江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前回扣5 立體幾何學(xué)案

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1、 5.立體幾何 1.空間幾何體表面積和體積的求法 幾何體的表面積是各個(gè)面的面積之和,組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理,求幾何體的體積常用公式法、割補(bǔ)法、等積變換法. [問(wèn)題1] 底面邊長(zhǎng)為2,高為1的正三棱錐的表面積為_(kāi)_______. 答案 3 解析 由題意作出圖形如圖. ∵三棱錐P-ABC是正三棱錐,頂點(diǎn)P在底面上的射影D是底面的中心,取BC的中點(diǎn)F,連結(jié)PF,DF,PD. 在△PDF中,PD=1,DF=, ∴PF= =, ∴棱錐的側(cè)面積S側(cè)=3××2×=2, ∵底面積為,∴表面積為3. 2.空間平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系 平行問(wèn)題的核心是線線平行,證明線線

2、平行的常用方法有:三角形的中位線、平行線分線段成比例(三角形相似)、平行四邊形等. [問(wèn)題2] 下列命題正確的是________.(填序號(hào)) ①如果a,b是兩條直線,且a∥b,那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面; ②如果直線a和平面α滿足a∥α,那么a與α內(nèi)的任何直線平行; ③如果直線a,b和平面α滿足a∥α,b∥α,那么a∥b; ④如果直線a,b和平面α滿足a∥b,a∥α,b?α,那么b∥α. 答案?、? 3.空間垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系 垂直問(wèn)題的核心是線線垂直,證明線線垂直的常用方法有: 等腰三角形底邊上的中線、勾股定理、平面幾何方法等. [問(wèn)題3] 已知兩個(gè)平面垂直,下列命題

3、: ①一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線; ②一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無(wú)數(shù)條直線; ③一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面; ④過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個(gè)平面. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是________. 答案 1 易錯(cuò)點(diǎn)1 旋轉(zhuǎn)體辨識(shí)不清 例1 如圖所示(單位:cm),求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積. 易錯(cuò)分析 注意這里是旋轉(zhuǎn)圖中的陰影部分,不是旋轉(zhuǎn)梯形ABCD.在旋轉(zhuǎn)的時(shí)候邊界形成一個(gè)圓臺(tái),并在上面挖去了一個(gè)“半球”,其體積應(yīng)是圓臺(tái)的體積減去半球的體積.解本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是誤以為旋轉(zhuǎn)

4、的是梯形ABCD,在計(jì)算時(shí)沒(méi)有減掉半球的體積. 解 由題圖中數(shù)據(jù)及圓臺(tái)和球的體積公式,得 V圓臺(tái)=×π(22+2×5+52)×4=52π(cm3), V半球=π×23×=π(cm3). 所以旋轉(zhuǎn)體的體積為 V=V圓臺(tái)-V半球=52π-π=π(cm3). 易錯(cuò)點(diǎn)2 線面關(guān)系把握不準(zhǔn) 例2 設(shè)a,b為兩條直線,α,β為兩個(gè)平面,且a?α,a?β,則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. ①若b?β,a∥b,則a∥β; ②若a⊥β,α⊥β,則a∥α; ③若a⊥b,b⊥α,則a∥α. 易錯(cuò)分析 本題易出現(xiàn)的問(wèn)題就是對(duì)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系把握不準(zhǔn),考慮問(wèn)題不全面,不能準(zhǔn)確把握

5、題中的前提——a?α,a?β,對(duì)空間中的平行、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理中的條件把握不準(zhǔn)導(dǎo)致判斷失誤.如①中忽視已知條件中的a?β,誤以為該項(xiàng)錯(cuò)誤等. 解析 對(duì)于①,若有b?β,a∥b,且已知a?β,所以根據(jù)線面平行的判定定理可得a∥β,故①正確;對(duì)于②,若a⊥β,α⊥β,則根據(jù)空間線面位置關(guān)系可知,a?α或a∥α,而由已知可知a?α,所以a∥α,故②正確;對(duì)于③,若a⊥b,b⊥α,所以a?α或a∥α,而由已知可得a?α,所以a∥α,故③正確. 答案 3 易錯(cuò)點(diǎn)3 線面關(guān)系論證不嚴(yán)謹(jǐn) 例3 在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為DD1,DB的中點(diǎn). (1)求證:E

6、F∥平面ABC1D1; (2)求證:EF⊥B1C. 易錯(cuò)分析 利用空間線面關(guān)系的判定或性質(zhì)定理證題時(shí),推理論證一定要嚴(yán)格按照定理中的條件進(jìn)行,否則出現(xiàn)證明過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯?wèn)題. 證明 (1)連結(jié)BD1,如圖所示. 在△DD1B中,E,F(xiàn)分別為DD1,DB的中點(diǎn),則 ?EF∥平面ABC1D1. (2)ABCD-A1B1C1D1為正方體?AB⊥平面BCC1B1 ? ? ??EF⊥B1C. 1.已知α,β為兩個(gè)不同的平面,m,n為兩條不同的直線,下列命題中正確的是________.(填上所有正確命題的序號(hào)) ①若α∥β,m?α,則m∥β; ②若m∥α,n?α,則m∥n

