(全國通用版)2022年高考數(shù)學一輪復習 第九章 解析幾何 課時達標檢測(三十八)圓的方程 文

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1、(全國通用版)2022年高考數(shù)學一輪復習 第九章 解析幾何 課時達標檢測(三十八)圓的方程 文 對點練(一) 圓的方程 1.已知圓C的圓心是直線x-y+1=0與x軸的交點,且圓C與直線x+y+3=0相切,則圓C的方程是(  ) A.(x+1)2+y2=2 B.(x+1)2+y2=8 C.(x-1)2+y2=2 D.(x-1)2+y2=8 解析:選A 直線x-y+1=0與x軸的交點為(-1,0). 根據(jù)題意,圓C的圓心坐標為(-1,0). 因為圓與直線x+y+3=0相切,所以半徑為圓心到切線的距離,即r=d==, 則圓的方程為(x+1)2+y2=2.故選A. 2.(2018·河

2、北唐山模擬)圓E經(jīng)過三點A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圓心在x軸的正半軸上,則圓E的標準方程為(  ) A.2+y2= B.2+y2= C.2+y2= D.2+y2= 解析:選C 根據(jù)題意,設(shè)圓E的圓心坐標為(a,0)(a>0),半徑為r,即圓的標準方程為(x-a)2+y2=r2, 則有解得a=,r2=, 則圓E的標準方程為2+y2=.故選C. 3.(2018·河北邯鄲聯(lián)考)以(a,1)為圓心,且與兩條直線2x-y+4=0與2x-y-6=0同時相切的圓的標準方程為(  ) A.(x-1)2+(y-1)2=5 B.(x+1)2+(y+1)2=5 C.(x-1

3、)2+y2=5 D.x2+(y-1)2=5 解析:選A 因為兩平行直線2x-y+4=0與2x-y-6=0的距離為d==2.故所求圓的半徑為r=,所以圓心(a,1)到直線2x-y+4=0的距離為=,即a=1或a=-4.又因為圓心(a,1)到直線2x-y-6=0的距離也為r=,所以a=1.因此所求圓的標準方程為(x-1)2+(y-1)2=5.故選A. 4.已知直線l:x+my+4=0,若曲線x2+y2+6x-2y+1=0上存在兩點P,Q關(guān)于直線l對稱,則m的值為(  ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 解析:選D 因為曲線x2+y2+6x-2y+1=0表示的是圓,其標準方程為(x

4、+3)2+(y-1)2=9,若圓(x+3)2+(y-1)2=9上存在兩點P,Q關(guān)于直線l對稱,則直線l:x+my+4=0過圓心(-3,1),所以-3+m+4=0,解得m=-1. 5.已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(-2,3),B(-2,-1),C(6,-1),以原點為圓心的圓與此三角形有唯一的公共點,則圓的方程為____________________. 解析:依題意,直線AC的方程為=,化為一般式方程為x+2y-4=0.點O到直線x+2y-4=0的距離d==>1.又因為|OA|==,|OB|==,|OC|==,所以原點為圓心的圓若與△ABC有唯一的公共點,則公共點為(0,-1)或(

5、6,-1),故圓的半徑為1或,則圓的方程為x2+y2=1或x2+y2=37. 答案:x2+y2=1或x2+y2=37 6.(2016·天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點M(0,)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為,則圓C的方程為________________. 解析:因為圓C的圓心在x軸的正半軸上,設(shè)C(a,0),且a>0,所以圓心到直線2x-y=0的距離d==,解得a=2, 所以圓C的半徑r=|CM|==3, 所以圓C的方程為(x-2)2+y2=9. 答案:(x-2)2+y2=9 對點練(二) 與圓的方程有關(guān)的綜合問題 1.(2018·湖南長沙模擬)圓x2

6、+y2-2x-2y+1=0上的點到直線x-y=2距離的最大值是(  ) A.1+ B.2 C.1+ D.2+2 解析:選A 將圓的方程化為(x-1)2+(y-1)2=1,圓心坐標為(1,1),半徑為1,則圓心到直線x-y=2的距離d==,故圓上的點到直線x-y=2距離的最大值為d+1=+1. 2.(2018·廣東七校聯(lián)考)圓x2+y2+2x-6y+1=0關(guān)于直線ax-by+3=0(a>0,b>0)對稱,則+的最小值是(  ) A.2 B. C.4 D. 解析:選D 由圓x2+y2+2x-6y+1=0知其標準方程為(x+1)2+(y-3)2=9,∵圓x2+y2+2x-6y+

