2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù) 第9節(jié) 函數(shù)與方程教學(xué)案 理 北師大版

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1、第九節(jié)　函數(shù)與方程 [最新考綱]　結(jié)合二次函數(shù)的圖像，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個(gè)數(shù)． 1．函數(shù)的零點(diǎn) (1)定義：函數(shù)y＝f(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)． (2)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系：方程f(x)＝0有實(shí)根?函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)． (3)零點(diǎn)存在性定理 若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號(hào)相反，即f(a)·f(b)＜0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即相應(yīng)方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解．

2、 (4)二分法：對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫作二分法． 2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖像 與x軸的交點(diǎn) (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無交點(diǎn) 零點(diǎn)個(gè)數(shù) 2 1 0 有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的3個(gè)結(jié)論 (1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)． (2)連

3、續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)． (3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖像通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào)． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)．(　　) (2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖像連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)＜0.(　　) (3)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)＜0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．(　　) (4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0時(shí)沒有零點(diǎn)．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教

4、材改編 1．已知函數(shù)y＝f(x)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對應(yīng)值表： x 1 2 3 4 5 6 y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6 則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點(diǎn)至少有(　　) A．2個(gè)　　　 B．3個(gè)　　　 C．4個(gè)　　　 D．5個(gè) B　[∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,6]內(nèi)至少有3個(gè)零點(diǎn)．] 2．函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4

5、) C　[由題意得f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0， f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0， f(4)＝ln 4＋8－6＝ln 4＋2＞0， ∴f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(2,3)．] 3．函數(shù)f(x)＝ex＋3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是________． 1　[由已知得f′(x)＝ex＋3＞0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，因此函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．] 4．函數(shù)f(x)＝x－x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 1　[作函數(shù)y1＝x和y2＝x的圖像如圖所示． 由圖像知函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn)

6、．] 考點(diǎn)1　函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定 　判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法 (1)解方程法，當(dāng)對應(yīng)方程易解時(shí)，可直接解方程． (2)零點(diǎn)存在性定理． (3)數(shù)形結(jié)合法，畫出相應(yīng)函數(shù)圖像，觀察與x軸交點(diǎn)來判斷，或轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像在所給區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷． 　1.函數(shù)f(x)＝ln x－的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(　　) A．(0,1)　　　　　　　 B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) B　[由題意知函數(shù)f(x)是增函數(shù)，因?yàn)閒(1)＜0，f(2)＝ln 2－＝ln 2－ln ＞0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2)．故選B.] 2．若a＜b＜c，則

7、函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(　　) A．(a，b)和(b，c)內(nèi) B．(－∞，a)和(a，b)內(nèi) C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi) D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi) A　[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0， 由函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理可知：在區(qū)間(a，b)(b，c)內(nèi)分別存在一個(gè)零點(diǎn)； 又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)， 因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)，故選A.] 3．已知函

8、數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6的零點(diǎn)在(k∈Z)內(nèi)，那么k＝________. 5　[∵f′(x)＝＋2＞0，x∈(0，＋∞)，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f ＝ln －1＜0，f(3)＝ln 3＞0，∴f(x)的零點(diǎn)在內(nèi)，則整數(shù)k＝5.] 　(1)f(a)·f(b)＜0是連續(xù)函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件． (2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，且f(x)的圖像連續(xù)不斷，則f(a)·f(b)＜0?函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上只有一個(gè)零點(diǎn)． 考點(diǎn)2　函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷 　函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論，基本解法有 (1)直接法，令f(x)＝

9、0，在定義域范圍內(nèi)有多少個(gè)解則有多少個(gè)零點(diǎn)． (2)定理法，利用定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等． (3)圖像法，一般是把函數(shù)分拆為兩個(gè)簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)． 　(1)(2019·全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)函數(shù)f(x)＝的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (3)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝ex＋x－3，則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3

