2022年高考數(shù)學專題復習 第6講 函數(shù)的奇偶性與周期性練習 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學專題復習 第6講 函數(shù)的奇偶性與周期性練習 新人教A版 [考情展望]　1.考查函數(shù)奇偶性的判斷.2.利用函數(shù)的奇偶性、周期性求函數(shù)值.3.與函數(shù)的對稱性相結合，綜合考查知識的靈活應用能力． 一、奇(偶)函數(shù)的定義及圖象特征 1．奇、偶函數(shù)的定義 對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x. (1)f(x)為偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)； (2)f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)． 2．奇、偶函數(shù)的圖象特征 奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱． 1．奇、偶函數(shù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性 奇函數(shù)在關于原點對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)

2、在關于原點對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調(diào)性． 2．奇函數(shù)圖象與原點的關系： 如果奇函數(shù)f(x)在原點有定義，則f(0)＝0. 二、周期性 1．周期函數(shù)：T為函數(shù)f(x)的一個周期，則需滿足的條件： ①T≠0； ②f(x＋T)＝f(x)對定義域內(nèi)的任意x都成立． 2．最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做它的最小正周期． 周期性常用的結論 對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a； (2)若f(x＋a)＝，則T＝2a； (3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a. (4)若對于R上

3、的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，則：y＝f(x)是以2(b－a)為周期的周期函數(shù)． (5)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期為T＝2|a－b|. 1．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是(　　) A．－　　 　B.　　 　C.　　 　D．－ 【解析】　依題意b＝0，且2a＝－(a－1)， ∴b＝0且a＝， 則a＋b＝. 【答案】　B 2．下列函數(shù)為偶函數(shù)的是(　　) A．y＝sin x B．y＝x3 C．y＝ex D．y＝ln

4、 【解析】　由函數(shù)奇偶性的定義知A、B項為奇函數(shù)，C項為非奇非偶函數(shù)，D項為偶函數(shù)． 【答案】　D 3．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x＋4)＝f(x)，則f(8)的值為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 【解析】　∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)． ∴f(8)＝f(0)． 又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴f(8)＝f(0)＝0，故選B. 【答案】　B 4．若函數(shù)y＝(x＋1)(x－a)為偶函數(shù)，則a＝________. 【解析】　因為y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a 由題意可知1－a＝0，即a

5、＝1. 【答案】　1 5．(xx·山東高考)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當x＞0時，f(x)＝x2＋，則f(－1)＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－2 【解析】　利用奇函數(shù)的性質(zhì)f(－x)＝－f(x)求解． 當x＞0時，f(x)＝x2＋，∴f(1)＝12＋＝2. ∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝－2. 【答案】　D 6．(xx·北京高考)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是(　　) A．y＝ B．y＝e－x C．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x| 【解析】　A項，y＝是奇函數(shù)，故不正確； B項，y＝e－x為非奇

6、非偶函數(shù)，故不正確； C，D兩項中的兩個函數(shù)都是偶函數(shù)，且y＝－x2＋1在(0，＋∞)上是減函數(shù)，y＝lg|x|在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故選C. 【答案】　C 考向一 [016]　函數(shù)奇偶性的判斷 　判斷下列各函數(shù)的奇偶性： (1) f(x)＝(x＋1) ； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝. 【思路點撥】　先求定義域，看定義域是否關于原點對稱，在定義域下，帶絕對值符號的要盡量去掉，分段函數(shù)要分情況判斷． 【嘗試解答】　(1)由得，定義域為(－1,1]，關于原點不對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù)． (2)由得，定義域為(－1,0)∪(0,1)． ∴x－2＜0，

7、∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝. 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)． (3)顯然函數(shù)f(x)的定義域為： (－∞，0)∪(0，＋∞)，關于原點對稱． ∵當x＜0時，－x＞0，則f(－x)＝－(－x)2－x ＝－x2－x＝－f(x)； 當x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x ＝x2－x＝－f(x)； 綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(－x)＝－f(x)成立，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)． 規(guī)律方法1　1.本例第(1)題，若盲目化簡：f(x)＝＝將擴大函數(shù)的定義域，作出錯誤判斷.第(2)題易忽視定義域無從入手. 2.判斷函數(shù)的奇

8、偶性，首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱；在定義域關于原點對稱的條件下，再化簡解析式，根據(jù)f(－x)與f(x)的關系作出判斷，對于分段函數(shù)，應分情況判斷. 考向二 [017]　函數(shù)奇偶性的應用 　(1)設函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為________． (2)已知y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x2－2x，則f(x)在R上的解析式為________． (3)設偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f(2)＝0，則不等式＞0的解集為________． 【思路點撥】　(1)利用奇函數(shù)定義或特值法求解． (2)設x＜0，則－x＞0，借助偶函數(shù)定義求其解

9、析式． (3)分“x＞0”和“x＜0”兩類分別解不等式，取并集即可． 【嘗試解答】　(1)方法一：∵f(x)＝為奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)， 即＝－， ∴a＝－1. 方法二：∵f(x)＝為奇函數(shù)， ∴f(1)＋f(－1)＝0， 即＋＝0， ∴a＝－1. (2)設x＜0，則－x＞0， ∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x. 又y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋2x(x＜0)． ∴f(x)＝ (3)因為f(x)為偶函數(shù)，所以不等式＞0，等價于＞0. ①當x＞0時，＞0等價于f(x)＞0， 又f(x)在

10、(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f(2)＝0. 所以f(x)＞0的解集為{x|0＜x＜2}． ②當x＜0時，＞0等價于f(x)＜0， 又f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，且f(－2)＝f(2)＝0. 所以f(x)＜0的解集為{x|x＜－2}． 綜上可知，不等式的解集為{x|x＜－2或0＜x＜2}． 【答案】　(1)－1　(2)f(x)＝　(3){x|x＜－2或0＜x＜2} 規(guī)律方法2　(1)已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，常利用奇偶性構造關于f(x)的方程，從而可得f(x)的解析式. (2)已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達式及奇偶性求參數(shù)，常常采用待定系數(shù)法：利用f(x)±f(－x)＝0

