2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 7.1 計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理學(xué)案 理

《2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 7.1 計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 7.1 計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理學(xué)案 理（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講　計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理 考點(diǎn)1　排列組合與計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 1．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理 如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計(jì)數(shù)原理將方法種數(shù)相加；如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計(jì)數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘． 2. 名稱 排列 組合 相同點(diǎn) 都是從n個(gè)不同元素中取m(m≤n)個(gè)元素，元素?zé)o重復(fù) 不同點(diǎn) ①排列與順序有關(guān)； ②兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列的元素及其排列順序完全相同 ①組合與順序無關(guān)； ②兩個(gè)組合相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)組合的元素完全相同 [例1]　(1)[2019·陜西西安模擬]把15人分成前

2、、中、后三排，每排5人，則不同的排法種數(shù)共有(　　) A. B．AAAA C．A D．AA (2)[2019·安徽合肥質(zhì)檢]某社區(qū)新建了一個(gè)休閑小公園，幾條小徑將公園分成5個(gè)區(qū)域，如圖．社區(qū)準(zhǔn)備從4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各個(gè)區(qū)域中，要求每個(gè)區(qū)域種植一種顏色的花卉，且相鄰區(qū)域(有公共邊的)所種花卉顏色不能相同，則不同種植方法的種數(shù)共有(　　) A．96 B．114 C．168 D．240 【解析】　(1)把位置從1到15標(biāo)上號(hào)，問題就轉(zhuǎn)化為15人站在15個(gè)位置上，共有A種情況． (2)先在a中種植，有4種不同的種植方法，再在b中種植，有3種不同的種植方法，再

3、在c中種植，若c與b同色，則d中有3種不同的種植方法，若c與b不同色，則c中有2種不同的種植方法，d中有2種不同的種植方法，再在e中種植，有2種不同的種植方法，所以共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(種)．故選C. 【答案】　(1)C　(2)C 解排列、組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑： (1)以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素． (2)以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置． (3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù). 『對(duì)接訓(xùn)練』 1．[2019·河南十所名校尖子生聯(lián)考]5位同學(xué)站成一排照相

4、，其中甲與乙必須相鄰且甲不站在兩端的排法種數(shù)是(　　) A．40 B．36 C．32 D．24 解析：由題可得，甲與乙相鄰的排法種數(shù)為AA＝48，甲站在兩端且與乙相鄰的排法種數(shù)為CA＝12，所以甲與乙相鄰且甲不站在兩端的排法種數(shù)是48－12＝36.故選B. 答案：B 2．[2019·廣東六校聯(lián)考]從兩個(gè)不同的紅球、兩個(gè)不同的黃球、兩個(gè)不同的藍(lán)球共六個(gè)球中任取兩個(gè)，放入紅、黃、藍(lán)三個(gè)袋子中，每個(gè)袋子至多放入一個(gè)球，且球色與袋色不同，那么不同的放法共有(　　) A．42種 B．36種 C．72種 D．46種 解析：分以下幾種情況：①取出的兩球同色時(shí)，有3種可能，取出的球只能

5、放在與球的顏色不同的兩個(gè)袋子中，有A種不同的放法，故不同的放法共有3A＝6(種)；②取出的兩球不同色時(shí)，有一紅一黃、一紅一藍(lán)、一黃一藍(lán)3種可能，由于球不同，所以取球的方法數(shù)為3CC＝12(種)，取球后將兩球放入袋子中的方法有CC－3＝3(種)，所以不同的放法有12×3＝36(種)．綜上可得不同的放法共有42種，故選A. 答案：A 考點(diǎn)2　二項(xiàng)式定理 1．通項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù) Tr＋1＝Can－rbr，其中C(r＝0,1,2，…，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)． 2．各二項(xiàng)式系數(shù)之和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1. [例2]　(1)[2019·

6、全國(guó)卷Ⅲ](1＋2x2)(1＋x)4的展開式中x3的系數(shù)為(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 (2)[2019·浙江卷]在二項(xiàng)式(＋x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是________，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________． 解析：(1)展開式中含x3的項(xiàng)可以由“1與x3”和“2x2與x”的乘積組成，則x3的系數(shù)為C＋2C＝4＋8＝12. (2)該二項(xiàng)展開式的第k＋1項(xiàng)為Tk＋1＝C()9－kxk，當(dāng)k＝0時(shí)，第1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以常數(shù)項(xiàng)為()9＝16；當(dāng)k＝1,3,5,7,9時(shí)，展開式的項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)，所以系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為5. 答案：(1)A　(2)16　5

7、 (1)利用二項(xiàng)式定理求解的兩種常用思路 ①二項(xiàng)式定理中最關(guān)鍵的是通項(xiàng)公式，求展開式中特定的項(xiàng)或者特定項(xiàng)的系數(shù)均是利用通項(xiàng)公式和方程解決的． ②二項(xiàng)展開式的系數(shù)之和通常是通過對(duì)二項(xiàng)式及其展開式中的變量賦值得出的，注意根據(jù)展開式的形式給變量賦值. (2)[警示]　在應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)： ①它表示二項(xiàng)展開式的任意項(xiàng)，只要n與r確定，該項(xiàng)就隨之確定； ②Tr＋1是展開式中的第r＋1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)； ③公式中，a，b的指數(shù)和為n，且a，b不能隨便顛倒位置； ④對(duì)二項(xiàng)式(a－b)n展開式的通項(xiàng)公式要特別注意符號(hào)問題． 『對(duì)接訓(xùn)練』 3．[

