(浙江專用)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 階段質(zhì)量檢測(三)專題一-三“綜合檢測”
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1、(浙江專用)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 階段質(zhì)量檢測(三)專題一-三“綜合檢測” 一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.(2018·浙江名校聯(lián)考)已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,且S2,S4,S8成等比數(shù)列,則( ) A.a(chǎn)2=1 B.{an}是單調(diào)數(shù)列 C.Sn≥an恒成立 D.?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 解析:選C 由a1=1及S2,S4,S8成等比數(shù)列,可得S=S2·S8?d2=2d?d=0或d=2.當(dāng)d=0時(shí),an=1,Sn=n,當(dāng)d=2時(shí),an=2n-1,Sn=n2,故
2、Sn≥an恒成立,選C. 2.(2018·杭州模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,且an+an+1=n+3,則a3+a4-a5=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:選C 由已知,an+1=n+3-an, ∴a3=2+3-a2=2, a4=3+3-a3=4,a5=4+3-a4=3, ∴a3+a4-a5=3,故選C. 3.已知a,b,c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊,若a2-c2=2b,sin B=4cos A·sin C,則b=( ) A. B. C.2 D.4 解析:選D 由題意得,sin B=sin(A+C)=sin
3、 Acos C+cos Asin C,所以sin Acos C+cos Asin C=4cos A·sin C,所以sin Acos C=3cos Asin C,由正弦定理和余弦定理得a·=3c·,化簡得a2-c2=b2,又a2-c2=2b,所以b2=2b,解得b=4或b=0(舍去),所以b=4,故選D. 4.(2018·浙江考前熱身聯(lián)考)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線和虛線畫出的是某空間幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為( ) A. B. C.2 D.4 解析:選B 構(gòu)造棱長為2的正方體如圖所示,由三視圖知該幾何體是圖中的四棱錐P-ABCD,其中B,D分別為棱
4、的中點(diǎn),則其體積V=××2=.故選B.
5.(2018·嘉興高三測試)由函數(shù)y=cos 2x的圖象變換得到函數(shù)y=cos的圖象,這個(gè)變換可以是( )
A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度
C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度
解析:選B 由于函數(shù)y=cos=cos 2,因此該函數(shù)的圖象是由函數(shù)y=cos 2x的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的,故選B.
6.(2018·浙江考前模擬)對于數(shù)列{an},“|an+1| 5、要條件
解析:選A 若|an+1| 6、中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的底層共有燈( )
A.186盞 B.189盞
C.192盞 D.96盞
解析:選C 設(shè)塔的底層共有燈x盞,則各層的燈數(shù)從下到上構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為x,公比為的等比數(shù)列,則=381,解得x=192.
8.(2018·浙江名校聯(lián)考信息卷)中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題:“今有中試舉人壹百名,第一名官給銀一百兩,自第二名以下挨次各減五錢,問:該銀若干?”其大意為:現(xiàn)有100名中試舉人,朝廷發(fā)銀子獎(jiǎng)勵(lì)他們,第1名發(fā)銀子100兩,自第2名起,依次比前1名少發(fā)5錢(每10錢為1兩),問:朝廷總共發(fā)了多少銀子?則朝廷發(fā)的銀子共有( )
A 7、.10 000兩 B.7 525兩
C.5 050兩 D.4 950兩
解析:選B 根據(jù)題意,記第n名中試舉人所得的銀子(單位:兩)為an(1≤n≤100,n∈N*),則數(shù)列{an}是首項(xiàng)為100,公差為-的等差數(shù)列,則其前100項(xiàng)和S100=100a1+×=100×100+50×99×=7 525,故朝廷總共發(fā)了7 525兩銀子.故選B.
9.(2018·浙江五校聯(lián)考)如圖,已知在平行四邊形ABCD中,E,M分別為DC的兩個(gè)三等分點(diǎn),F(xiàn),N分別為BC的兩個(gè)三等分點(diǎn),且·=25,·=43,則||2+||2=( )
A.45 B.60
C.90 D.180
解析 8、:選C 設(shè)=a,=b,依題意得=+=a+b,=+=a+b,=+=a+b,=+=a+b,
∵·=25,·=43,
∴
即
解得a2+b2=45,∴||2+||2=|a+b|2+|b-a|2=(a+b)2+(b-a)2=2(a2+b2)=90.故選C.
