(浙江專(zhuān)用)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 階段質(zhì)量檢測(cè)(四)專(zhuān)題一-四“綜合檢測(cè)”

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1、(浙江專(zhuān)用)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 階段質(zhì)量檢測(cè)(四)專(zhuān)題一-四“綜合檢測(cè)” 一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.橢圓+=1的焦距是(  ) A.2          B.4 C.2 D.20 解析:選A 由橢圓的方程+=1,知a2=8,b2=6,故c==,所以焦距2c=2.故選A. 2.已知角α為第三象限角,且tan α=,則sin α+cos α=(  ) A.- B.- C. D. 解析:選A 由題可得因?yàn)棣潦堑谌笙藿?,所以故sin α+cos α=-.選A. 3.某幾何體的三視

2、圖如圖所示,則該幾何體的體積是(  ) A. B.6 C. D.4 解析:選A 由三視圖可知,該幾何體的直觀圖如圖所示,所以該幾何體的體積V=23-××2×2×1=.故選A. 4.已知{an}是公差為d的等差數(shù)列,則“a1a80”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選B 因?yàn)閍1a8-a4a5=a1(a1+7d)-(a1+3d)(a1+4d)=-12d2≤0,所以a1a80”的必要不充分條件.所以選B. 5.已知雙曲線(xiàn)mx2+

3、ny2=1(mn<0)的離心率為,此雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)(x0,y0)滿(mǎn)足y>4x,則該雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為(  ) A.y=2x B.y=x C.y=x D.y=x 解析:選A 因?yàn)殡p曲線(xiàn)上的點(diǎn)(x0,y0)滿(mǎn)足y>4x,所以焦點(diǎn)在y軸上.設(shè)雙曲線(xiàn)方程為-=1(a>0,b>0),則e==,得=,所以漸近線(xiàn)方程為y=±2x. 6.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B在雙曲線(xiàn)C:-=1(a>0,b>0)上,且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng).若雙曲線(xiàn)C上與點(diǎn)A,B橫坐標(biāo)不相同的任意一點(diǎn)P滿(mǎn)足kPA·kPB=3,則雙曲線(xiàn)C的離心率為(  ) A.2 B.4 C. D.10 解析:選A 設(shè)A(x1

4、,y1),P(x0,y0)(|x0|≠|(zhì)x1|),則B(-x1,-y1),則kPA·kPB=·=.因?yàn)辄c(diǎn)P,A在雙曲線(xiàn)C上,所以b2x-a2y=a2b2,b2x-a2y=a2b2,兩式相減可得=,故=3,于是b2=3a2.又因?yàn)閏2=a2+b2,所以雙曲線(xiàn)C的離心率e= =2.故選A. 7.已知AD與BC是三棱錐A-BCD中相互垂直的棱,若AD=BC=6,且∠ABD= ∠ACD=60°,則三棱錐A-BCD的體積的最大值是(  ) A.36 B.36 C.18 D.18 解析:選D 如圖,過(guò)C作CF⊥AD,垂足為F,連接BF, ∵BC⊥AD,CF⊥AD,BC∩CF=C,BC?

5、平面BCF,CF?平面BCF, ∴AD⊥平面BCF, ∴V三棱錐A-BCD =V三棱錐A-BCF+V三棱錐D-BCF =S△BCF·AF+S△BCF·FD =S△BCF·(AF+FD)=S△BCF·AD. ∵AD=BC=6,∴V三棱錐A-BCD=2S△BCF, ∴當(dāng)△BCF的面積最大時(shí),V三棱錐A-BCD取得最大值, 易知當(dāng)△BCF為等腰三角形時(shí),S△BCF取得最大值,即V三棱錐A-BCD取得最大值. 取BC的中點(diǎn)E,連接EF,當(dāng)△BCF為等腰三角形時(shí),EF⊥BC, ∴2S△BCF=2××BC×EF=6EF, 又∵EF==, ∴當(dāng)CF最長(zhǎng)時(shí),V三棱錐A-BCD最大,

