2022高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 小題分層練9 壓軸小題巧解練（1）文

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1、2022高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 小題分層練9 壓軸小題巧解練（1）文 一、選擇題 1．若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點M、N關(guān)于原點對稱，則稱點對(M，N)是函數(shù)y＝f(x)的一對“和諧點對”(點對(M，N)與(N，M)看作同一對“和諧點對”)．已知函數(shù)f(x)＝則此函數(shù)的“和諧點對”有(　　) A．1對　　　B．2對　　　C．3對　　　D．4對 B　[作出f(x)＝的圖象如圖所示，f(x)的“和諧點對”數(shù)可轉(zhuǎn)化為y＝ex(x＜0)和y＝－x2－4x(x＜0)的圖象的交點個數(shù)． 由圖象知，函數(shù)f(x)有2對“和諧點對”．] 2．已知函數(shù)f(x)＝2x－(x＜0)與g

2、(x)＝log2(x＋a)的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－) B．(－∞，) C．(－∞，2) D. B　[由f(x)關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為h(x)＝f(－x)＝2－x－(x＞0)， 令h(x)＝g(x)，得2－x－＝log2(x＋a)(x＞0)， 則方程2－x－＝log2(x＋a)在(0，＋∞)上有解， 作出y＝2－x－與y＝log2(x＋a)的圖象，如圖所示， 當(dāng)a≤0時，函數(shù)y＝2－x－與y＝log2(x＋a)的圖象在(0，＋∞)上必有交點，符合題意， 若a＞0，若兩函數(shù)在(0，＋∞)上必有交點，則log2a＜，解得0＜

3、a＜， 綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是(－∞，)，故選B.] 3．(2018·濟南二模)設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)＝x－a－x和g(x)＝xlogax－1的零點(其中a＞1)，則x1＋4x2的取值范圍是(　　) A．[4，＋∞) B．(4，＋∞) C．[5，＋∞) D．(5，＋∞) D　[f(x)＝x－a－x的零點x1是方程x＝a－x，即＝ax的解，g(x)＝xlogax－1的零點x2是方程xlogax－1＝0，即＝logax的解，即x1，x2是y＝ax與y＝logax與y＝交點A，B的橫坐標(biāo)，可得0＜x1＜1，x2＞1，∵y＝ax的圖象與y＝logax關(guān)于y＝x對稱，

4、y＝的圖象也關(guān)于y＝x對稱，∴A，B關(guān)于y＝x對稱，設(shè)A，B，∴A關(guān)于y＝x對稱點A′與B重合，＝x2?x2x1＝1，x1＋4x2＝x1＋x2＋3x2＞2＋3x2＞2＋3＝5，∴x1＋4x2的取值范圍是(5，＋∞)，故選D.] 4．(2018·馬鞍山二模)已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)＋f(－x)＝x2，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)＞x.若f(1＋a)－f(1－a)≥2a，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，1] A　[由題意可設(shè)g(x)＝f(x)－x2，∵x∈(0，＋∞)時，f′(x)＞x，∴g′(x)＝

5、f′(x)－x＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又∵f(x)＋f(－x)＝x2，∴g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－x2＝x2－x2＝0，∴g(x)為奇函數(shù)，又f(0)＝0，∴g(x)＝0，∴g(x)為(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，又∵f(1＋a)－f(1－a)≥2a，∴g(1＋a)－g(1－a)≥0，即g(1＋a)≥g(1－a)，∴1＋a≥1－a，即a≥0，故選A.] 5．已知奇函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一個零點，則實數(shù)λ的值是(　　) A. B. C．－ D．－ C　[∵函數(shù)y＝f(2x2＋1)＋f(λ－

6、x)只有一個零點， ∴方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一個實數(shù)根，又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0?f(2x2＋1)＝－f(λ－x)?f(2x2＋1)＝f(x－λ)?2x2＋1＝x－λ，∴方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一個實數(shù)根，∴Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－.故選C.] 6．設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點，過點P(－1,0)的直線l交拋物線C于A，B兩點，點Q為線段AB的中點，若|FQ|＝2，則|AB|＝(　　) A. B．2 C．3 D．4 D　[很明顯直線的斜