10.(2019屆高三·湖州聯(lián)考)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若不等式a+≥ma對任意等差數(shù)列{an}及任意正整數(shù)n都成立,則實(shí)數(shù)m的最大值為( )
A. B.
C. D.1
解析:選A a+=a+2=a+2,
令(n-1)d=t,
則a+=(a1+2t)2+(a1+t)2=2a+6ta1+5t2=52+a,
當(dāng)t= 9、時(shí),取到最小值.
即(n-1)d=,即n=+1,
∵不等式a+≥ma對任意等差數(shù)列{an}及任意正整數(shù)n都成立,
∴m≤,∴實(shí)數(shù)m的最大值為.故選A.
二、填空題(本大題共7小題,多空題每題6分,單空題每題4分,共36分)
11.(2018·邢臺摸底)若正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a2=,a6=,且=(n≥2,n∈N*),則log2a4=________.
解析:由=(n≥2,n∈N*)可得數(shù)列{an}是等比數(shù)列,所以a=a2a6=,又a4>0,則a4=,故log2a4=log2=-3.
答案:-3
12.(2018·紹興模擬)已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成公差為d1的等差數(shù)列,偶數(shù) 10、項(xiàng)依次構(gòu)成公差為d2的等差數(shù)列(其中d1,d2為整數(shù)),且對任意n∈N*,都有an 11、)d2<1+kd1,
取k=2時(shí),可得1+d1<2+d2<1+2d1.
∴d1=3=d2.
∴a8=a2+3d2=2+3×3=11.
答案:3 11
13.在△ABC中,AB=3,AC=2,A=60°,=m+,則||的最小值為________,又若⊥,則m=________.
解析:因?yàn)椋絤+,所以||2=m2||2+||2+2m·=9m2+4+2m||·||·cos 60°=9m2+6m+4=92+3.當(dāng)m=-時(shí),||2取得最小值為3,所以||的最小值為.在△ABC中,AB=3,AC=2,A=60°,所以|BC|2=4+9-2×2×3cos 60°=7,所以|BC|=,所以cos 12、 B==,cos C== .因?yàn)椤?,所以·?,所以(m+)·=0,所以m·+·=0,所以m||·||cos(π-B)+||·||cos C=0,所以-3mcos B+2cos C=0,所以m==××=.
答案:
14.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn和2的等比中項(xiàng)等于an和2的等差中項(xiàng),則a1=________,Sn=________.
解析:由題意知=,則Sn=. ①
由a1=S1得=,解得a1=2.
又由①式得Sn-1=(n≥2), ②
①-②可得an=Sn-Sn-1=-(n≥2),整理得(an+an-1)(an-an-1-4)=0.
13、
∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù),
∴an-an-1-4=0,即an-an-1=4.
故數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,
∴Sn=2n+×4=2n2.
答案:2 2n2
15.已知數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=a+an,[x]表示不超過x的最大整數(shù),則
(1)=________;
(2)=________.
解析:(1)由題意得a2=a+a1=,
所以+=+=,
所以=1.
(2)因?yàn)閍n+1=a+an,
所以==-,
即=-,
所以++…+
=-+-+…+-=-.
而an+1=a+an>an,
所以數(shù)列{an}單調(diào)遞增且各項(xiàng)均為正數(shù),
所以 14、++…+=-<=2.
又結(jié)合(1)可知++…+>1,
所以=1.
答案:(1)1 (2)1
16.(2018·紹興高三監(jiān)測考試)在數(shù)列{an}中,a1+++…+=2n-1(n∈N*),且a1=1,若存在n∈N*使得an≤n(n+1)λ成立,則實(shí)數(shù)λ的最小值為________.
解析:由題意知,a1++…+=2n-1,
則n≥2時(shí),有a1++…+=2n-1-1,
兩式作差得,=2n-2n-1=2n-1,
且=21-1=1,
所以=2n-1(n∈N*),
=,
令bn=,則bn>0,
==>=1,
所以bn+1>bn,數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列,數(shù)列{bn}的最小項(xiàng)是b1=, 15、
依題意得,存在n∈N*使得λ≥=bn成立,
即有λ≥b1=,λ的最小值是.
答案:
17.(2018·浙江名校聯(lián)考)如圖,已知正四面體D -ABC,P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外),則二面角D -PC-B的平面角的余弦值的取值范圍是________.