8、2019·天津卷]8的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______． 解析：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算． 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝C(2x)8－rr＝r·28－r·Cx8－4r，令8－4r＝0可得r＝2，故常數(shù)項(xiàng)為2×26×C＝28. 答案：28 4．[2019·浙江金華十校聯(lián)考]已知(x＋1)4＋(x－2)8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，則a3＝(　　) A．64 B．48 C．－48 D．－64 解析：由(x＋1)4＋(x－2)8＝[(x－1)＋2]4＋[(x－1)－1]8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋

9、a8(x－1)8，得a3·(x－1)3＝C·(x－1)3·2＋C·(x－1)3·(－1)5， ∴a3＝8－C＝－48.故選C. 答案：C 課時(shí)作業(yè)17　計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理 1．[2019·湘贛十四校聯(lián)考]有一數(shù)學(xué)問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5名同學(xué)只會(huì)用綜合法證明，有3名同學(xué)只會(huì)用分析法證明，現(xiàn)從這些同學(xué)中任選1名同學(xué)證明這個(gè)問題，不同的選法種數(shù)為(　　) A．8 B．15 C．18 D．30 解析：由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題：證明方法分成兩類，一是用綜合法證明，有5種選法，二是用分析法證明，有3種選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有3＋5＝8種選法，

10、故選A. 答案：A 2．[2019·云南昆明一中檢測(cè)]從一顆骰子的六個(gè)面中任意選取三個(gè)面，其中只有兩個(gè)面相鄰的不同的選法共有(　　) A．20種 B．16種 C．12種 D．8種 解析：從一顆骰子的六個(gè)面中任意選取三個(gè)面共有C＝20種選法，其中有三個(gè)面彼此相鄰的有8種，所以只有兩個(gè)面相鄰的不同的選法共有20－8＝12(種)． 答案：C 3．[2019·河北唐山期末]在6的展開式中，x2的系數(shù)為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C6－rr＝(－1)rC22r－6x3－r，令r＝1，可得x2的系數(shù)為(－1)1×C×22×1－6

11、＝－.故選D. 答案：D 4．[2019·海南三亞華僑學(xué)校期末]六位選手依次演講，其中選手甲不是第一個(gè)也不是最后一個(gè)演講，則不同的演講次序共有(　　) A．480種 B．360種 C．240種 D．120種 解析：解法一　因?yàn)榱贿x手依次演講，其中選手甲不是第一個(gè)也不是最后一個(gè)演講，所以甲有C種情況，剩余的選手有A種情況，所以不同的演講次序共有C·A＝480(種)，故選A. 解法二　六位選手全排列有A種演講次序，其中選手甲第一個(gè)或最后一個(gè)演講有2A種情況，故不同的演講次序共有A－2A＝480(種)．故選A. 答案：A 5．[2019·河北保定期末](1－2x)5(2＋x)的

12、展開式中，x3的系數(shù)是(　　) A．－160 B．－120 C．40 D．200 解析：(1－2x)5(2＋x)的展開式中x3的系數(shù)是(1－2x)5的展開式中x3的系數(shù)的2倍與(1－2x)5的展開式中x2的系數(shù)的和，易知(1－2x)5的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝(－2)rCxr，令r＝3，得x3的系數(shù)為－8C＝－80，令r＝2，得x2的系數(shù)為4C＝40，所以(1－2x)5(2＋x)的展開式中x3的系數(shù)是－80×2＋40＝－120.故選B. 答案：B 6．[2019·浙江七彩聯(lián)盟聯(lián)考]若n的展開式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則該展開式的常數(shù)項(xiàng)為(　　) A．10

13、B．－10 C．5 D．－5 解析：由二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，知2n＝32，可得n＝5，Tr＋1＝C(2x2)5－rr＝(－1)r·25－rCx.令10－r＝0，可得r＝4，所以常數(shù)項(xiàng)為(－1)4×21×C＝10，故選A. 答案：A 7．[2019·廣東廣州調(diào)研]某電臺(tái)做《一校一特色》訪談節(jié)目，分A，B，C三期播出，A期播出兩所學(xué)校，B期、C期各播出1所學(xué)校．現(xiàn)從8所候選學(xué)校中選出4所參與這三期節(jié)目的錄制，不同的選法共有(　　) A．140種 B．420種 C．840種 D．1 680種 解析：由題易知，不同的選法共有CCC＝840(種)．故選C. 答案：C 8．[20

