12、區(qū)間(,+∞)上單調(diào)遞增,而1≤a≤6,∴1≤≤.要使函數(shù)y=在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,則≤2,得1≤a≤4,∴P(1≤a≤4)==,故選C.
2.某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會,規(guī)定各班每10人推選一名代表,當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表.那么,各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系可用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))表示為( )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
解析:選B 法一:取特殊值法,若x=56,y=5,排除C、D,若x=57,y=6,排除A,故選B.
法二:設(shè)x=10m+n(0≤n≤9),當(dāng)0≤n≤6時(shí),==m=,
13、當(dāng)60,b>0,∴+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)取等號,∴--≤--2=-,∴--的上確界為-,故選A.
4.?dāng)?shù)學(xué)上稱函數(shù)y=kx+b(k,b∈R,k≠0)為線性函數(shù).對于非線性可導(dǎo)函數(shù)f(x),
在點(diǎn)x0附近一點(diǎn)x的函數(shù)值f(x),可以用如下方法求其近似代替值:f(x)≈f(x0)+f′(x0)
(x-x0).利用這
14、一方法,m=的近似代替值( )
A.大于m B.小于m
C.等于m D.與m的大小關(guān)系無法確定
解析:選A 依題意,取f(x)=,則f′(x)=,則有≈+(x-x0).
令x=4.001,x0=4,則有≈2+×0.001,注意到2=4+0.001+2>4.001,即m=的近似代替值大于m,故選A.
5.對于函數(shù)f(x)和g(x),設(shè)α∈{x|f(x)=0},β∈{x|g(x)=0},若存在α,β,使得|α-β|≤1,則稱f(x)與g(x)互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=ex-1+x-2與g(x)=x2-ax-a+3互為“零點(diǎn)相鄰函數(shù)”,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
15、A.[2,4] B.
C. D.[2,3]
解析:選D ∵f′(x)=ex-1+1>0,∴f(x)=ex-1+x-2是增函數(shù),又f(1)=0,∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x=1,∴α=1,∴|1-β|≤1,∴0≤β≤2,∴函數(shù)g(x)=x2-ax-a+3在區(qū)間[0,2]上有零點(diǎn),由g(x)=0得a=(0≤x≤2),即a==(x+1)+-2(0≤x≤2),設(shè)x+1=t(1≤t≤3),則a=t+-2(1≤t≤3),令h(t)=t+-2(1≤t≤3),易知h(t)在區(qū)間[1,2)上是減函數(shù),在區(qū)間(2,3]上是增函數(shù),∴2≤h(t)≤3,即2≤a≤3,故選D.
6.函數(shù)y=f(x)圖象上
16、不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)處的切線的斜率分別為kA,kB,規(guī)定K(A,B)=(|AB|為線段AB的長度)叫做曲線y=f(x)在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“近似曲率”.設(shè)曲線y=上兩點(diǎn)A,B(a>0且a≠1),若m·K(A,B)>1恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
解析:因?yàn)閥′=- ,所以kA=-,kB=-a2,
又|AB|= =,
所以K(A,B)==>,<,所以由m>得,m≥.
答案:
7.設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.
(1)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥0,求a的取值范圍.
解:(1)a=0時(shí),f(x)=ex
17、-1-x,f′(x)=ex-1.
當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)<0;
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0.
故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).
(2)當(dāng)x=0時(shí),f(x)=0,對任意實(shí)數(shù)a,均有f(x)≥0;
當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥0等價(jià)于a≤.
令g(x)=(x>0),
則g′(x)=,
令h(x)=xex-2ex+x+2(x>0),
則h′(x)=xex-ex+1,h″(x)=xex>0,
∴h′(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),h′(x)>h′(0)=0,
∴h(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),h(x)>h(0)=0,
∴g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).
由洛必達(dá)法則知, ===,故a≤.
綜上,a的取值范圍為.