解析:當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),二面角D -PC-B的平面角逐漸增大,二面角D -PC-B的平面角最小趨近于二面角D -AC-B的平面角,最大趨近于二面角D -BC-A的平面角的補(bǔ)角.設(shè)正四面體的棱長為2,如圖所示,取AC的中點(diǎn)為E.連接DE,BE,易知∠DEB為二面角D-AC-B的平面角,DE=BE=,所以cos∠DEB==,同理二 16、面角D -BC-A的平面角的補(bǔ)角的余弦值為-,故二面角D-PC-B的平面角的余弦值的取值范圍是.
答案:
三、解答題(本大題共5小題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
18.(本小題滿分14分)(2018·杭州一中調(diào)考)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,且a1=2,S3=12.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=an+4n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
解:(1)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,a1=2,S3=12,
∴S3=3×2+d=12,解得d=2,
∴an=2+(n-1)×2=2n.
(2)∵bn=an+4 17、n=2n+4n,
∴Tn=2(1+2+3+…+n)+(4+42+43+…+4n)
=2×+
=n2+n+-.
19.(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,其中a=7,若銳角A滿足f=,且sin B+sin C=,求bc的值.
解:(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-=sin 2x+cos 2x=2sin,
因此f(x)的最小正周期為T==π.
由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ+≤x≤k 18、π+(k∈Z),
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z).
(2)由f=2sin=2sin A=,且A為銳角,所以A=.
由正弦定理可得2R===,
sin B+sin C==,
則b+c=×=13,
所以cos A===,
所以bc=40.
20.(本小題滿分15分)(2019·貴陽摸底)如圖,CD,AB分別是圓柱的上、下底面圓的直徑,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,E是底面圓周上不同于A,B兩點(diǎn)的一點(diǎn),AE=1.
(1)求證:BE⊥平面DAE;
(2)求二面角C-DB-E的余弦值.
解:(1)證明:由圓柱的性質(zhì)知,DA⊥平面ABE,
又BE?平面ABE,∴BE⊥D 19、A,
∵AB是底面圓的直徑,E是底面圓周上不同于A,B兩點(diǎn)的一點(diǎn),
∴BE⊥AE.
又DA∩AE=A,DA?平面DAE,AE?平面DAE,
∴BE⊥平面DAE.
(2)法一:如圖,過E作EF⊥AB,垂足為F,由圓柱的性質(zhì)知平面ABCD⊥平面ABE,
∴EF⊥平面ABCD.
過F作FH⊥DB,垂足為H,連接EH,
則∠EHF即所求的二面角的平面角的補(bǔ)角,
由AB=AD=2,AE=1,
得DE=,BE=,BD=2,
∴EF==,
由(1)知BE⊥DE,∴EH===,
∴sin∠EHF===,
∴cos∠EHF= =,
∴二面角C-DB-E的余弦值為-.
法二:過A在 20、平面AEB內(nèi)作垂直于AB的直線,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
∵AB=AD=2,AE=1,
∴BE=,∴E,
D(0,0,2),B(0,2,0),
∴=,=(0,-2,2).
設(shè)平面EBD的法向量為n=(x,y,z),
則即
取z=1,則n=(,1,1)為平面EBD的一個(gè)法向量.
易知平面CDB的一個(gè)法向量為m=(1,0,0),
∴cos〈m,n〉===,
由圖知,二面角C-DB-E為鈍角,
∴二面角C-DB-E的余弦值為-.
21.(本小題滿分15分)(2018·湖州、衢州、麗水聯(lián)考)數(shù)列{an}中,a1=,an+1=(n∈N*).
(1)求證:an+1 21、
(2)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn<1.
證明:(1)∵a-an+1=2+>0,
且a1=>0,∴an>0,
∴an+1-an=-an=<0.
∴an+1 22、Sn≥na1-(n-1),證明:Sn<2n+1.
解:(1)由a2>a1>0?a1+-1>a1>0,
解得0 23、n,
∴{an}是遞增數(shù)列,a1的取值范圍是(1,2).
(2)證明:∵a1>2,可用數(shù)學(xué)歸納法證明:an>2對?n∈N*都成立.
于是an+1-an=-1<0,即數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.
在Sn≥na1-(n-1)中,令n=2,可得2a1+-1=S2≥2a1-,解得a1≤3,
因此2
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