（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識(shí)專題突破 專題6 數(shù)列學(xué)案

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1、專題六數(shù)列命題觀察高考定位(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第21頁(yè))1(2017江蘇高考)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3，S6，則a8_.32設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則解得所以a8272532.2(2016江蘇高考)已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和若a1a3，S510，則a9的值是_20法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S510，知S55a1d10，得a12d2，即a122d.所以a2a1d2d，代入a1a3，化簡(jiǎn)得d26d90，所以d3，a14.故a9a18d42420.法二：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S510，知5a310，所以a32.所以由a1a32a2，得a12a22

2、，代入a1a3，化簡(jiǎn)得a2a210，所以a21.公差da3a2213，故a9a36d21820.3(2014江蘇高考)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a21，a8a62a4，則a6的值是_4因?yàn)閍8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由a8a62a4得a2q6a2q42a2q2，消去a2q2，得到關(guān)于q2的一元二次方程(q2)2q220，解得q22，a6a2q41224.4(2015江蘇高考)設(shè)數(shù)列滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為_由題意有a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n.又a11，an(n2)當(dāng)n1時(shí)也滿足此式，a

3、n(nN*)2.S1022.5(2017江蘇高考)對(duì)于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列an滿足：ankank1an1an1ank1ank2kan，對(duì)任意正整數(shù)n(nk)總成立，則稱數(shù)列an是“P(k)數(shù)列”(1)證明：等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”；(2)若數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：an是等差數(shù)列. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394035】證明(1)因?yàn)閍n是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則ana1(n1)d，從而，當(dāng)n4時(shí)，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1,2,3，所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”

4、(2)數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此，當(dāng)n3時(shí)，an2an1an1an24an，當(dāng)n4時(shí)，an3an2an1an1an2an36an.由知，an3an24an1(anan1)，an2an34an1(an1an)將代入，得an1an12an，其中n4，所以a3，a4，a5，是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d.在中，取n4，則a2a3a5a64a4，所以a2a3d，在中，取n3，則a1a2a4a54a3，所以a1a32d，所以數(shù)列an是等差數(shù)列命題規(guī)律(1)對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列基本量的考查是重點(diǎn)，主要考查利用通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式建立方程組求解，屬于低檔題，主要是以填空題的形式出現(xiàn)

5、(2)對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的考查是熱點(diǎn)，具有“新、巧、活”的特點(diǎn)，考查利用性質(zhì)解決有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，屬中低檔題，主要是以填空題的形式出現(xiàn)(3)數(shù)列的通項(xiàng)公式及遞推公式的應(yīng)用也是命題的熱點(diǎn)，根據(jù)an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式以及利用構(gòu)造或轉(zhuǎn)化的方法求通項(xiàng)公式也是?？嫉臒狳c(diǎn)填空、解答題都有出現(xiàn)(4)數(shù)列的求和問(wèn)題，多以考查等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法為主，且考查頻率較高，是高考命題的熱點(diǎn)填空、解答題都有出現(xiàn)(5)數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題也是高考考查的重點(diǎn)，主要考查利用函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列問(wèn)題以及用不等式的方法研究數(shù)列的性質(zhì)，多為中檔題，以解答題的形式出現(xiàn)(6)數(shù)列與解析幾何

6、交匯主要涉及點(diǎn)列問(wèn)題，難度中等及以上，常以解答題形式出現(xiàn)(7)數(shù)列應(yīng)用題主要以等差數(shù)列、等比數(shù)列及遞推數(shù)列為模型進(jìn)行考查，難度中等及以上，常以解答題形式出現(xiàn)主干整合歸納拓展(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第21頁(yè))第1步 核心知識(shí)再整合1等差數(shù)列(1)通項(xiàng)公式(2)前n項(xiàng)和公式：Snna1d.(3)常用性質(zhì)：如果數(shù)列an是等差數(shù)列，mnpqamanapaq(m，n，p，qN*)，特別地，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a1ana2an12a中若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n，成等差數(shù)列若等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和為An，Bn，則.若等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列仍是等差數(shù)列(4)等差數(shù)列的