6、∵∠ACD=60°,AD=6,AD⊥CF, ∴當(dāng)AC=CD時(shí),CF取得最大值, 此時(shí)CF=3,∴EF=3,∴6EF=18. ∴三棱錐A-BCD體積的最大值為18.故選D. 8.已知F1,F(xiàn)2是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過(guò)F2且垂直于x軸的直線(xiàn)與橢圓交于A,B兩點(diǎn),若△ABF1是銳角三角形,則該橢圓離心率e的取值范圍是(  ) A.(-1,+∞) B.(0,-1) C.(-1,1) D.(-1,+1) 解析:選C 由題意可知,A,B的橫坐標(biāo)均為c,且A,B都在橢圓上,所以+=1, 從而可得y=±,不妨令A(yù),B. 由△ABF1是銳角三角形知∠AF1F2<45°

7、, 所以tan ∠AF1F2<1, 所以tan∠AF1F2==<1,故<1,即e2+2e-1>0,解得e>-1或e<--1,又因?yàn)闄E圓中,0

8、017)+(a2+a4+…+a2 018)=+=3×21 009-3. 10.已知直線(xiàn)ax+by=1(其中a,b是實(shí)數(shù))與圓x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),且△AOB是直角三角形,則點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)M(0,1)之間的距離的最大值為(  ) A.+1 B.2 C. D.-1 解析:選A 直線(xiàn)ax+by=1(其中a,b是實(shí)數(shù))與圓x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則依題意可知,△AOB是等腰直角三角形,坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線(xiàn)ax+by=1的距離d==,即2a2+b2=2,∴a2=(-≤b≤),則|PM|== =,∴當(dāng)b=-時(shí),|PM|max==+1. 二、填空題(本大題共

9、7小題,多空題每題6分,單空題每題4分,共36分) 11.已知拋物線(xiàn)y2=2px過(guò)點(diǎn)A(1,2),則p=________,準(zhǔn)線(xiàn)方程是________. 解析:由題可得,4=2p,解得p=2,所以準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-=-1. 答案:2 x=-1 12.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若滿(mǎn)足2bcos Acos C=c-2acos Bcos C,則角C=________,sin A+sin B的最大值是________. 解析:由已知得2bcos Acos C+2acos Bcos C=c, 由正弦定理得2cos C(sin Bcos A+sin Acos B)=si

10、n C, 即2cos Csin(A+B)=sin C, ∵A+B+C=π,A,B,C∈(0,π), ∴sin(A+B)=sin C>0, ∴2cos C=1,cos C=,∴C=. ∴sin A+sin B=sin A+sin(A+C)=sin A+sin A+cos A=sin, ∵C=,∴0

11、為_(kāi)_______. 解析:設(shè)點(diǎn)A′(x0,y0), ∵點(diǎn)A與A′關(guān)于直線(xiàn)x+y-5=0對(duì)稱(chēng), ∴解得 ∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(-1,3). 設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2, 則(2-a)2+(6-b)2=r2. ① ∵點(diǎn)A(2,6)關(guān)于直線(xiàn)x+y-5=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′(-1,3)在圓C上, ∴圓心(a,b)在直線(xiàn)x+y-5=0上,∴a+b-5=0, ② 又直線(xiàn)3x+4y-8=0被圓截得的弦長(zhǎng)為2, ∴r2=()2+. ③ 解由方程①②③組成的方程組,得a=2,b=3或a=-,b=, ∴圓C的圓心坐標(biāo)為(2,3)或. 答案:(-1,

12、3) (2,3)或 14.已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)和動(dòng)直線(xiàn)l:y=kx+b(k,b是參變量,且k≠0,b≠0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為O,記直線(xiàn)OA,OB的斜率分別為kOA,kOB,且kOA·kOB=恒成立,則當(dāng)k變化時(shí),直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為_(kāi)_______. 解析:聯(lián)立消去y,得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0, ∴x1+x2=,x1x2=, ∵kOA·kOB=,∴y1y2=x1x2, 又∵y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=, ∴=·,解得b=, ∴y=kx+=k. 令x

13、=-,得y=0, ∴直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn). 答案: 15.向量a與b的夾角為90°,|a|=|b|=1,若|c-a|+|c-2b|=,則|c+2a|的最大值為_(kāi)_______,最小值為_(kāi)_______. 解析:因?yàn)閨c-a|+|c-2b|=,且 =,a⊥b,所以向量c的終點(diǎn)在a和2b的終點(diǎn)的連線(xiàn)上(如圖),故|c+2a|的取值范圍為|SK―→|的長(zhǎng)度變化.當(dāng)SK⊥FG時(shí),長(zhǎng)度最短,連接SG,由SF·OG=FG·SK,得SK==.又SF=3,SG=2,所以當(dāng)a=c時(shí),SK最長(zhǎng),為3. 答案:3  16.已知F為拋物線(xiàn)y2=x的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在該拋物線(xiàn)上,且位于x軸的兩側(cè),·=2(其中O為坐標(biāo)