7、; ③若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m⊥β; ④若n⊥α,n⊥β,m⊥α,則m⊥β. 答案?、佗? 解析?、龠@是面面平行的性質(zhì),正確;②只能確定m,n沒(méi)有公共點(diǎn),有可能異面,錯(cuò)誤;③當(dāng)m?α?xí)r,才能保證m⊥β,錯(cuò)誤;④由m⊥α,n⊥α,得m∥n,又n⊥β,所以m⊥β,正確. 2.已知一個(gè)圓錐的底面積為2π,側(cè)面積為4π,則該圓錐的體積為_(kāi)_______. 答案 π 解析 設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l, 則解得r=,l=2, 所以高h(yuǎn)==, 所以V=πr2h=π×2×=π. 3.(2018·江蘇揚(yáng)州中學(xué)模擬)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為,D為BC

8、中點(diǎn),則三棱錐A-B1DC1的體積為_(kāi)_______. 答案 1 解析 ×=××2××=1. 4.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=3 cm,AA1=1 cm,則三棱錐D1-A1BD的體積為_(kāi)_______ cm3. 答案  解析 因?yàn)樵谡睦庵鵄BCD-A1B1C1D1中, AB=3 cm,AA1=1 cm, 所以三棱錐D1-A1BD的體積 =××A1D1×D1D×AB =×3×1×3=(cm3). 5.設(shè)一個(gè)正方體與底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的體積相等,則該正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)_______. 答案 2 解析 由題意可得正四棱錐的高為2,

9、體積為×(2)2×2=8,所以正方體的體積為8,所以棱長(zhǎng)為2. 6.α,β是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線,有下列三個(gè)命題: ①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β; ②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n; ③如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等. 其中正確的命題有________.(填寫(xiě)所有正確命題的序號(hào)) 答案?、冖? 解析 當(dāng)m⊥n,m⊥α,n∥β時(shí),兩個(gè)平面的位置關(guān)系不確定,故①錯(cuò)誤,經(jīng)判斷知②③均正確,故正確答案為②③. 7.將半徑為5的圓分割成面積之比為1∶2∶3的三個(gè)扇形作為三個(gè)圓錐的側(cè)面,設(shè)這三個(gè)圓錐的底面半徑依次為r1,r2,r3,則r1+r2+

10、r3=________. 答案 5 解析 由題意可得三個(gè)扇形的弧長(zhǎng)分別為,,5π,分別等于三個(gè)圓錐底面圓的周長(zhǎng),則r1=,r2=,r3=,所以r1+r2+r3=++=5. 8.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ABB1A1,CBB1C1都是矩形,AB=BC=2,BB1=4,∠ABC=60°,D為BC的中點(diǎn),則四面體ADC1A1的體積為_(kāi)_______. 答案  解析 由側(cè)面ABB1A1,CBB1C1都是矩形, 得BB1⊥AB,BB1⊥BC, 又AB,BC是底面ABC內(nèi)的兩條相交直線, 所以BB1⊥平面ABC, 則三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱, 又AB=B

11、C=2,∠ABC=60°, 則△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形, 則點(diǎn)B到平面AA1C1的距離等于正三角形ABC的高, 又D為BC的中點(diǎn), 所以點(diǎn)D到平面AA1C1的距離為, 則四面體ADC1A1的體積=××2×4×=. 9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,AC,BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),OP=OC,PA⊥PD. 求證:(1)直線PA∥平面BDE; (2)平面BDE⊥平面PCD. 證明 (1)連結(jié)OE,如圖所示. 因?yàn)镺為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),所以O(shè)為AC的中點(diǎn). 又E為PC的中點(diǎn), 所以O(shè)E∥PA. 因?yàn)镺E?平面B

12、DE,PA?平面BDE, 所以直線PA∥平面BDE. (2)因?yàn)镺E∥PA,PA⊥PD,所以O(shè)E⊥PD. 因?yàn)镺P=OC,E為PC的中點(diǎn),所以O(shè)E⊥PC. 又PD?平面PCD,PC?平面PCD,PC∩PD=P, 所以O(shè)E⊥平面PCD. 因?yàn)镺E?平面BDE,所以平面BDE⊥平面PCD. 10.如圖,在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊CD,CB的中點(diǎn),AC∩EF=O,沿EF將△CEF翻折到△PEF,連結(jié)PA,PB,PD,得到如圖的五棱錐P-ABFED,且PB=. (1)求證:BD⊥PA; (2)求四棱錐P-BFED的體積. (1)證明 ∵點(diǎn)E,

13、F分別是邊CD,CB的中點(diǎn), ∴BD∥EF. ∵菱形ABCD的對(duì)角線互相垂直,∴BD⊥AC. ∴EF⊥AC,∴EF⊥AO,EF⊥PO. ∵AO?平面POA,PO?平面POA,AO∩PO=O, ∴EF⊥平面POA,∴BD⊥平面POA, 又PA?平面POA,∴BD⊥PA. (2)解 設(shè)AO∩BD=H,連結(jié)BO. ∵∠DAB=60°, ∴△ABD為等邊三角形, ∴BD=4,BH=2,HA=2, HO=PO=, 在Rt△BHO中,BO==, 在△PBO中,BO2+PO2=10=PB2, ∴PO⊥BO. ∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF?平面BFED,BO?平面BFED,∴PO⊥平面BFED, 梯形BFED的面積S=(EF+BD)·HO=3, ∴四棱錐P-BFED的體積 V=S·PO=×3×=3. 9

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