7、單調(diào)性設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，當(dāng)d0時(shí)，數(shù)列an為遞增數(shù)列；當(dāng)d0，d0，且滿足則前n項(xiàng)和Sn最大；若a10，且滿足則前n項(xiàng)和Sn最小2等比數(shù)列(1)通項(xiàng)公式(2)前n項(xiàng)和公式Sn(3)常用性質(zhì)：如果數(shù)列an是等比數(shù)列mnpqamanapaq(m，n，p，qN*)，特別地，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a1ana2an1a.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，成等比數(shù)列(其中Sn，S2nSn，S3nS2n，均不為0)(4)等比數(shù)列的單調(diào)性設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，當(dāng)或時(shí)，an為遞增數(shù)列；當(dāng)或時(shí)，an為遞減數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，則數(shù)列an為常數(shù)數(shù)列3數(shù)列常見通項(xiàng)公式的求法

8、(1)觀察法：利用遞推關(guān)系寫出前幾項(xiàng)，根據(jù)前幾項(xiàng)的特點(diǎn)觀察、歸納、猜想出an的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明(2)利用前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系an(3)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式(4)累加法：在已知數(shù)列an中，滿足an1anf (n)，把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an1anf (n)，再利用累加法(逐差相加法)求解(5)疊乘法：在已知數(shù)列an中，滿足an1f (n)an，把原遞推公式轉(zhuǎn)化為f (n)，再利用疊乘法(逐商相乘法)求解(6)構(gòu)造等比數(shù)列法：在已知數(shù)列an中，滿足an1panq(其中p，q均為常數(shù)，pq(p1)0)，先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an1tp(ant)，其中t，再利用換元法

9、轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解4數(shù)列求和的主要方法(1)公式法：如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時(shí)直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，注意等比數(shù)列公比q的取值情況要分q1或q1.(2)倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列an，首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的(3)分組轉(zhuǎn)化求和法：若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減(4)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比

10、數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的(5)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和常見的拆項(xiàng)公式如下：分式型，.乘式型n(n1)(n1)n(n1)n(n1)(n2)，n(n1)(n2)(n1)n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)階乘型，CCC，kCnC.三角函數(shù)型tan an tan an11，cos，sin.根式型.(6)并項(xiàng)求和法：在一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和第2步 高頻考點(diǎn)細(xì)突破等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)及基本量的求解【例1】(南京市2017屆高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an，其前n項(xiàng)和為Sn，若a2a5

11、78，S313，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an_.解析由題意得a1q(q31)78，a1(1qq2)13q(q1)6，q0q3，a11，an3n1.答案3n1規(guī)律方法等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an與Sn這五個(gè)量，如果已知其中的三個(gè)，就可以求其余的兩個(gè)其中a1和d(或q)是兩個(gè)基本量，所以等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運(yùn)算問(wèn)題一般先設(shè)出這兩個(gè)基本量，然后根據(jù)通項(xiàng)公式、求和公式構(gòu)建這兩者的方程組，通過(guò)解方程組求其值，這也是方程思想在數(shù)列問(wèn)題中的體現(xiàn)舉一反三(江蘇省南通中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)的和，若a32a60，則的值是_. 【導(dǎo)學(xué)

12、號(hào)：56394036】2a32a60q3，因此2.等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)【例2】(20162017學(xué)年度江蘇蘇州市高三期中調(diào)研考試)已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足：a1a94，則數(shù)列l(wèi)og2an的前9項(xiàng)之和為_解析a1a9a4，a52，log2a1log2a2log2a9log2(a1a2a9)log2a9log2a59.答案9規(guī)律方法條件或結(jié)論中涉及等差或等比數(shù)列中的兩項(xiàng)或多項(xiàng)的關(guān)系時(shí)，先觀察分析下標(biāo)之間的關(guān)系，再考慮能否應(yīng)用性質(zhì)解決，要特別注意等差、等比數(shù)列性質(zhì)的區(qū)別等差數(shù)列(或等比數(shù)列)中若出現(xiàn)的是通項(xiàng)與數(shù)列和的關(guān)系，則優(yōu)先考慮等差數(shù)列(或等比數(shù)列)性質(zhì)mnpqamanapaq

13、(m，n，p，qN*)(mnpqamanapaq(m，n，p，qN*)舉一反三(2017屆高三七校聯(lián)考期中考試)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Snkn2n，nN*，其中k是常數(shù)若對(duì)于任意的mN*，am，a2m，a4m成等比數(shù)列，則k的值為_0或1Snkn2n，nN* ， 數(shù)列an是首項(xiàng)為k1，公差為2k的等差數(shù)列，an2kn1k.又對(duì)于任意的mN*都有aama4m，aa1a4，(3k1)2(k1)(7k1)，解得k0或1.又k0時(shí)an1，顯然對(duì)于任意的mN*，am，a2m，a4m成等比數(shù)列；k1時(shí)an2n，am2m，a2m4m，a4m8m，顯然對(duì)于任意的mN*，am，a2m，a4m也成等比數(shù)列綜