14、原點(diǎn)),則△AFO與△BFO面積之和的最小值是________. 解析:法一:設(shè)直線(xiàn)lAB:x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2), 聯(lián)立?y2-my-t=0, ∴y1+y2=m,y1y2=-t, ∵點(diǎn)A,B位于x軸兩側(cè), ∴y1y2=-t<0,∴t>0. 又·=x1x2+y1y2=(y1y2)2+y1y2=t2-t=2, 解得t=2或t=-1(舍去). ∴S△AFO+S△BFO=|OF|·|y1-y2|=|y1-y2|=≥, ∴△AFO與△BFO面積之和的最小值為. 法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). ∵·=x1x2+y1y2=(y1y2)2+y1y

15、2=2, ∴y1y2=-2或y1y2=1(舍去). ∴S△AFO+S△BFO=|y1-y2|== ≥=. 答案: 17.已知雙曲線(xiàn)C1:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,拋物線(xiàn)C2:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)C1的一個(gè)焦點(diǎn)重合,C1與C2在第一象限相交于點(diǎn)P,且|F1F2|=|PF1|,則雙曲線(xiàn)C1的離心率為_(kāi)_______. 解析:由題意可知,F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0).設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C2:y2=2px(p>0)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足為A,連接PF2.根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義和|F1F2|=|PF1|=2c,可知|PF2|=2c-2a.由

16、拋物線(xiàn)的定義可知|PF2|=|PA|=x0+c=2c-2a,則x0=c-2a.由題意可知=c,又點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C2上,所以y=2px0=4c·(c-2a),在Rt△F1AP中,|F1A|2=|PF1|2-|PA|2=(2c)2-(2c-2a)2=8ac-4a2, 即y=8ac-4a2,所以8ac-4a2=4c(c-2a),化簡(jiǎn)可得c2-4ac+a2=0,即e2-4e+1=0,又e>1,所以e=2+. 答案:2+ 三、解答題(本大題共5小題,共74分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 18.(本小題滿(mǎn)分14分)已知函數(shù)f(x)=2cos2-cos+m(ω>0)的最小正周期為π. (

17、1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)當(dāng)x∈時(shí),函數(shù)f(x)的最大值為2,求f的值. 解:(1)f(x)=2cos2-cos+m =1+cos-cos 2ωxcos-sin 2ωxsin+m =1+sin 2ωx-cos 2ωx-sin 2ωx+m =sin 2ωx-cos 2ωx+m+1 =sin+m+1. ∵函數(shù)f(x)的最小正周期為π, ∴T==π,∴ω=1, ∴f(x)=sin+m+1. 令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. (2)由(1)知,f(x)在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,

18、 ∴f(x)max=f=1+m+1=2, 解得m=0. ∴f(x)=sin+1, ∴f=sin+1 =sincos-cossin+1 =. 19.(本小題滿(mǎn)分15分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8,T為橢圓上任意一點(diǎn),直線(xiàn)TA,TB的斜率之積為-. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M(0,2)的動(dòng)直線(xiàn)與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),求·+·的取值范圍. 解:(1)設(shè)T(x,y),由題意知A(-4,0),B(4,0), 設(shè)直線(xiàn)TA的斜率為k1,直線(xiàn)TB的斜率為k2,則k1=,k2=. 由k1k2=-,得·=-, 整理得+=

19、1. 故橢圓C的方程為+=1. (2)當(dāng)直線(xiàn)PQ的斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為y=kx+2,點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為 (x1,y1),(x2,y2),直線(xiàn)PQ與橢圓方程聯(lián)立, 得消去y,得(4k2+3)x2+16kx-32=0. 所以x1+x2=-,x1x2=-. 從而,·+·=x1x2+y1y2+[x1x2+(y1-2)(y2-2)]=2(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4==-20+. 所以-20<·+·≤-. 當(dāng)直線(xiàn)PQ的斜率不存在時(shí),·+·的值為-20. 綜上,·+·的取值范圍為. 20.(本小題滿(mǎn)分15分)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=4,a2=7