11、產(chǎn)生關于字母的恒等式，由系數(shù)的對等性可得知字母的值. (3)奇偶性與單調(diào)性綜合時要注意奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反. 對點訓練　(1)(xx·鄭州模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，且a≠1)．若g(2)＝a，則f(2)＝(　　) A．2　　　B.　　　C.　　　D．a(chǎn)2 (2)已知定義在R上的奇函數(shù)滿足f(x)＝x2＋2x(x≥0)，若f(3－a2)＞f(2a)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】　(1)∵f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)， ∴f

12、(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)＝a， ∵f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，① ∴f(－2)＋g(－2)＝g(2)－f(2)＝a－2－a2＋2，② 由①、②聯(lián)立，g(2)＝a＝2，f(2)＝a2－a－2＝. (2)當x≥0時，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1 ∴函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)． 又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， ∴函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)． 由f(3－a2)＞f(2a)得3－a2＞2a. 解得－3＜a＜1. 【答案】　(1)B　(2)(－3,1) 考向三 [018]　函數(shù)的周期性及其應用 　設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

13、且對任意實數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2. (1)求證：f(x)是周期函數(shù)； (2)當x∈[2,4]時，求f(x)的解析式； (3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)． 【思路點撥】　(1)證明f(x＋4)＝f(x) (2)先求[－2,0]上的解析式，再求[2,4]上的解析式； (3)根據(jù)周期性求解． 【嘗試解答】　(1)∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)． (2)當x∈[－2,0]時，－x∈[0,2]，由已知得 f(－x)＝2(－x)－

14、(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2， ∴f(x)＝x2＋2x. 又當x∈[2,4]時，x－4∈[－2,0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， ∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 所以x∈[2,4]時，f(x)＝x2－6x＋8. (3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又f(x)是周期為4的周期函數(shù)， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝…＝f(2 008)＋f(2

15、009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0＋1＋0＋(－1)＝0. 規(guī)律方法3　 (1)本例(2)在求解中先借助周期把區(qū)間[2，4]轉(zhuǎn)換到區(qū)間[－2，0]上，然后借助奇函數(shù)實現(xiàn)[－2，0]與[0，2]間的轉(zhuǎn)化. (2)證明一個函數(shù)f(x)是周期函數(shù)的關鍵是借助已知條件探尋使“f(x＋T)＝f(x)”成立的非零常數(shù)T. (3)周期性與奇偶性相結合的綜合問題，周期性起到轉(zhuǎn)換自變量值的作用，奇偶性起到調(diào)節(jié)符號的作用. 對點訓練　(1)已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且f(x＋1

16、)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，那么f(x)在[1,3]上是(　　) A．增函數(shù)　　　　　　 B．減函數(shù) C．先增后減的函數(shù) D．先減后增的函數(shù) (2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若對于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且當x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－2 013)＋f(2 015)＝________. 【解析】　(1)由f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，又f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(x)在[0,1]上是增函數(shù)． 由f(x＋1)＝－f(x)， 得f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)， 故2是函數(shù)f

17、(x)的一個周期． 結合以上性質(zhì)，模擬畫出f(x)的部分圖象，如圖． 由圖象可以觀察出，f(x)在[1,2]上為減函數(shù)，在[2,3]上為增函數(shù)． (2)當x≥0時，f(x＋2)＝－， ∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一個周期． ∴f(2 013)＝f(1)＝log22＝1，f(－2 013)＝f(2 013)＝1， f(2 015)＝f(3)＝－＝－1， ∴f(－2 013)＋f(2 015)＝0. 【答案】　(1)D　(2)0 思想方法之三　利用奇偶性求值——“方程思想”閃光芒 方程思想就是通過分析問題中的各個量及其關系，列出方程(組)、或者構

18、造方程(組)，通過求方程(組)、或討論方程(組)的解的情況，使問題得以解決． 在函數(shù)的奇偶性中，方程思想的具體體現(xiàn)如下： (1)函數(shù)奇偶性的判斷，即驗證等式“f(x)±f(－x)＝0”是否對定義域中的每個x均成立． (2)求解析式，在同時含有f(x)與f(－x)的表達式中，如bf(x)＋f(－x)＝a(ab≠0)中，常用“－x”代式子中的“x”，重新構建方程，聯(lián)立求解f(x)． (3)求值，已知f(a)的值探求f(－a)的值，其方法如同(2)． ————　[1個示范例]　———　[1個對點練]　——— 　　　(xx·湖南高考)已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g

19、(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于(　　) A．4　　　　 B．3　　　　 C．2　　　　 D．1 【解析】　∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)． 又g(x)是偶函數(shù)，∴g(－1)＝g(1)． ∵f(－1)＋g(1)＝2，∴g(1)－f(1)＝2.① 又f(1)＋g(－1)＝4，∴f(1)＋g(1)＝4.② 由①②，得g(1)＝3. (xx·重慶高考)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，則f(lg(lg 2))＝(　　) A．－5　　　B．－1　　　C．3　　　D．4 【解析】　因為log210與lg 2(即log102)互為倒數(shù)， 所以lg(log210)與lg(lg 2)互為相反數(shù)．不妨令lg(log210)＝x，則lg(lg 2)＝－x，而f(x)＋f(－x)＝(ax3＋bsin x＋4)＋[a(－x)3＋bsin(－x)＋4]＝8，故f(－x)＝8－f(x)＝8－5＝3，故選C. 【答案】　C