(浙江專(zhuān)用)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)(十八)小題考法——函數(shù)的概念與性質(zhì)
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1、(浙江專(zhuān)用)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)(十八)小題考法——函數(shù)的概念與性質(zhì) 一、選擇題 1.(2019屆高三·杭州四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=則f(f(4))的值為( ) A.- B.-9 C. D.9 解析:選C 因?yàn)閒(x)=所以f(f(4))=f(-2)=. 2.已知函數(shù)f(x)=則下列結(jié)論正確的是( ) A.函數(shù)f(x)是偶函數(shù) B.函數(shù)f(x)是減函數(shù) C.函數(shù)f(x)是周期函數(shù) D.函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-1,+∞) 解析:選D 由函數(shù)f(x)的解析式,知f(1)=2,f(-1)=cos(-1)=cos 1,f(1)≠f(-
2、1),則f(x)不是偶函數(shù).當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2+1,則f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),且函數(shù)值f(x)>1;當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=cos x,則f(x)在區(qū)間(-∞,0]上不是單調(diào)函數(shù),且函數(shù)值f(x) ∈[-1,1].所以函數(shù)f(x)不是單調(diào)函數(shù),也不是周期函數(shù),其值域?yàn)閇-1,+∞).故選D. 3.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)y=-x4+x2+2的圖象大致為( ) 解析:選D 法一:令f(x)=-x4+x2+2, 則f′(x)=-4x3+2x, 令f′(x)=0,得x=0或x=±, 則f′(x)>0的解集為∪, f(x)單調(diào)遞增;f′(x)<0的解集為∪,f(
3、x)單調(diào)遞減,結(jié)合圖象知選D. 法二:當(dāng)x=1時(shí),y=2,所以排除A、B選項(xiàng).當(dāng)x=0時(shí),y=2,而當(dāng)x=時(shí),y=-++2=2>2,所以排除C選項(xiàng).故選D. 4.已知函數(shù)f(x-1)是定義在R上的奇函數(shù),且在[0,+∞)上是增函數(shù),則函數(shù)f(x)的圖象可能是( ) 解析:選B 函數(shù)f(x-1)的圖象向左平移1個(gè)單位,即可得到函數(shù)f(x)的圖象.因?yàn)楹瘮?shù)f(x-1)是定義在R上的奇函數(shù),所以函數(shù)f(x-1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱(chēng),排除A、C、D,故選B. 5.(2019屆高三·鎮(zhèn)海中學(xué)測(cè)試)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x
4、)=log2(x+2)-3x+a(a∈R),則f(-2)=( ) A.-1 B.-5 C.1 D.5 解析:選D 因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù), 所以f(0)=1+a=0,即a=-1. 故f(x)=log2(x+2)-3x-1(x≥0), 所以f(-2)=-f(2)=5.故選D. 6.(2018·諸暨高三期末)已知f(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù),且f(x)為奇函數(shù),g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng),則下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是( ) A.y=g(f(x)+1)為偶函數(shù) B.y=g(f(x))為奇函數(shù) C.函數(shù)y=f(g(x))的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)
5、D.y=f(g(x+1))為偶函數(shù) 解析:選B 由題可知 選項(xiàng)A,g(f(-x)+1)=g(-f(x)+1)=g(1+f(x)), 所以y=g(f(x)+1)為偶函數(shù),正確; 選項(xiàng)B,g(f(-x))=g(-f(x))=g(2+f(x)), 所以y=g(f(x))不一定為奇函數(shù),錯(cuò)誤; 選項(xiàng)C,f(g(-x))=f(g(2+x)),所以y=f(g(x))的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng),正確; 選項(xiàng)D,f(g(-x+1))=f(g(x+1)),所以y=f(g(x+1))為偶函數(shù),正確. 綜上,故選B. 7.函數(shù)y=+在[-2,2]上的圖象大致為( ) 解析:選B 當(dāng)x∈(0,