10、 D．4 (1)B　(2)D　(3)C　[(1)由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x·(1－cos x)＝0得sin x＝0或cos x＝1，∴x＝kπ，k∈Z，又∵x∈[0,2π]，∴x＝0，π，2π，即零點(diǎn)有3個(gè)，故選B. (2)依題意，在考慮x＞0時(shí)可以畫出函數(shù)y＝ln x與y＝x2－2x的圖像(如圖)，可知兩個(gè)函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)＝2x＋1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，綜上，函數(shù)f(x)有3個(gè)零點(diǎn)．故選D. (3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即x＝0是函數(shù)f(x)的1個(gè)零點(diǎn)．

11、當(dāng)x＞0時(shí)，令f(x)＝ex＋x－3＝0，則ex＝－x＋3，分別畫出函數(shù)y＝ex和y＝－x＋3的圖像，如圖所示，兩函數(shù)圖像有1個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)有1個(gè)零點(diǎn)． 根據(jù)對稱性知，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f(x)也有1個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.] 　(1)利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理時(shí)，不僅要求函數(shù)的圖像在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)． (2)圖像法求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)鍵是正確畫出函數(shù)的圖像．在畫函數(shù)的圖像時(shí)，常利用函數(shù)的性質(zhì)，如周期性、對稱性等，同時(shí)還要注意函數(shù)定義域的限制． 　1

12、.函數(shù)f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0， 可得|log0.5x|＝x. 設(shè)g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x. 在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)g(x)，h(x)的圖像，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖像一定有2個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)．故選B.] 2．已知函數(shù)f(x)＝若f(0)＝－2，f(－1)＝1，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________． 3　[依題意得由此解得 由g(x)＝0得f(x)＋x＝0， 該方程等價(jià)于 ① 或 ②

13、 解①得x＝2，解②得x＝－1或x＝－2.因此，函數(shù)g(x)＝f(x)＋x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.] 考點(diǎn)3　函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用 　根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的3種常用方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍． (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決． (3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解． 　根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù) 　已知函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． (0,1)∪(9，＋

14、∞)　[設(shè)y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐標(biāo)系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的圖像如圖所示． 由圖可知f(x)－a|x－1|＝0有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根等價(jià)于y1＝|x2＋3x|與y2＝a|x－1|的圖像有4個(gè)不同的交點(diǎn)且4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于1， 所以 有兩組不同解， 消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有兩個(gè)不等實(shí)根， 所以Δ＝(3－a)2－4a＞0，即a2－10a＋9＞0， 解得a＜1或a＞9. 又由圖像得a＞0，∴0＜a＜1或a＞9.] 　由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的值或范圍的策略 已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩

15、個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，這時(shí)圖形一定要準(zhǔn)確，這種數(shù)形結(jié)合的方法能夠幫助我們直觀解題． 　根據(jù)函數(shù)有無零點(diǎn)求參數(shù) 　已知函數(shù)f(x)＝則使函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． (－∞，0]∪(1，＋∞)　[函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m的零點(diǎn)就是方程f(x)＋x＝m的根，畫出h(x)＝f(x)＋x＝的大致圖像(圖略)． 觀察它與直線y＝m的交點(diǎn)，得知當(dāng)m≤0或m＞1時(shí)，有交點(diǎn)，即函數(shù)g(x)＝f(x)＋x－m有零點(diǎn)．] 　函數(shù)有無零點(diǎn)問題?函數(shù)圖像與x軸有無公共點(diǎn)問題． 　根據(jù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù) 　若函數(shù)f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)

16、的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間(－1,0)和區(qū)間(1,2)內(nèi)，則m的取值范圍是________． 　[依題意，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖像分析可知m需滿足 即 解得＜m＜.] 　此類問題多轉(zhuǎn)化為討論區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)求解． 　1.函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(1,3)　　　 B．(1,2)　　　 C．(0,3)　　　 D．(0,2) C　[因?yàn)閒(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則由題意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3，故選C.] 2．方程log(a－2x)＝2＋x有解，則a的最小值為________． 1　[若方程log(a－2x)＝2＋x有解，則2＋x＝a－2x有解，即x＋2x＝a有解，因?yàn)閤＋2x≥1，故a的最小值為1.] 3．已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． (－1,0)　[關(guān)于x的方程f(x)＝k有三個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)y1＝f(x)與函數(shù)y2＝k的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖像如圖所示，由圖可知實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－1,0)．] 7