（江蘇專用）2018-2019學年高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.1 導數(shù)的概念 3.1.1 平均變化率學案 蘇教版選修1-1

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1、 3.1.1　平均變化率 學習目標：1.理解并會求具體函數(shù)的平均變化率．(重點)　2.了解平均變化率概念的形成過程，會在具體的環(huán)境中說明平均變化率的實際意義．(難點) [自 主 預 習·探 新 知] 平均變化率 1．定義： 一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]上的平均變化率為. 2．實質： 函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比． 3．意義： 刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢． [基礎自測] 1．判斷正誤： (1)f(x)＝x2，f(x)在[－1,1]上的平均變化率為0.(　　) (2)f(x)＝x2在[－1,0]上的平均變化率小于其在[0,1]上的平均變

2、化率，所以f(x)在[－1,0]上不如在[0,1]上變化的快．(　　) (3)平均變化率不能反映函數(shù)值變化的快慢．(　　) 【解析】　(1)√.f(x)在[－1,1]上的平均變化率為＝＝0. (2)×.f(x)＝x2在[－1,0]和[0,1]上的變化快慢是相同的． (3)×.平均變化率能反映函數(shù)值變化的快慢． 【答案】　(1)√　(2)×　(3)× 2．f(x)＝在[1,2]上的平均變化率為________． 【解析】　函數(shù)f(x)在[1,2]上的平均變化率為＝－. 【答案】?。? [合 作 探 究·攻 重 難] 變化率的概念及意義的應用 　2012年冬至2013年

3、春，我國北部八省冬麥區(qū)遭受嚴重干旱，根據(jù)某市農業(yè)部門統(tǒng)計，該市小麥受旱面積如圖3-1-1所示，據(jù)圖回答： 【導學號：95902174】 圖3-1-1 (1)2012年11月到2012年12月期間，小麥受旱面積變化大嗎？ (2)哪個時間段內，小麥受旱面積增加最快？ (3)從2012.11到2013.2與從2013.1到2013.2間，小麥受旱面積平均變化率哪個大？ [思路探究]　(1)(2)根據(jù)圖形進行分析；(3)利用平均變化率公式進行具體分析． 【自主解答】　(1)由圖形可知，在2012年11月～2012年12月期間，小麥受旱面積變化不大． (2)由圖形可知，在2013.

4、1～2013.2間，平均變化率較大，故小麥受旱面積增加最快． (3)從2012.11～2013.2，小麥受旱面積平均變化率為，從2013.1～2013.2，小麥受旱面積平均變化率為＝y(tǒng)B－yC，顯然yB－yC＞，所以，從2013.1～2013.2期間小麥受旱面積平均變化率大． [規(guī)律方法]　 1．若已知函數(shù)的圖象，可從函數(shù)的圖象上大致分析函數(shù)的變化快慢． 2．利用平均變化率的計算公式可以對函數(shù)的平均變化快慢進行具體精確的分析，在實際問題中，平均變化率具有更為具體的現(xiàn)實意義． [跟蹤訓練] 1．巍巍泰山為我國的五岳之首，有“天下第一山”之美譽，登泰山在當?shù)赜小熬o十八，慢十八，不緊不慢

5、又十八”的俗語來形容爬十八盤的感受，下面是一段登山路線圖如圖3-1-2，同樣是登山，但是從A處到B處會感覺比較輕松，而從B處到C處會感覺比較吃力．想想看，為什么？你能用數(shù)學語言來量化BC段曲線的陡峭程度嗎？ 圖3-1-2 【解】　山路從A到B高度的平均變化率為 hAB＝＝， 山路從B到C高度的平均變化率為hBC＝＝， ∴hBC＞hAB. ∴山路從B到C比從A到B要陡峭的多. 求函數(shù)的平均變化率 　已知函數(shù)f(x)＝， (1)求f(x)在x0到x0＋Δx之間的平均變化率．(x0≠0)； (2)求f(x)在2到2.1之間的平均變化率. 【導學號：95902175】

6、 [思路探究]　(1)由于自變量出現(xiàn)在分母中，因此題目中給出了“x0≠0”的條件．在一些特殊條件下，如果題干中未給出這一條件，就需分類討論．因此，本例只需直接套用公式就可以了； (2)利用(1)的結論計算． 【自主解答】　(1)f(x)在x0到x0＋Δx之間的平均變化率為＝＝＝－. (2)把x0＝2，Δx＝2.1－2＝0.1代入(1)中得到的結論可得：－＝－0.232. [規(guī)律方法]　 1．求平均變化率的步驟： (1)先求x2－x1，再計算f(x2)－f(x1)； (2)由定義得出＝. 2．注意事項：計算時要對f(x2)－f(x1)進行合理的變形，以便化簡． [跟蹤訓練]