7、率存在， 設(shè)直線方程為y＝k(x＋1)， 與拋物線聯(lián)立可得：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0， 則：xQ＝＝－1，yQ＝k(xQ＋1)＝， 即Q，而F(1,0)， 利用兩點之間距離公式可得：|FQ|＝＝2， 整理化簡可得：＝0，∴＝2. 利用根與系數(shù)的關(guān)系有：x1＋x2＝＝6，x1x2＝1， 則|x1－x2|＝＝，＝， 由弦長公式可得：|AB|＝×|x1－x2|＝4.] 7．已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)，滿足①f(x)＞0；②f(x)＜f′(x)＜3f(x)(其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù))，則的取值范圍為(　　) A. B.

8、C. D. A　[構(gòu)造函數(shù)g(x)＝，x∈(0，＋∞)，則g′(x)＝＞0，所以函數(shù)g(x)＝在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以g(1)＜g(2)，即＜，則＜e－；令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，則h′(x)＝＜0, 函數(shù)h(x)＝在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以h(1)＞h(2)，即＞，則＞.綜上，＜＜e－，故答案為A.] 8．(2018·黃山二模)已知橢圓和雙曲線有共同焦點F1，F(xiàn)2, P是它們的一個交點，且∠F1PF2＝，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則的最大值為(　　) A. B. C．2 D．3 A　[考查一般性結(jié)論，當(dāng)∠F1PF2＝θ時： 設(shè)|

9、PF1|＝m，|PF2|＝n，橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的長半軸長為a2，兩曲線的焦距為c，結(jié)合題意有： m＋n＝2a1，|m－n|＝2a2， 兩式平方相加可得：m2＋n2＝2(a＋a)， 兩式平方作差可得：mn＝a－a， 由余弦定理有：4c2＝m2＋n2－2mncos θ， 則：4c2＝2(a＋a)－2(a－a)cos θ，2c2＝(1－cos θ)a＋(1＋cos θ)a， 即1＝＋，結(jié)合二倍角公式有：＋＝1. 本題中，θ＝，則有＋＝1， 即1＝＋≥2＝·， 則≤，當(dāng)且僅當(dāng)＝2，＝時等號成立， 據(jù)此可得的最大值為. 故選A.] 9．設(shè)函數(shù)f(x)＝ex(1－2x)

10、＋ax，其中a＜1，若存在唯一負(fù)整數(shù)x0，使得f(x0)＞a，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. D　[設(shè)g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a， 由題意知存在唯一的負(fù)整數(shù)x0使得g(x0)在直線y＝ax－a的下方， ∵g′(x)＝ex(2x－1)＋2ex＝ex(2x＋1)， ∴當(dāng)x＜－時，g′(x)＜0，當(dāng)x＞－時，g′(x)＞0， ∴當(dāng)x＝－時，g(x)取最小值－2e－， 直線y＝ax－a恒過定點(1,0)且斜率為a， 故a＞0且g(－1)＝－3e－1＜－a－a，g(－2)＝－≥－2a－a， 解得≤a＜，故選D.] 10．已知F是拋物線

11、x2＝4y的焦點，P為拋物線上的動點，且點A的坐標(biāo)為(0，－1)，則的最小值是(　　) A. B. C. D. C　[由題意可得，拋物線x2＝4y的焦點F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y＝－1. 過點P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，則由拋物線的定義可得|PF|＝|PM|，則＝＝sin∠PAM，∠PAM為銳角．∴當(dāng)∠PAM最小時，最小，則當(dāng)PA和拋物線相切時，最小．設(shè)切點P(2，a)，由y＝x2的導(dǎo)數(shù)為y′＝x，則PA的斜率為·2＝＝，∴a＝1，則P(2,1)．∴|PM|＝2，|PA|＝2， ∴sin∠PAM＝＝，故選C.] 11．已知函數(shù)f(x)＝(x－a)2＋(ex－a)