6、2]時(shí),函數(shù)y==,x2>0恒成立,令g(x)=ln x+1,則g(x)在(0,2]上單調(diào)遞增,當(dāng)x=時(shí),y=0,則當(dāng)x∈時(shí),y=<0,x∈時(shí),y=>0,∴函數(shù)y=在(0,2]上只有一個(gè)零點(diǎn),排除A、C、D,只有選項(xiàng)B符合題意. 8.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ) A.-50 B.0 C.2 D.50 解析:選C 法一:∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x), ∴f(1-x)=-f(x-1). 由f(1-x)=f(1+x),得-
7、f(x-1)=f(x+1), ∴f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù). 由f(x)為奇函數(shù)得f(0)=0. 又∵f(1-x)=f(1+x), ∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng), ∴f(2)=f(0)=0,∴f(-2)=0. 又f(1)=2,∴f(-1)=-2, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50) =0×12+f(49)+f(50) =f(1)+f(2)=2+0=
8、2. 法二:由題意可設(shè)f(x)=2sin,作出f(x)的部分圖象如圖所示.由圖可知,f(x)的一個(gè)周期為4,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2. 9.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>b>c)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m1,f(m1))和點(diǎn)B(m2,f(m2)),f(1)=0.若a2+[f(m1)+f(m2)]a+f(m1)·f(m2)=0,則( ) A.b≥0 B.b<0 C.3a+c≤0 D.3a-c<0 解析:選A ∵函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>b
9、>c), 滿足f(1)=0,∴a+b+c=0. 若a≤0,∵a>b>c,∴b<0,c<0, 則有a+b+c<0,這與a+b+c=0矛盾,∴a>0成立. 若c≥0,則有b>0,a>0, 此時(shí)a+b+c>0,這與a+b+c=0矛盾, ∴c<0成立. ∵a2+[f(m1)+f(m2)]·a+f(m1)·f(m2)=0, ∴[a+f(m1)]·[a+f(m2)]=0, ∴m1,m2是方程f(x)=-a的兩根, ∴Δ=b2-4a(a+c)=b(b+4a)=b(3a-c)≥0, 而a>0,c<0, ∴3a-c>0,∴b≥0.故選A. 10.已知函數(shù)f(x)=若f(x)的值域?yàn)镽,
10、則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A.(1,2] B.(-∞,2] C.(0,2] D.[2,+∞) 解析:選A 依題意,當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=1+log2x單調(diào)遞增,f(x)=1+log2x在區(qū)間[1,+∞)上的值域是[1,+∞).因此,要使函數(shù)f(x)的值域是R,則需函數(shù)f(x)在(-∞,1)上的值域M?(-∞,1).①當(dāng)a-1<0,即a<1時(shí),函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,函數(shù)f(x)在(-∞,1)上的值域M=(-a+3,+∞),顯然此時(shí)不能滿足M?(-∞,1),因此a<1不滿足題意;②當(dāng)a-1=0,即a=1時(shí),函數(shù)f(x)在(-∞,1)上的值域M={2},此時(shí)不能滿足
11、M?(-∞,1),因此a=1不滿足題意;③當(dāng)a-1>0,即a>1時(shí),函數(shù)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,函數(shù)f(x)在(-∞,1)上的值域M=(-∞,-a+3),由M?(-∞,1)得解得1時(shí),f =f ,則f(0)=________,f(6)=________. 解析:函數(shù)f(x)在[-1,1]上為奇函數(shù),故f(0)=0, 又由題意知當(dāng)x>時(shí),f =f , 則f(x+1)=f(x).
12、又當(dāng)-1≤x≤1時(shí),f(-x)=-f(x), ∴f(6)=f(1)=-f(-1). 又當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x3-1, ∴f(-1)=-2,∴f(6)=2. 答案:0 2 12.(2018·臺(tái)州第一次調(diào)考)若函數(shù)f(x)=a-(a∈R)是奇函數(shù),則a=________,函數(shù)f(x)的值域?yàn)開(kāi)___________. 解析:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞), ∵f(x)是奇函數(shù), ∴f(-x)=-f(x)恒成立, ∴a-=-恒成立, ∴a=+=+==-1. ∴f(x)=-1-,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),2x>1, ∴2x-1>0,∴>0,∴f(x)<-1;
13、當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),0<2x<1,
∴-1<2x-1<0,∴<-1,
∴->2,∴f(x)>1,
故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:-1 (-∞,-1)∪(1,+∞)
13.(2018·紹興柯橋區(qū)模擬)已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,f(2)=0,若f(x-2)>0,則x的取值范圍是________.
