2022高考數(shù)學”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 小題分層練10 壓軸小題巧解練（2）文

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1、2022高考數(shù)學”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 小題分層練10 壓軸小題巧解練（2）文 一、選擇題 1．(2018·東莞高三二模)已知函數(shù)f(x)＝3x－的圖象上的兩點(x0，y0)，(4＋x0，x0＋y0)關(guān)于原點對稱，則函數(shù)f(x)(　　) A. 在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞增 B. 在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減 C．在(－∞，0)∪(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減 D. 在(－∞，0)∪(0，＋∞)在內(nèi)單調(diào)遞增 A　[易知函數(shù)f(x)＝3x－為奇函數(shù)，因為其圖象上的兩點(x0，y0)(4＋x0，x0＋y0)關(guān)于原點對稱，所以解得即－6＋＝1，解得a＝14，即f(x)＝3x－，則f(x)＝3x－在(－∞，0

2、)內(nèi)單調(diào)遞增，故選A.] 2．(2018·江西高三質(zhì)監(jiān))函數(shù)f(x)的定義域為D，若滿足：①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a，b]?D使得f(x)在[a，b]上的值域為，則稱函數(shù)f(x)為“成功函數(shù)”．若函數(shù)f(x)＝logm(mx＋2t)(其中m＞0，且m≠1)是“成功函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍為(　　) A．(0，＋∞)　　　　　　　 B. C. D. D　[無論m＞1還是0＜m＜1，f(x)＝logm(mx＋2t)都是R上的單調(diào)增函數(shù)，故應(yīng)有則問題可轉(zhuǎn)化為求f(x)＝，即f(x)＝logm(mx＋2t)＝，即mx＋2t＝mx在R上有兩個不相等的實數(shù)根的問題，令λ＝mx(λ

3、＞0)，則mx＋2t＝mx可化為λ2－λ＋2t＝0，則故0＜t＜，選D.] 3．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x)對任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且當x∈[－2,0]時，f(x)＝x－1，若在區(qū)間(－2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰好有3個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是(　　) A．(1,2) B．(2，＋∞) C．(1，) D．(，2) D　[∵對于任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(2＋x)，∴函數(shù)f(x)是一個周期函數(shù)，且T＝4. 又∵當x∈[－2,0]時，f(x)＝x－1，且函數(shù)f(x)是定義在R上的偶

4、函數(shù)， 若在區(qū)間(－2,6]內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0恰有3個不同的實數(shù)解， 則函數(shù)y＝f(x)與y＝loga(x＋2)在區(qū)間(－2,6]上有三個不同的交點，如下圖所示： 又f(－2)＝f(2)＝3， 則對于函數(shù)y＝loga(x＋2)，由題意可得，當x＝2時的函數(shù)值小于3，當x＝6時的函數(shù)值大于3， 即loga4＜3，且loga8＞3，由此解得＜a＜2.] 4．已知橢圓C：＋＝1的左、右頂點分別為A，B，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，圓x2＋y2＝4上有一動點P，P不同于A，B兩點，直線PA與橢圓C交于點Q，則的取值范圍是(　　) A.∪ B．(－∞，0)∪

5、 C．(－∞，－1)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(0,1) D　[由題意得A(－2,0)，B(2,0)，F(xiàn)(1,0)，PA⊥PB. 設(shè)點Q的坐標為(x0，y0)，則kQA·kQF＝·＝ ＝＝. ∴＝－＝＝， 又x0∈(－2,2)且x0≠1， ∴＜0或0＜＜1， 故的取值范圍為(－∞，0)∪(0,1)．選D.] 5．已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點．若|AF|＋|BF|＝4，點M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. A　[根據(jù)橢圓的

6、對稱性及橢圓的定義可得A，B兩點到橢圓左、右焦點的距離和為4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝.因為1≤b＜2，所以0＜e≤.] (教師備選) (2018·河南鄭州高三二模)如圖，已知拋物線C1的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，且過點(2,4)，圓C：x2＋y2－4x＋3＝0，過圓心C2的直線l與拋物線和圓分別交于P，Q，M，N，則|PN|＋4|QM|的最小值為(　　) A. 23 B. 42 C. 12 D. 52 A　[由題意拋物線過定點(2,4)，得拋物線方程y2＝8x，焦點為F(2,0)．圓的標準方程為(x－2)