12、2(a∈R)，若存在x0∈R，使得f(x0)≤成立，則實數(shù)a的值為(　　) A. B. C. D. D　[函數(shù)f(x)可以看作是動點M(x，ex)與動點N(a，a)之間距離的平方， 動點M在函數(shù)y＝ex的圖象上，N在直線y＝x的圖象上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到曲線的最小距離，由y＝ex得，y′＝ex，令y′＝1，解得x＝0， ∴曲線上點M(0,1)到直線y＝x的距離最小，最小距離d＝，則f(x)≥， 根據(jù)題意，要使f(x0)≤，則f(x0)＝，此時N恰好為垂足， 由kMN＝＝－1，解得a＝，故選D.] 12．(2018·東莞高三二模)已知雙曲線C：－＝1(a＞

13、0，b＞0)的離心率為2，過右焦點F的直線l交雙曲線C的兩條漸近線于A，B兩點，且＋2＝0，則直線l的斜率k(k＞0)的值等于(　　) A．3 B．2 C. D. A　[因為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，所以＝2，＝，則雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，設(shè)過右焦點F的直線l的方程為x＝ty＋c，聯(lián)立得yA＝，聯(lián)立，得yB＝，由＋2＝0，得yA＝－2yB，即＝，解得t＝，即直線l的斜率k(k＞0)的值等于3.故選A.] 二、填空題 13．已知函數(shù)f(x)＝且關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是________． (

14、1，＋∞)　[依題意，由f(x)＋x－a＝0有且只有一個實數(shù)根得，函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝－x＋a有唯一公共點．在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出直線y＝－x與函數(shù)y＝f(x)的大致圖象(圖略)，平移直線y＝－x，當(dāng)平移到該直線在y軸上的截距大于1時，相應(yīng)直線與函數(shù)y＝f(x)的圖象有唯一公共點，即此時關(guān)于x的方程有且只有一個實數(shù)根，因此a＞1，即實數(shù)a的取值范圍是(1，＋∞)．] 14．雙曲線C：－＝1 的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交雙曲線左支于A，B兩點，則|AF2|＋|BF2|的最小值為________． 10　[根據(jù)雙曲線－＝1得a＝2，b＝， 根據(jù)雙曲線的定義|AF2

15、|－|AF1|＝2a＝4， |BF2|－|BF1|＝2a＝4， 相加得|AF2|＋|BF2|－(|BF1|＋|AF1|)＝8， 由題意可知|AF1|＋|BF1|＝|AB|，當(dāng)|AB|是雙曲線通徑時|AB|最小， 即有|AF2|＋|BF2|－(|BF1|＋|AF1|)＝|AF2|＋|BF2|－|AB|＝8， 即有|AF2|＋|BF2|＝8＋|AB|≥＋8＝＋8＝10， 故答案為10.] 15．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎．”乙說：“甲、丙都未獲獎．”丙說：“我獲獎了．”丁說：“是乙獲獎．”四位歌手的話只有兩句是對的，則

16、獲獎的歌手是________． 丙　[若甲是獲獎的歌手，則都說假話，不合題意． 若乙是獲獎的歌手，則甲、乙、丁都說真話，丙說假話，不符合題意． 若丁是獲獎的歌手，則甲、丁、丙都說假話，乙說真話，不符合題意． 故答案為丙．] 16．(2018·惠州二模)已知F是拋物線x2＝4y的焦點，有人由“追求”聯(lián)想到“錐、球”并構(gòu)造了一道名為《追求2017》的題目，請你解答此題：球O的球心為點O，球O內(nèi)切于底面半徑為、高為3的圓錐，三棱錐V-ABC內(nèi)接于球O，已知OA⊥OB，AC⊥BC，則三棱錐V-ABC的體積的最大值為________． 　[圓錐的母線長為＝2，設(shè)球O的半徑為r，則＝，解得r＝1. ∵OA⊥OB，OA＝OB＝1，∴AB＝， ∵AC⊥BC，∴C在以AB為直徑的圓上， ∴平面OAB⊥平面ABC， ∴O到平面ABC的距離為， 故V到平面ABC的最大距離為＋1. 又C到AB的最大距離為， ∴三棱錐V-ABC的體積的最大值為××××＝.]