14、上所述，k0或1.判斷和證明等差數(shù)列、等比數(shù)列【例3】(2017江蘇省淮安市高考數(shù)學(xué)二模)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，且滿足：|a1|a2|；r(np)Sn1(n2n)an(n2n2)a1，其中r，pR，且r0.(1)求p的值；(2)數(shù)列an能否是等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)求證：當(dāng)r2時(shí)，數(shù)列an是等差數(shù)列解(1)n1時(shí)，r(1p)(a1a2)2a12a1，其中r，pR，且r0.又|a1|a2|.1p0，解得p1.(2)設(shè)ankan1(k1)，r(n1)Sn1(n2n)an(n2n2)a1，rS36a2,2rS412a34a1，化為：r(1kk2)6k，r(1kk2k3)6k22.

15、聯(lián)立解得r2，k1(不合題意)，舍去，因此數(shù)列an不是等比數(shù)列(3)證明：r2時(shí)，2(n1)Sn1(n2n)an(n2n2)a1，2S36a2,4S412a34a1,6S520a410a1.化為：a1a32a2，a2a42a3，a3a52a4.假設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)成等差數(shù)列，公差為d.則2(n1)(n2n)a1(n1)d(n2n2)a1，化為an1a1(n11)d，因此第n1項(xiàng)也滿足等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，綜上可得，數(shù)列an成等差數(shù)列規(guī)律方法(1)定義法：an1and(常數(shù))(nN*)an是等差數(shù)列；q(q是非零常數(shù))an是等比數(shù)列；(2)等差(比)中項(xiàng)法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)

16、列；aanan2(nN*，an0)an是等比數(shù)列；(3)通項(xiàng)公式法：anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列；ana1qn1(其中a1，q為非零常數(shù)，nN*)an是等比數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：SnAn2Bn(A，B為常數(shù))an是等差數(shù)列；SnAqnA(A為非零常數(shù)，q0,1)an是等比數(shù)列舉一反三(2017江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)二模)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn，cn滿足(n1)bnan1，(n2)cn，其中nN*.(1)若數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列cn的通項(xiàng)公式；(2)若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)一切nN*，有bncn，求證：數(shù)列an是等差數(shù)列. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394037】解(1

17、)數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，ana12(n1)，a1n1.(n2)cn(a1n1)n2，解得cn1.(2)證明：由(n1)bnan1，可得：n(n1)bnnan1Sn，(n1)(n2)bn1(n1)an2Sn1，相減可得：an2an1(n2)bn1nbn，可得：(n2)cnan1(n1)bn(n1)bn(n1)bn(bnbn1)，因此cn(bnbn1)bncn，cn(bnbn1)，故bn，cn.(n1)an1，(n2)(an1an2)，相減可得：(an2an1)，即an2an12(n2)又2a2a2a1，則an1an2(n1)，數(shù)列an是等差數(shù)列.等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用【例4】(20

18、162017學(xué)年度江蘇蘇州市高三期中調(diào)研考試)已知等比數(shù)列an的公比q1，且滿足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求使Snn2n162成立的正整數(shù)n的最小值解(1)a32是a2，a4的等差中項(xiàng)，2(a32)a2a4，代入a2a3a428，可得a38，a2a420，解之得或q1，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.(2)bnanlogan2nlog2nn2n，Sn(12222n2n)，2Sn(122223(n1)2nn 2n1)，得Sn222232nn2n1n2n12n12n2n1.Snn2n162，2n1262

19、，n16，n5，使Snn2n162成立的正整數(shù)n的最小值為6.規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題的解題關(guān)鍵仍然是“基本量”方法，其通過(guò)方程或者方程組求出數(shù)列的基本量，然后再解決后續(xù)問(wèn)題舉一反三(泰州中學(xué)20162017年度第一學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)文科)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bn(nN*)，若S3b51，b4是a2和a4的等比中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bn(nN*)，b56，b44.設(shè)各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an的公比為q，q0，S3b517，a1a1qa1q27，b4是a2和a4的等比