14、19·河北定州模擬]將“?！薄暗摗薄皦邸比齻€(gè)字填入如圖所示的4×4小方格中，每個(gè)小方格內(nèi)只能填入一個(gè)字，且任意兩個(gè)字既不同行也不同列，則不同的填寫方法有(　　) A.288種 B．144種 C．576種 D．96種 解析：依題意可分為以下3步：(1)先從16個(gè)格子中任選一格放入第一個(gè)字，有16種方法；(2)因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)字既不同行也不同列，所以第二個(gè)字有9個(gè)格子可以放，有9種方法；(3)第三個(gè)字有4個(gè)格子可以放，有4種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的填寫方法有16×9×4＝576(種)．故選C. 答案：C 9．[2019·海南三亞華僑學(xué)校期末]在24的展開式中，x的指數(shù)是整

15、數(shù)的項(xiàng)數(shù)是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：∵24的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C()24－rr＝Cx，∴當(dāng)r＝0,6,12,18,24時(shí)，x的指數(shù)是整數(shù)，故x的指數(shù)是整數(shù)的有5項(xiàng)，故選D. 答案：D 10．[2019·第一次全國(guó)大聯(lián)考]若二項(xiàng)式n的展開式中第m項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則m，n應(yīng)滿足(　　) A．2n＝3(m－1) B．2n＝3m C．2n＝(3m＋1) D．2n＝m 解析：由題意得，n的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝(－1)rCx，當(dāng)n＝r，即2n＝3r時(shí)，為常數(shù)項(xiàng)，此時(shí)r＝m－1，所以m，n應(yīng)滿足2n＝3(m－1)，故選A. 答案：A 11．[2

16、019·甘肅蘭州實(shí)戰(zhàn)模擬]某國(guó)際會(huì)議結(jié)束后，中、美、俄等21國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人也站在前排并與中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，如果對(duì)其他國(guó)家領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(　　) A．A種 B．A種 C．AAA種 D．AA種 解析：中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人站在前排并與中國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，有A種站法；其他18國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人可以任意站，因此有A種站法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有AA種不同的站法，故選D. 答案：D 12．[2019·遼寧營(yíng)口模擬](1＋x)2n(n∈N*)的展開式中，系數(shù)

17、最大的項(xiàng)是(　　) A．第＋1項(xiàng) B．第n項(xiàng) C．第n＋1項(xiàng) D．第n項(xiàng)與第n＋1項(xiàng) 解析：在(1＋x)2n(n∈N*)的展開式中，第r＋1項(xiàng)的系數(shù)與第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同，再根據(jù)中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，展開式共有2n＋1項(xiàng)，可得第n＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，故選C. 答案：C 13．[2019·陜西西安質(zhì)檢]如果把個(gè)位數(shù)是1，且恰有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有________個(gè)． 解析：當(dāng)相同的數(shù)字不是1時(shí)，有C個(gè)“好數(shù)”；當(dāng)相同的數(shù)字是1時(shí)，有CC個(gè)“好數(shù)”，由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有C＋CC＝12個(gè)“好

18、數(shù)”． 答案：12 14．[2019·江西南昌重點(diǎn)中學(xué)段考](x－y＋2)6的展開式中y4的系數(shù)為________． 解析：解法一　因?yàn)?x－y＋2)6＝[(x＋2)－y]6，所以展開式中含y4的項(xiàng)為C(x＋2)2y4＝15x2y4＋60xy4＋60y4，所以展開式中y4的系數(shù)為60. 解法二　由于(x－y＋2)6的展開式中y4項(xiàng)不含x，所以(x－y＋2)6的展開式中y4項(xiàng)就是(2－y)6的展開式中的y4項(xiàng)，所以C×22(－y)4＝60y4，所以(x－y＋2)6的展開式中y4的系數(shù)為60. 答案：60 15．[2019·安徽示范高中高三測(cè)試]現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)

19、色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為________． 解析：解法一　從16張不同的卡片中任取3張，不同取法的種數(shù)為C，其中有2張紅色卡片的不同取法的種數(shù)為C×C，3張卡片顏色相同的不同取法的種數(shù)為C×C，所以3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張的不同取法的種數(shù)為C－C×C－C×C＝472. 解法二　若取出的3張卡片中沒有紅色卡片，則需從黃、藍(lán)、綠三種顏色的卡片中選3張，若都不同色，則不同取法的種數(shù)為C×C×C＝64；若僅有2張卡片的顏色相同，則不同取法的種數(shù)為C×C×C×C＝144.若紅色卡片有1張，且剩余2張不同

20、色時(shí)，不同取法的種數(shù)為C×C×C×C＝192；若紅色卡片有1張，且剩余2張同色時(shí)，不同取法的種數(shù)為C×C×C＝72.所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(種)． 答案：472 16．[2019·陜西彬州第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)]如果n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為256，則展開式中的系數(shù)是________． 解析：令x＝1，可得各項(xiàng)系數(shù)之和為(3－1)n＝256，求得n＝8，則n＝8的通項(xiàng)公式是Tr＋1＝C·(3x)8－r·r＝C·38－r·(－1)r·x8－r，令8－r＝－2，解得r＝6.故展開式中的系數(shù)是C·32＝252. 答案：252 - 9 -