7、2＋y2＝1，所以圓心為(2,0)，半徑r＝1.由于直線過焦點，所以有＋＝＝，又|PN|＋4|QM|＝(PF＋1)＋(4QF＋4)＝PF＋4QF＋5＝2(PF＋4QF)＋5＝2＋5≥23，當且僅當PF＝2QF時等號成立．選A.] 6．拋物線C1：y＝x2(p＞0)的焦點與雙曲線C2：－y2＝1的右焦點的連線交C1于第一象限的點M.若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p＝(　　) A. B. C. D. D　[經(jīng)過第一象限的雙曲線C2的漸近線方程為y＝x.拋物線C1的焦點為F1，雙曲線C2的右焦點為F2(2,0)．因為y＝x2，所以y′＝x，所以拋物線C1在點M處的

8、切線斜率為，即x0＝，所以x0＝p.因為F1，F(xiàn)2(2,0)，M三點共線，所以＝，解得p＝，故選D.] (教師備選) (2018·遼寧大連高三一模)若直線kx－y－k＋1＝0(k∈R)和曲線E：y＝ax3＋bx2＋(b≠0)的圖象交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)(x1＜x2＜x3)三點時，曲線E在A、C點處的切線總是平行的，則過點(b，a)可作曲線E的幾條切線．(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 C　[直線kx－y－k＋1＝0(k∈R)過定點(1,1)， 由題意可知：定點(1,1)是曲線E：y＝ax3＋bx2＋(b≠0)的對稱中心，

9、 解得，所以曲線E：y＝x3－x2＋，(b，a)＝. f′(x)＝x2－2x，設(shè)切點M(x0，y0)， 則M縱坐標y0＝x3－x＋，又f′(x0)＝x－2x0， ∴切線的方程為：y－＝(x－2x0)(x－x0)， 又直線過定點，∴－＝(x－2x0)(－1－x0)，得x－3x0－2＝0，(x－x0)－2(x0＋1)＝0，即(x0＋1)·(x－x0－2)＝0， 解得x0＝2或－1，故可做兩條切線，選C.] 7．(2018·昆明二模)已知函數(shù)f(x)＝＋k(ln x－x)，若x＝1是函數(shù)f(x)的唯一極值點，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(－∞，e] B．(－∞，e) C

10、．(－e，＋∞) D．[－e，＋∞) A　[由函數(shù)f(x)＝＋k(ln x－x)，可得f′(x)＝＋k＝，∵f(x)有唯一極值點x＝1，∴f′(x)＝0有唯一根x＝1，∴－k＝0無根，即y＝k與g(x)＝無交點，可得g′(x)＝，由g′(x)＞0得，g(x)在[1，＋∞)上遞增，由g′(x)＜0得，g(x)在(0,1)上遞減，∴g(x)min＝g(1)＝e，∴k≤e，即實數(shù)k的取值范圍是(－∞，e]，故選A.] 8．(2018·廣東茂名高三二模)若對任意的x＞0，不等式x2－2mln x≥1(m≠0)恒成立，則m的取值范圍是(　　) A．{1} B．[1，＋∞) C．[2，

11、＋∞) D．[e，＋∞) A　[由已知可得x2－2mln x－1≥0對任意的x＞0恒成立， 設(shè)f(x)＝x2－2mln x－1，則f′(x)＝2x－＝， 當m＜0時f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(1)＝0，∴在(0,1)上f(x)＜0，不合題意； 當m＞0時，可知f(x)在(0，)單調(diào)遞減，在(，＋∞)單調(diào)遞增，要使f(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，只要f()≥0，令g(m)＝f()＝m－mln m－1(m＞0)，g′(m)＝－ln m，可知g(m)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，又g(1)＝0，∴g(m)≤0，∴