20、中項(xiàng)，a2a4a16，解得a3a1q24，由得3q24q40，解得q2或q(舍去)，a11，an2n1.(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn(11)2022(31)22423(51)24(n1)12n2n2n1(2022322423n2n1)(20222n2)，設(shè)Hn2022322423n2n1，則2Hn2222323(n1)2n1n2n，得Hn20222232n1n2nn2n(1n)2n1，Hn(n1)2n1，Tn(n1)2n12n.當(dāng)n為奇數(shù)，且n3時(shí)，TnTn1(n1)2n12n1(n1)2n12n1，經(jīng)檢驗(yàn)，T12符合上式Tn一般數(shù)列的性質(zhì)【例5】(江蘇省蘇州市2016屆高三九月測(cè)試試卷)已知各項(xiàng)

21、均為正數(shù)的等比數(shù)列an，若2a4a32a2a18，則2a8a7的最小值為_ 解析設(shè)an的公比為q，由2a4a32a2a18，得(2a2a1)q2(2a2a1)8，所以(2a2a1)(q21)8，顯然q21,2a8a7(2a2a1)q6，令tq2，則2a8a7，設(shè)函數(shù)f (t)(t1)，f (t)，易知當(dāng)t時(shí)f (t)為減函數(shù)，當(dāng)t時(shí)，f (t)為增函數(shù)時(shí)，所以f (t)的最小值為f 54，故2a8a7的最小值為54.答案54規(guī)律方法(1)在處理數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題時(shí)應(yīng)利用數(shù)列的單調(diào)性定義，即“若數(shù)列an是遞增數(shù)列n1，an1an恒成立”；(2)數(shù)列anf (n)的單調(diào)性與yf (x)，x1，)的單調(diào)

22、性不完全一致；(3)當(dāng)數(shù)列對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則可以借助其單調(diào)性來(lái)求解數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題舉一反三(南京市2016屆高三年級(jí)模擬考試)已知數(shù)列an是遞增數(shù)列，且對(duì)nN*，都有ann2n恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394038】(3，)利用遞增數(shù)列的定義，an1an，an1an2n102n1，nN*恒成立，則3.(注：本題易錯(cuò)的解法是根據(jù)數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)單調(diào)性ann2n2，然后12.由數(shù)列是遞增數(shù)列去斷定數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)是遞增函數(shù)，是錯(cuò)誤的)一般數(shù)列的通項(xiàng)及求和【例6】(20162017學(xué)年度江蘇蘇州市高三期中調(diào)研考試)已知數(shù)列an滿足：an1an(1an1)，a11，數(shù)列bn

23、滿足：bnanan1，則數(shù)列bn的前10項(xiàng)的和S10_.解析由an1an(1an1)得：1，因此數(shù)列是等差數(shù)列，所以n，即an，bnanan1，所以S10b1b2b101.答案規(guī)律方法(1)通常情況下數(shù)列的第(1)題是需要求數(shù)列的通項(xiàng)公式，而且其中也設(shè)出一個(gè)新的數(shù)列，我們?cè)谧龅倪^(guò)程中，要把這個(gè)條件作為一種提示，配湊成這種新的數(shù)列，即可解決；若題中沒(méi)有設(shè)出這樣的新數(shù)列，可以看知識(shí)整合中6種求通項(xiàng)公式的方法；(2)對(duì)于數(shù)列求和，需要先判斷用哪種求和的方法，然后進(jìn)行求解舉一反三(無(wú)錫市普通高中2017屆高三上學(xué)期期中基礎(chǔ)性檢測(cè))設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知4Sn2ann27n(nN*)，則a11

24、_.2由題設(shè)4Sn2ann27n(nN*)可得4Sn12an1(n1)27(n1)，將以上兩式兩邊相減可得4an2an2an12n17，即anan1n4，所以anan1n4，又因?yàn)閍13，所以a23241，故a31342，依次可推得a112.存在探索與證明性問(wèn)題【例7】(江蘇省南通中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snan4，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)已知cn2n3(nN*)，記dncnlogCan(C0且C1)，是否存在這樣的常數(shù)C，使得數(shù)列dn是常數(shù)列？若存在，求出C的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若數(shù)列bn，對(duì)于任意的正整數(shù)n，均有b1a

