝<1，不合題意；當a＝1時，函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，最大值為f(1)＝，不合題意；當0

8、)在(0,6)上有極大值2π 解析：因為x2f′(x)＋xf(x)＝sin x，x∈(0,6)，所以xf′(x)＋f(x)＝，設(shè)g(x)＝xf(x)，x∈(0,6)，則g′(x)＝f(x)＋xf′(x)＝，由g′(x)>0得0

9、y＋1＝0 14．設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－x2，則函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為________． 解析：因為f(x)＝x(ex－1)－x2，所以f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．令f′(x)>0，即(ex－1)·(x＋1)>0，解得x∈(－∞，－1)或x∈(0，＋∞)．所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1)和(0，＋∞)． 答案：(－∞，－1)和(0，＋∞) 15．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋6在x＝________時取得極小值． 解析：依題意得f′(x)＝3x(x－2)．當x<0或x>2時，f′(x)>0；當0

10、數(shù)f(x)在x＝2時取得極小值． 答案：2 16．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－ln x，若f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為__________． 解析：由題意知f′(x)＝x＋2a－≥0在區(qū)間上恒成立，即2a≥－x＋在區(qū)間上恒成立． 又∵y＝－x＋在區(qū)間上單調(diào)遞減， ∴max＝， ∴2a≥，即a≥. 答案： B組　大題規(guī)范練 1．已知函數(shù)f(x)＝(ax－1)ln x＋. (1)若a＝2，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線l的方程； (2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f′(x)有兩個極值點x1，x2，其中x1∈(0，e]，求g(x1)－g(x2)的最小值

11、． 解析：(1)當a＝2時，f′(x)＝2ln x＋x－＋2，f′(1)＝2，f(1)＝， ∴切線l的方程為y－＝2(x－1)，即4x－2y－3＝0. (2)函數(shù)g(x)＝aln x＋x－＋a，定義域為(0，＋∞)， g′(x)＝1＋＋＝，令g′(x)＝0，得x2＋ax＋1＝0， 其兩根為x1，x2，且x1＋x2＝－a，x1x2＝1， 故x2＝，a＝－. g(x1)－g(x2)＝g(x1)－g＝aln x1＋x1－＋a－＝2＋2aln x1＝2－2ln x1， 令h(x)＝2－2ln x，x∈(0，e]． 則[g(x1)－g(x2)]min＝h(x)min，h′(x)＝，

12、當x∈(0,1]時，h′(x)≤0，當x∈(1，e]時，h′(x)<0， 即當x∈(0，e]時，h(x)單調(diào)遞減， ∴h(x)min＝h(e)＝－， 故[g(x1)－g(x2)]min＝－. 2．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝處取得極小值－. (1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)若過點M(1，m)的直線與曲線y＝f(x)相切且這樣的切線有三條，求實數(shù)m的取值范圍． 解析：(1)由題意得，f′(x)＝3ax2＋b. ∵函數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝處取得極小值－， ∴即解得 則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝2x3－3x. (2)設(shè)切點坐標為(x0,2x－3x0)

13、，則曲線y＝f(x)的切線的斜率k＝f′(x0)＝6x－3， 切線方程為y－(2x－3x0)＝(6x－3)(x－x0)， 代入點M(1，m)，得m＝－4x＋6x－3， 依題意，方程m＝－4x＋6x－3有三個不同的實根． 令g(x)＝－4x3＋6x2－3， 則g′(x)＝－12x2＋12x＝－12x(x－1)， ∴當x∈(－∞，0)時，g′(x)<0； 當x∈(0,1)時，g′(x)>0； 當x∈(1，＋∞)時，g′(x)<0. 故g(x)＝－4x3＋6x2－3在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減． ∴g(x)極小值＝g(0)＝－3，g(

14、x)極大值＝g(1)＝－1. ∴當－30)， 當a≠－1時，由f′(x)＝0得2(1＋a)x2＋x－1＝0且Δ＝9＋8a， x1＝，x2＝， ①當a＝－1時，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞

15、)上單調(diào)遞減； ②當a>－1時，f(x)在(0，x2)上單調(diào)遞增，在(x2，＋∞)上單調(diào)遞減； ③當a≤－時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增； ④當－

16、g′(x)＝－＝(x>0)． 當0e時，g′(x)>0. 所以g(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，＋∞)上單調(diào)遞增． 所以g(x)≥g(e)＝－＋1－a. 又a<1，所以－＋1－a>－>－1，即F(x)max

17、e)＝，f′(x)＝， 所以f′(e)＝＝－， 所以曲線y＝f(x)在點(e，f(e))處的切線方程為y－＝－(x－e)，即x＋e2y－3e＝0. (2)由題意可得，當x≥1時，f(x)－－＝≥0恒成立， 令g(x)＝ln x－a(x2－1)(x≥1)，則g′(x)＝－2ax， 當a≤0時，g′(x)>0，所以函數(shù)y＝g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)≥g(1)＝0， 所以不等式f(x)－≥成立，即a≤0符合題意． 當a>0時，令－2ax＝0，解得x＝，令＝1，解得a＝. ①當01，所以在上g′(x)>0，在上g′(x)<0，所以函數(shù)y＝g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， g＝ln－a＝－ln a－＋a，令h(a)＝－ln a－＋a， 則h′(a)＝－＋＋1＝>0恒成立，又0