2022高考數學 ?？碱}型 專題05 導數壓軸題的零點及恒成立、有解問題 理

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1、2022高考數學 ?？碱}型 專題05 導數壓軸題的零點及恒成立、有解問題 理 1．（2018新課標全國Ⅱ理科）已知函數． （1）若，證明：當時，； （2）若在只有一個零點，求． 【解析】（1）當時，等價于． 設函數，則． 當時，，所以在單調遞減． 而，故當時，，即． ①若，即，在沒有零點； ②若，即，在只有一個零點； ③若，即，由于，所以在有一個零點， 由（1）知，當時，，所以． 故在有一個零點，因此在有兩個零點． 綜上，在只有一個零點時，． 2．（2017新課標全國Ⅰ理科）已知函數. （1）討論的單調性； （2）若有兩個零點，求a的取值范圍. 【解析

2、】（1）的定義域為，， （?。┤?，則，所以在單調遞減. （ⅱ）若，則由得. 當時，；當時，， 所以在單調遞減，在單調遞增. 又，故在有一個零點. 設正整數滿足，則. 由于，因此在有一個零點. 綜上，的取值范圍為. 【名師點睛】研究函數零點問題常常與研究對應方程的實數根問題相互轉化.已知函數有2個零點求參數a的取值范圍，第一種方法是分離參數，構造不含參數的函數，研究其單調性、極值、最值，判斷與其交點的個數，從而求出a的取值范圍；第二種方法是直接對含參函數進行研究，研究其單調性、極值、最值，注意點是若有2個零點，且函數先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗證最小值兩邊存

3、在大于0的點. 3．（2015新課標全國Ⅱ理科）設函數． （Ⅰ）證明：在單調遞減，在單調遞增； （Ⅱ）若對于任意，都有，求的取值范圍． (Ⅱ)由(Ⅰ)知，對任意的，在單調遞減，在單調遞增，故在處取得最小值．所以對于任意，的充要條件是即①，設函數，則．當時，；當時，．故在單調遞減，在單調遞增．又，，故當時，．當時，，，即①式成立；當時，由的單調性，，即；當時，，即．綜上可知，的取值范圍是． 【名師點睛】(Ⅰ)先求導函數，根據的取值范圍討論導函數在和的符號即可；(Ⅱ)恒成立，等價于．由是兩個獨立的變量，可研究的值域，由(Ⅰ)可得最小值為，最大值可能是或，故只需，從而得關于的不等式，因不

4、易解出，故利用導數研究其單調性和符號，從而得解． 1．利用導數研究函數的零點問題，一般出現在解答題的壓軸題中，難度較大，這類零點一般都不能直接求出數值，而是利用數形結合、分類討論、轉化思想和分離變量等求零點的個數或根據零點的個數求參數的取值范圍. 2．利用導數解決函數恒成立問題或有解問題是近年來高考的熱點問題，這類問題往往融函數、導數、不等式等知識于一體，以函數知識為載體，利用導數為工具研究函數的性質，如單調性、極值、最值，綜合性強，很好地考查了考生的分析問題和解決問題的能力，解決這類問題的關鍵是運用等價轉化的數學思想及整體構造法和參數分離法. 指點1：利用導數研究函數的零點問題

5、 對于含參數的函數零點的個數問題，由函數有個零點方程有個實數根函數與軸有個交點可轉化為方程解的個數問題，若能分離參數，可將參數分離出來，再作出函數的圖象，根據函數的圖象特征從而求出參數的取值范圍.也可以根據函數的最值或極值的符號，即利用函數的性質去確定函數零點的個數，此方法主要是通過數形結合的方法確定存在零點的條件. 【例1】設函數,其中為自然對數的底數． （1）若,求的單調區(qū)間; （2）若,求證:無零點． 【解析】（1）若,則,∴． 令,則, 當時,,即單調遞增,又, ∴當時,單調遞減, 當時,單調遞增． ∴的單調遞減區(qū)間為,單調遞增區(qū)間為． （2）當時,，顯然無零點．

6、 當時, (i)當時,，顯然無零點． (ii)當時，易證，∴, ∴． 令，則， 令，得，當時，；當時，， 故，從而，顯然無零點. 綜上,無零點． 指點2：利用導數解決函數恒成立、有解問題 利用導數研究恒成立問題、有解問題，通常采用分類討論思想或分離參變量的方法，通過函數的單調性研究函數的最值，利用最值去研究恒成立問題、有解問題，此類問題最后都化歸為與函數最值有關的問題. 一般地，若恒成立，只需即可；若恒成立，只需即可.若存在，使得成立，只需即可；若存在，使得成立，只需即可. 【例2】已知函數，. （1）若曲線與曲線在它們的交點處的公共切線為，求，，的值； （2）當時，

7、若，，求的取值范圍. 【解析】（1）設它們的公共交點的橫坐標為， 則 . ，則，①； ，則，②. 由②得，由①得. 將，代入得，∴，. （2）由，得， 即在上恒成立， 令 ， 則， 其中在上恒成立， ∴在上單調遞增，在上單調遞減， 則，∴. 故的取值范圍是. 1．設函數的單調遞減區(qū)間是. （1）求的解析式； （2）若對任意的，關于的不等式在時有解，求實數的取值范圍. 【解析】（1）. ∵的單調遞減區(qū)間是(1,2)，∴， 解得∴. （2）由（1）得， 當時，≥0，∴在上單調遞增，∴. 要使關于的不等式在時有解， 即，即對任意恒成立, 只需在

8、上恒成立. 設，，則， 當時，在上單調遞減，在上單調遞增，∴. 要使在上恒成立，只需，則. 故的取值范圍是. 2．已知函數． （1）證明：當時，； （2）當時，討論關于x的方程的根的個數． （2）①當時，易得關于x的方程不成立； ②當時，由可得，即， 令，則問題可轉化為討論直線與函數的圖象的交點個數. 由，可得，易知恒成立，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增， 又易知當時，恒成立，且， 所以當時，直線與函數的圖象有且只有一個交點，即關于x的方程有且只有一個實數根. 3．設函數. （1）討論函數的單調性； （2）若，且在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍. 【解析】（1）函數的定義域為，， 當時，，函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減； 當時，，函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減； 當時，， 函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增； 當時，，函數在上單調遞增； 當時，，函數在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增. （2）若，且在區(qū)間上恒成立，等價于在區(qū)間上.由（1）中的討論，知 當時，，函數在區(qū)間上單調遞減，, 即，從而得； 當時，，函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，