25、nb2an1b3an2bna1n成立，求證：數(shù)列 bn是等差數(shù)列解(1)a14a1，所以a12，由Snan4得n2時(shí)，Sn1an14，兩式相減得，2anan1，.數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以an22n(nN*)(2)由于數(shù)列dn是常數(shù)列，dncnlogCan2n3(2n)logC22n32logC2nlogC2(2logC2)n32logC2為常數(shù)列，只有2logC20；解得C，此時(shí)dn7.(3)證明：b1anb2an1b3an2bna1n.當(dāng)n1時(shí)，b1a11，其中a12，所以b1.當(dāng)n2時(shí)，b1an1b2an2b3an3bn1a1n1，式兩邊同時(shí)乘以得，b1anb2an1b

26、3an2bn1a2n.式減去式得，bna1，所以bn，且bn1bn.所以數(shù)列bn是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列舉一反三(南京市2017屆高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研)已知數(shù)列an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a2a315，S416.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn滿足b1a1，bn1bn.求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；是否存在正整數(shù)m，n(mn)，使得b2，bm，bn成等差數(shù)列？若存在，求出m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，則d0.由a2a315，S416，得解得或(舍去)所以an2n1.(2)因?yàn)閎1a1，bn1bn，所以b1a11，bn1bn，即b2b1，b3

27、b2，bnbn1(n2)，累加得：bnb1，所以bnb11.b11也符合上式故bn，nN*.假設(shè)存在正整數(shù)m、n(mn)，使得b2，bm，bn成等差數(shù)列，則b2bn2bm.又b2，bn，bm，所以2，即，化簡(jiǎn)得：2m7.當(dāng)n13，即n2時(shí)，m2，不符合題意，舍去；當(dāng)n19，即n8時(shí)，m3，符合題意所以存在正整數(shù)m3，n8，使得b2，bm，bn成等差數(shù)列.數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用【例8】(江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三摸底考試)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：Snt(Snan1)(t為常數(shù)，且t0，t1)(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnaSnan，若數(shù)列bn為等比數(shù)列，求t的值；(3)在滿足條件

28、(2)的情形下，設(shè)cn4an1，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，若不等式2n7對(duì)任意的nN*恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解(1)當(dāng)n1時(shí)，S1t(S1a11)，得a1t.當(dāng)n2時(shí)，由Snt(Snan1)，即(1t)Sntant，得(1t)Sn1tan1t，得(1t)antantan1，即antan1，t(n2)，an是等比數(shù)列，且公比是t，antn.(2)由(1)知，bn(tn)2tn，即bn，若數(shù)列bn為等比數(shù)列，則有bb1b3，而b12t2，b2t3(2t1)，b3t4(2t2t1)，故t3(2t1)2(2t2)t4(2t2t1)，解得t，再將t代入bn，得bnn，由，知bn為等比數(shù)列，t.(3)

29、由t，知ann，cn4n1，Tn4n4n，由不等式2n7恒成立，得3k恒成立，設(shè)dn，由dn1dn，當(dāng)n4時(shí)，dn1dn，當(dāng)n4時(shí)，dn1dn，而d4，d5，d4d5，3k，k.規(guī)律方法數(shù)列與不等式交匯命題，不等式常作為證明或求解的一問(wèn)呈現(xiàn)，解答時(shí)先將數(shù)列的基本問(wèn)題解決，再集中解決不等式問(wèn)題，注意放縮法、基本不等式、裂項(xiàng)、累加法的運(yùn)用舉一反三(江蘇省南通中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)設(shè)公差不為零的等差數(shù)列an的前5項(xiàng)和為55，且a2，a49成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn，求證：數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則或(舍去)，故數(shù)列an

30、的通項(xiàng)公式為an72(n1)，即an2n5.(2)證明：由(1)an2n5，得bn.Snb1b2bn0時(shí)，f n(x)10，則f n(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，而f 1(1)0，當(dāng)n2時(shí)，f n(1)0，故f n(1)0，又f n1kn10時(shí)，f n1(x)f n(x)f n(x)，并由(1)知f n1(xn)f n(xn)f n1(xn1)0.由f n1(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增知，xn1xn，故xn為單調(diào)遞減數(shù)列，從而對(duì)任意n，pN*，xnpxn.對(duì)任意pN*，f n (xn ) 1 xn 0.f np (xn p ) 1 xnp0.并移項(xiàng)，利用0xnpxn1，得xnxnpM時(shí)n2n1Sn