20、,且當(dāng)n≥3時(shí),Sn+Sn-2=2Sn-1+3,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,b1+b2=8(b4+b5),a5·b4=1. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式; (2)證明:數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn<7. 解:(1)由已知可得當(dāng)n≥3時(shí),Sn-Sn-1=(Sn-1-Sn-2)+3, 即an=an-1+3, 又a2=a1+3, 所以數(shù)列{an}是以a1=4為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列, 所以an=4+3(n-1)=3n+1. 設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q, 則由已知可得=, 即q3=,解得q=. 又a5=3×5+1=16, 所以b4==, 故bn=b4qn-4=×

21、n-4=. (2)證明:由(1)知anbn=. 所以Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=+++…++, ① Tn=+++…++, ② ①-②得 Tn=+++…++- =2+- =2+- =-, 所以Tn=7-. 因?yàn)?0,所以Tn<7. 21.(本小題滿(mǎn)分15分)已知?jiǎng)訄AC過(guò)定點(diǎn)F2(1,0),并且內(nèi)切于定圓F1:(x+1)2+y2=16. (1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程; (2)若y2=4x上存在兩個(gè)點(diǎn)M,N,(1)中曲線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)P,Q,并且M,N,F(xiàn)2三點(diǎn)共線(xiàn),P,Q,F(xiàn)2三點(diǎn)共線(xiàn),PQ⊥MN,求四邊形PMQN

22、的面積的最小值. 解:(1)設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,則|CF2|=r,|CF1|=4-r,∴|CF1|+|CF2|=4>|F1F2|, 由橢圓的定義知?jiǎng)訄A圓心C的軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓,a=2,c=1, ∴b=,故動(dòng)圓圓心C的軌跡方程是+=1. (2)當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率不存在時(shí),直線(xiàn)PQ的斜率為0,易得|MN|=4,|PQ|=4,四邊形PMQN的面積S=8. 當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=k(x-1)(k≠0),聯(lián)立消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則 ∴|MN|=·=+4. ∵PQ⊥MN,∴直線(xiàn)PQ的方程為y=-(

23、x-1), 聯(lián)立消去y, 得(3k2+4)x2-8x+4-12k2=0. 設(shè)P(x3,y3),Q(x4,y4),則 ∴|PQ|= ·=. ∴四邊形PMQN的面積S=|MN|·|PQ|=··=24×. 令k2+1=t,t>1,上式S=24·=24, 令2t+1=z(z>3), 則S=8=8=8. ∵z+>(z>3),∴3-10>0,∴S>8. 綜上可得,S≥8,即四邊形PMQN的面積的最小值為8. 22.(本小題滿(mǎn)分15分)已知橢圓+=1(a>b>0)與拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的公共焦點(diǎn)為F2,拋物線(xiàn)上的點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離等于|MF2|-1,且橢圓與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)Q滿(mǎn)足|Q

24、F2|=. (1)求拋物線(xiàn)的方程和橢圓的方程; (2)過(guò)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)y=kx+m,交橢圓于A,B兩點(diǎn),求此切線(xiàn)在x軸上的截距的取值范圍. 解:(1)∵拋物線(xiàn)上的點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離等于|MF2|-1, ∴點(diǎn)M到直線(xiàn)x=-1的距離等于點(diǎn)M到焦點(diǎn)F2的距離, ∴直線(xiàn)x=-1是拋物線(xiàn)y2=2px的準(zhǔn)線(xiàn),即-=-1,解得p=2, ∴拋物線(xiàn)的方程為y2=4x. 可知橢圓的右焦點(diǎn)F2(1,0), 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1,則F1(-1,0), 由拋物線(xiàn)的定義及|QF2|=,得xQ+1=, ∴xQ=, 又∵y=4xQ,∴Q, 由橢圓的定義得2a=|QF1|+|QF2|=+=6

25、, ∴a=3,又∵c=1,∴b2=a2-c2=8, ∴橢圓的方程為+=1. (2)顯然k≠0,m≠0, 由消去x,得ky2-4y+4m=0, 由題意知Δ1=16-16km=0,得km=1, ∵k≠0,m≠0,∴k=. 由消去y,得(9k2+8)x2+18kmx+9m2-72=0, 由題意知Δ2=(18km)2-4(9k2+8)(9m2-72)>0, 即9k2-m2+8>0, 又∵k=,∴m4-8m2-9<0,∴0

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