7、2．求函數(shù)y＝x2－2x＋1在x＝2附近的平均變化率． 【解】　設自變量x在x＝2附近的變化量為Δx， 則平均變化率為 ＝＝Δx＋2. 平均變化率的應用 [探究問題] 1．平均變化率的定義式為，它刻畫了函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1，x2]內變化的快慢，表示的是函數(shù)f(x)在哪個區(qū)間上的平均變化率？ 【提示】 　[x0－Δx，x0＋Δx] 2．平均變化率為0，能否說明函數(shù)沒有發(fā)生變化？ 【提示】　不能說明．理由：函數(shù)的平均變化率只能粗略地描述函數(shù)的變化趨勢，增量Δx取值越小，越能準確地體現(xiàn)函數(shù)的變化情況．在某些情況下，求出的平均變化率為0，并不一定說明函數(shù)沒有發(fā)生變化．如函數(shù)f

8、(x)＝x2在[－2,2]上的平均變化率為0，但f(x)的圖象在[－2,2]上先減后增． 3．平均變化率的幾何意義是什么？平均變化率的物理意義是什么？ 【提示】　平均變化率的幾何意義就是曲線上兩點對應割線AB的斜率． 平均變化率的物理意義是變速運動的物體s＝s(t)在某一時間段內的平均速度． 　為了檢測甲、乙兩輛車的剎車性能，分別對兩輛車進行了測試，甲從25 m/s到0 m/s花了5 s，乙從18 m/s到0 m/s花了4 s，試比較兩輛車的剎車性能． [思路探究]　計算兩車的平均變化率，從而確定剎車性能． 【自主解答】　甲車速度的平均變化率為＝－5(m/s2)，乙車速度的平均變化

9、率為＝－4.5(m/s2)，平均變化率為負值說明速度在減少，因為剎車后，甲車的速度變化相對較快，所以甲車的剎車性能較好． [規(guī)律方法]　平均變化率的應用主要有：求某一時間段內的平均速度，物體受熱膨脹率，高度(重量)的平均變化率等等.解決這些問題的關鍵在于找準自變量和因變量.,平均變化率為正值，表示函數(shù)值在增加；平均變化率為負值，表示函數(shù)值在減少. [跟蹤訓練] 3．人們發(fā)現(xiàn)，在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數(shù)關系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10. (1)求運動員在第一個0.5 s內高度h的平均變化率； (2)求高度h在1≤

10、t≤2這段時間內的平均變化率. 【導學號：95902176】 【解】　(1)運動員在第一個0.5 s內高度h的平均變化率為：＝4.05(m/s)； (2)在1≤t≤2這段時間內，高度h的平均變化率為＝－8.2(m/s)． [構建·體系] [當 堂 達 標·固 雙 基] 1．函數(shù)y＝x2＋ax＋b，當自變量由0變化到1時，函數(shù)值的變化量為________． 【解析】　函數(shù)值的變化量為f(0＋1)－f(0)＝(0＋1)2＋a(0＋1)＋b－02－a·0－b＝1＋a. 【答案】　1＋a 2．在曲線y＝x2＋1的圖象上取一點(1,2)及相鄰的一點(1.1,2.21)，則該曲線

11、在[1,1.1]上的平均變化率為________. 【導學號：95902177】 【解析】?。剑?.1 【答案】　2.1 3．如果質點M按規(guī)律s＝3＋t2運動，則在一小段時間[2,2.1]中相應的平均速度是________(m/s)． 【解析】　＝＝4.1(m/s)． 【答案】　4.1 4．函數(shù)y＝sin x在上的平均變化率是________． 【解析】　函數(shù)在上的平均變化率是＝＝－. 【答案】?。? 5．物體的運動方程是s＝(s的單位：m；t的單位：s)，求物體在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s這段時間內的平均速度. 【導學號：95902178】 【解】　物體在這段時間內的平均速度為 ＝＝， 故物體在t＝1 s到t＝(1＋Δt)s這段時間內的平均速度為m/s. 6