31、50恒成立？若存在，求出最小的M；若不存在，說(shuō)明理由解(1)由已知，可得c0，f (x)2axb， 解之得a，b2n.f (x)x22nx.(2)an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a12(123n1)424n2n4.(3)an1an(n1)2(n1)4(n2n4)2n，bnn2n2n.Sn121222323n2n，2Sn122223324n2n1.得：Sn21222nn2n12n12n2n1，n2n1Sn2n1250，即2n152，當(dāng)n5時(shí)，2n152.存在M4，使得當(dāng)nM時(shí)，n2n1Sn50恒成立第3步 高考易錯(cuò)明辨析1忽視n的取值范圍致誤已知數(shù)列an

32、中，a11，前n項(xiàng)的和為Sn，對(duì)任意的自然數(shù)n2，an是3Sn4與2Sn1的等差中項(xiàng)求通項(xiàng)an.錯(cuò)原忽視了成立的前提n2，只能說(shuō)明數(shù)列從第2項(xiàng)起為等比數(shù)列，至于整個(gè)數(shù)列an是否為等比數(shù)列還需驗(yàn)證是否等于，這種在解答過(guò)程中忽視數(shù)列“定義域”限制而致錯(cuò)的題目頻率是非常高的，應(yīng)引起足夠的重視正解由已知，當(dāng)n2時(shí)，2an(3Sn4)，又anSnSn1，得an3Sn4(n2)，an13Sn14，以上兩式相減得an1an3an1，a2，a3，an，成等比數(shù)列，其中a23S243(1a2)4.即a2，q，當(dāng)n2時(shí)，ana2qn2n2n1，an 2求等比數(shù)列的公比時(shí)忽視隱含條件致誤已知一個(gè)等比數(shù)列的前四項(xiàng)之積

33、為，第2,3項(xiàng)的和為，求這個(gè)等比數(shù)列的公比錯(cuò)原設(shè)這四個(gè)數(shù)為，aq，aq3，公比為q2，就等于規(guī)定了這個(gè)等比數(shù)列各項(xiàng)要么同為正，要么同為負(fù)，但題中q可以為負(fù)！正解依題意，設(shè)這四個(gè)數(shù)為a，aq，aq2，aq3，則解得q32或q52.3解數(shù)列問(wèn)題時(shí)由思維定勢(shì)導(dǎo)致錯(cuò)誤已知等比數(shù)列an中a21，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是_錯(cuò)原默認(rèn)q0，遺漏當(dāng)q0時(shí)，S31q123；當(dāng)公比qc1，b1c12a1，an1an，bn 1，cn 1，則An的最大值是_由bn1，cn1得bn1cn1(bncn)an，又an1ana1，所以bn1cn12a1(bncn2a1)，而b1c12a1，所以bncn2a1，所以cosA

34、n111，所以An的最大值是.3在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若內(nèi)角A，B，C依次成等差數(shù)列，且a和c是x26x80的兩根，則SABC_.2 內(nèi)角A，B，C依次成等差數(shù)列，B60，a和c是x26x80的兩根，a2，c4，SABCacsin B242.4(改編題)函數(shù)f 1(x)x3，f 2(x)f 3(x)f 4(x)|sin(2x)|，等差數(shù)列an中，a10，a2 0151，bn|f k(an1)f k(an)|(k1,2,3,4)，用Pk表示數(shù)列bn的前2 014項(xiàng)的和，則P1，P2，P3，P4的關(guān)系為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394040】P41P1P2P32an是等

35、差數(shù)列，且a10，a2 0151，可知該數(shù)列為遞增數(shù)列，且a1 008，a504.對(duì)于f 1(x)x3，該函數(shù)在0,1上為增函數(shù)，于是有f 1(an1)f 1(an)0，于是b1f 1(an1)f 1(an)，所以P1f 1(a2 015)f 1(a1)101.對(duì)于f 2(x)，該函數(shù)在上遞增，在上遞減，于是P2f 2(a1 008)f 2(a1)f 2(a1 008)f 2(a2 015)001.對(duì)于f 3(x)，該函數(shù)在上遞減，在上為常數(shù)，類似有P3f 3(a1)f 3(a1 008)f 3(0)f 3312.對(duì)于f 4(x)，該函數(shù)在和遞增，在和上遞減，且是以為周期的周期函數(shù)，故只需討論的情況，再2倍即可，仿前可知，P42f 4(a504)f 4(a1)f 4(a505)f 4(a1 008)21，故P41，則P41P1P2P32.20