12、g(m)＝0，∴m＝1.故選A.] 9．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m，n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是(　　) A．－13 B．－15 C．10 D．15 A　[求導(dǎo)得f′(x)＝－3x2＋2ax， 由函數(shù)f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0， 即－3×4＋2a×2＝0，所以a＝3. 由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1]上單調(diào)遞增，所以當m∈[－1,1]時，f(m)min＝f(0)＝－4. 又因為f′(x)＝－3x2＋6x的圖象開口

13、向下，且對稱軸為x＝1， 所以當n∈[－1,1]時，f′(n)min＝f′(－1)＝－9. 故f(m)＋f′(n)的最小值為－13.] 10．(2018·四川德陽高三二診)如圖43，過拋物線y2＝4x的焦點F作傾斜角為α的直線l，l與拋物線及其準線從上到下依次交于A、B、C點，令＝λ1，＝λ2，則當α＝時，λ1＋λ2的值為(　　) 圖43 A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6 B　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由過拋物線y2＝4x的焦點的直線的性質(zhì)可得|AB|＝x1＋x2＋2＝＝， ∴x1＋x2＝，又x1x2＝＝1，可得x1＝3，x2＝， 分別過

14、點A，B作準線的垂線，分別交準線于點E，D，則＝λ1＝＝＝3，同理可得＝λ2＝1，∴λ1＋λ2＝4，故選B.] 二、填空題 11．(2018·惠州二模)已知函數(shù)f(x)對任意的x∈R，都有f＝f，函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)，當－≤x≤時，f(x)＝2x，則方程f(x)＝－在區(qū)間[－3,5]內(nèi)的所有零點之和為________． 4　[∵函數(shù)f(x＋1)是奇函數(shù)， ∴函數(shù)f(x＋1)的圖象關(guān)于點(0,0)對稱， ∴把函數(shù)f(x＋1)的圖象向右平移1個單位可得函數(shù)f(x)的圖象，即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，則f(2－x)＝－f(x)． 又∵f＝f，∴f(1－x)＝f(x)，從

15、而f(2－x)＝－f(1－x)， ∴f(x＋1)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)． ∴函數(shù)f(x)的周期為2，且圖象關(guān)于直線x＝對稱，畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示： ∴結(jié)合圖象可得f(x)＝－在區(qū)間[－3,5]內(nèi)有8個零點，且所有零點之和為×2×4＝4.] (教師備選) 已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，將直角梯形ABCD沿AC折疊成三棱錐D-ABC，當三棱錐D-ABC的體積取最大值時，其外接球的體積為________． 　[已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，沿AC折疊成

16、三棱錐，如圖：AB＝2，AD＝1，CD＝1，∴AC＝，BC＝，∴BC⊥AC， 取AC的中點E，AB的中點O，連接DE，OE， ∵當三棱錐體積最大時，平面DCA⊥平面ACB， ∴OB＝OA＝OC＝OD，∴OB＝1，就是外接球的半徑為1， 此時三棱錐外接球的體積：×13＝.] 12．(2018·沈陽二模)已知橢圓＋＝1的右焦點為F，P是橢圓上一點，點A(0,3)，當△APF的周長最大時，△APF的面積為________． 　[橢圓＋＝1中， a＝4，b＝，∴c＝3，由題意，設(shè)F′是左焦點，則△APF周長＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2a－|PF′|＝8＋6＋|PA

17、|－|PF′|≤14＋|AF′|(A，P，F(xiàn)′三點共線時，且P在AF′的延長線上，取等號)，此時kAP＝，∴∠AF′F＝， ∴∠FF′P＝，設(shè)|PF′|＝x，則|PF|＝8－x，由余弦定理得(8－x)2＝x2＋36－2×6x·cos，∴x＝，所以△APF的面積S＝S△AF′F＋S△PF′F＝×6×＝.] 13．(2018·安慶二模)銳角三角形的三個內(nèi)角分別為A、B、C，sin(A－B)＝，sin C＝，AB＝6，則△ABC的面積為________． 12＋6　[∵sin(A－B)＝sin Acos B－sin Bcos A＝， sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝， ∴sin Acos B＝，sin Bcos A＝， ∴sin2A(1－sin2B)＝，sin2B(1－sin2A)＝， ∴sin2Asin2B＝， sin2Asin2B＝，∴sin Asin B＝， S＝absin C＝·sin C＝6(＋2)．]