解析:∵偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,
且f(2)=0,
∴f(2)=f(-2)=0,
則不等式f(x-2)>0,等價(jià)為f(|x-2|)>f(2),
∴|x-2|<2,
即-2 14、圍是(0,4).
答案:(0,4)
14.已知函數(shù)f(x)=e|x|,函數(shù)g(x)=對(duì)任意的x∈[1,m](m>1),都有f(x-2)≤g(x),則m的取值范圍是________.
解析:作出函數(shù)y1=e|x-2|和y=g(x)的圖象,如圖所示,由圖可知當(dāng)x=1時(shí),y1=g(1),又當(dāng)x=4時(shí),y1=e2 15、=b★a;(2)a★0=a;(3)(a★b)★c=c★(ab)+(a★c)+(c★b)-2c.
關(guān)于函數(shù)f(x)=x★,有如下說(shuō)法:
①函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的最小值為3;
②函數(shù)f(x)為偶函數(shù);
③函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
④函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞);
⑤函數(shù)f(x)不是周期函數(shù).
其中正確說(shuō)法的序號(hào)為_(kāi)_______.
解析:對(duì)于新運(yùn)算“★”的性質(zhì)(3),令c=0,則(a★b)★0=0★(ab)+(a★0)+(0★b)=ab+a+b,即a★b=ab+a+b.∴f(x)=x★=1+x+,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=1+x+≥1+2 =3,當(dāng)且僅 16、當(dāng)x=,即x=1時(shí)取等號(hào),∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上的最小值為3,故①正確;函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),∵f(1)=1+1+1=3,f(-1)=1-1-1=-1,∴f(-1)≠-f(1)且f(-1)≠f(1),∴函數(shù)f(x)為非奇非偶函數(shù),故②③錯(cuò)誤;根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,知函數(shù)f(x)=1+x+的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞),故④正確;由④知,函數(shù)f(x)=1+x+不是周期函數(shù),故⑤正確.綜上所述,所有正確說(shuō)法的序號(hào)為①④⑤.
答案:①④⑤
16.(2018·鎮(zhèn)海中學(xué)階段性測(cè)試)已知函數(shù)f(x)=ln-2,g(x)和f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),將函數(shù)g 17、(x)的圖象向右平移a(a>0)個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移b(b>0)個(gè)單位長(zhǎng)度,若對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,平移后g(x)和f(x)的圖象最多只有一個(gè)交點(diǎn),則b的最小值為_(kāi)_______.
解析:由f(x)=ln-2,知x>0,f(x)≥ln e-2=-1,∴f(x)min=-1,此時(shí)x=.
在同一直角坐標(biāo)系中,作出f(x),g(x)的圖象(圖略),若對(duì)于任意的a,平移后g(x)和f(x)的圖象最多只有一個(gè)交點(diǎn),則平移后g(x)的圖象的最高點(diǎn)不能在f(x)圖象的最低點(diǎn)的上方,則1-b≤-1,則b的最小值為2.
答案:2
17.(2017·山東高考)若函數(shù)exf(x)(e=2.718 28…是自然對(duì) 18、數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱(chēng)函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為_(kāi)_______.
①f(x)=2-x;②f(x)=3-x;③f(x)=x3;
④f(x)=x2+2.
解析:設(shè)g(x)=exf(x),對(duì)于①,g(x)=ex·2-x,
則g′(x)=(ex·2-x)′=ex·2-x(1-ln 2)>0,
所以函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),故①符合要求;
對(duì)于②,g(x)=ex·3-x,
則g′(x)=(ex·3-x)′=ex·3-x(1-ln 3)<0,
所以函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù),故②不符合要求;
對(duì)于③,g 19、(x)=ex·x3,
則g′(x)=(ex·x3)′=ex·(x3+3x2),
顯然函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上不單調(diào),故③不符合要求;
對(duì)于④,g(x)=ex·(x2+2),
則g′(x)=[ex·(x2+2)]′=ex·(x2+2x+2)=ex·[(x+1)2+1]>0,
所以函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),故④符合要求.
綜上,具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為①④.