7、1=0關(guān)于直線ax-by+3=0(a>0,b>0)對稱,∴該直線經(jīng)過圓心(-1,3),即-a-3b+3=0,∴a+3b=3(a>0,b>0),∴+=(a+3b)=≥=,當且僅當=,即a=b=時取等號,故選D. 3.(2018·安徽安慶模擬)自圓C:(x-3)2+(y+4)2=4外一點P(x,y)引該圓的一條切線,切點為Q,PQ的長度等于點P到原點O的距離,則點P的軌跡方程為(  ) A.8x-6y-21=0 B.8x+6y-21=0 C.6x+8y-21=0 D.6x-8y-21=0 解析:選D 由題意得,圓心C的坐標為(3,-4),半徑r=2,如圖.因為|PQ|=|PO|,且PQ⊥C

8、Q,所以|PO|2+r2=|PC|2,所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2,即6x-8y-21=0,所以點P的軌跡方程為6x-8y-21=0,故選D. 4.已知A(0,3),B,P為圓C:x2+y2=2x上的任意一點,則△ABP面積的最大值為(  ) A. B. C.2 D. 解析:選A 化圓為標準方程得(x-1)2+y2=1,因為A(0,3),B,所以|AB|==3,直線AB的方程為x+y=3,所以圓心到直線AB的距離d==.又圓C的半徑為1,所以圓C上的點到直線AB的最大距離為+1,故△ABP面積的最大值為Smax=×(+1)×3=. 5.已知A,B是圓O:x2+y

9、2=16上的兩點,且|AB|=6,若以AB的長為直徑的圓M恰好經(jīng)過點C(1,-1),則圓心M的軌跡方程是________________. 解析:設(shè)圓心M坐標為(x,y),則(x-1)2+(y+1)2=2,即(x-1)2+(y+1)2=9. 答案:(x-1)2+(y+1)2=9 6.(2018·北京東城區(qū)調(diào)研)當方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圓的面積取最大值時,直線y=(k-1)x+2的傾斜角α=________. 解析:由題意知,圓的半徑r==≤1,當半徑r取最大值時,圓的面積最大,此時k=0,r=1,所以直線方程為y=-x+2,則有tan α=-1,又α∈[0,π),

10、故α=. 答案: 7.已知平面區(qū)域恰好被面積最小的圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其內(nèi)部所覆蓋,則圓C的方程為____________________. 解析:由題意知,此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0),P(4,0),Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,所以覆蓋它的面積最小的圓是其外接圓. ∵△OPQ為直角三角形, ∴圓心為斜邊PQ的中點(2,1),半徑r==, 因此圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5. 答案:(x-2)2+(y-1)2=5 [大題綜合練——遷移貫通] 1.已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A(-1,0)和B(3,4),線段AB的垂直平分線交圓P于點C

11、和D,且|CD|=4. (1)求直線CD的方程; (2)求圓P的方程. 解:(1)由題意知,直線AB的斜率k=1,中點坐標為(1,2).則直線CD的方程為y-2=-(x-1),即x+y-3=0. (2)設(shè)圓心P(a,b),則由點P在CD上得a+b-3=0.① 又∵直徑|CD|=4,∴|PA|=2, ∴(a+1)2+b2=40.② 由①②解得或 ∴圓心P(-3,6)或P(5,-2). ∴圓P的方程為(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40. 2.在平面直角坐標系xOy中,已知圓心在第二象限,半徑為2 的圓C與直線y=x相切于坐標原點O. (1)求圓

12、C的方程; (2)試探求C上是否存在異于原點的點Q,使Q到定點F(4,0) 的距離等于線段OF的長?若存在,請求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由. 解:(1)設(shè)圓C的圓心為C(a,b), 則圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=8. 因為直線y=x與圓C相切于原點O, 所以O(shè)點在圓C上,且OC垂直于直線y=x, 于是有解得或 由于點C(a,b)在第二象限,故a<0,b>0, 所以圓C的方程為(x+2)2+(y-2)2=8. (2)假設(shè)存在點Q符合要求,設(shè)Q(x,y), 則有解得x=或x=0(舍去). 所以存在點Q,使Q到定點F(4,0)的距離等于線段OF的長. 3.

13、已知圓C過點P(1,1),且與圓M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)關(guān)于直線x+y+2=0對稱. (1)求圓C的方程; (2)設(shè)Q為圓C上的一個動點,求·的最小值. 解:(1)設(shè)圓心C(a,b),由已知得M(-2,-2), 則解得則圓C的方程為x2+y2=r2,將點P的坐標代入得r2=2,故圓C的方程為x2+y2=2. (2)設(shè)Q(x,y),則x2+y2=2, ·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2) =x2+y2+x+y-4=x+y-2. 令x=cos θ,y=sin θ, 所以·=x+y-2=(sin θ+cos θ)-2 =2sin-2, 又min=-1, 所以·的最小值為-4.

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