答案:①④
B組——能力小題保分練
1.(2019屆高三·浙江新高考名校聯(lián)考)函數(shù)f(x)=ln |x|+x2的大致圖象是( )
解析:選A 因?yàn)閒(-x)=ln |-x|+(-x)2=ln |x 20、|+x2=f(x),所以f(x)是偶函數(shù),于是其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),排除D;當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ln x+x2,f′(x)=+x≥2,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,排除B;當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)>2,且f′(x)是減函數(shù),當(dāng)x>1時(shí),f′(x)>2,且f′(x)是增函數(shù),因此,當(dāng)x趨近于0或x趨近于+∞時(shí),曲線較陡,因此排除C.故選A.
2.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則( )
A.f(-25) 21、
D.f(-25) 22、的解析式可能是( )
A.f(x)=x2-2ln |x|
B.f(x)=x2-ln |x|
C.f(x)=|x|-2ln |x|
D.f(x)=|x|-ln |x|
解析:選B 由圖象知,函數(shù)f(x)是偶函數(shù),四個(gè)選項(xiàng)都是偶函數(shù),故只需考慮x>0時(shí)的圖象即可.對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-2ln x,所以f′(x)=2x-=,因此f(x)在x=1處取得極小值,故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2-ln x,所以f′(x)=2x-=,因此f(x)在x=處取得極小值,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x-2ln x,所以f′(x)=1-=,因此f(x)在 23、x=2處取得極小值,故C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x-ln x,所以f′(x)=1-=,因此f(x)在x=1處取得極小值,故D錯(cuò)誤.故選B.
4.定義:F(x)=max{f(t)|-1≤t≤x≤1},G(x)=min{f(t)|-1≤t≤x≤1},其中max{m,n}表示m,n中的較大者,min{m,n}表示m,n中的較小者.已知函數(shù)f(x)=2ax2+bx,則下列說(shuō)法一定正確的是( )
A.若F(-1)=F(1),則f(-1)>f(1)
B.若G(1)=F(-1),則F(-1) 24、,則f(-1)>f(1)
解析:選B 依據(jù)題意,由≤4可得f(x)=2ax2+bx的圖象的對(duì)稱(chēng)軸x=-∈[-1,1],由F(-1)=F(1)知f(-1)=F(1),F(xiàn)(1)為f(t)在t∈[-1,1]上的最大值,無(wú)法排除f(-1)=f(1)的可能,所以A錯(cuò)誤;由G(1)=F(-1)=f(-1)知,f(t)在t∈[-1,1]上的最小值為f(-1),所以F(-1)=f(-1) 25、(-1)=f(1)的可能,所以D錯(cuò)誤.
5.(2018·杭州模擬)設(shè)集合A={x|x2-|x+a|+2a<0,a∈R},B={x|x<2}.若A≠?且A?B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
解析:由題意知x2-|x+a|+2a<0?x2<|x+a|-2a,其解集A≠?時(shí),可設(shè)A={m<x<n}.
首先,若n=2時(shí),則|2+a|-2a=4,
解得a=-2,滿足A?B.
由函數(shù)y=|x+a|-2a的圖象可知,當(dāng)a<-2時(shí),n>2,不滿足A?B,不合題意,即可知a≥-2;考慮函數(shù)y=|x+a|-2a的右支與y=x2相切時(shí),則x+a-2a=x2,即x2-x+a=0,解得a=.
又當(dāng) 26、a≥時(shí),A=?,即可知a<.
綜上可知:-2≤a<.
或考慮函數(shù)y=|x+a|和函數(shù)y=x2+2a進(jìn)行數(shù)形結(jié)合.
答案:
6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)定點(diǎn)A(a,a),P是函數(shù)y=(x>0)圖象上一動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)P,A之間的最短距離為2,則滿足條件的實(shí)數(shù)a的所有值為_(kāi)_______.
解析:設(shè)P ,則|PA|2=(x-a)2+2=2-2a+2a2-2,
令t=x+,則t≥2(x>0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”),則|PA|2=t2-2at+2a2-2.
①當(dāng)a≤2時(shí),(|PA|2)min=22-2a×2+2a2-2=2a2-4a+2,
由題意知,2a2-4a+2=8,
解得a=-1或a=3(舍去).
②當(dāng)a>2時(shí),(|PA|2)min=a2-2a×a+2a2-2=a2-2.
由題意知,a2-2=8,解得a=或a=-(舍去),
綜上知,a=-1,.
答案:-1,
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