（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識(shí)專題突破 專題4 平面向量學(xué)案

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1、專題四平面向量命題觀察高考定位(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第12頁)1(2017江蘇高考)如圖41，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，的模分別為1,1，與的夾角為，且tan 7，與的夾角為45.若mn(m，nR)，則mn_.圖413法一因?yàn)閠an 7，所以cos ，sin .過點(diǎn)C作CDOB交OA的延長線于點(diǎn)D，則，OCD45.又因?yàn)閙n，所以m，n，所以|m，|n.在COD中，由正弦定理得，因?yàn)閟in ODCsin (180OCD)sin (OCD)，即，所以n，m，所以mn3.法二由tan 7可得cos ，sin ，則，由cosBOC可得，cos AOBcos (45)cos cos 45sin sin 45，則，

2、則mn，mn1，則mn，則mn3.2(2016江蘇高考)如圖42，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，4，1，則的值是_圖42由題意，得()()()()22|2|21，()()(3)(3)9229|2|24.由得|2，|2.()()(2)(2)4224|2|24.3(2015江蘇高考)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，則mn的值為_3manb(2mn，m2n)(9，8)，mn253.4(2013江蘇高考)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC.若12(1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_由題意()，于是1，2，故12.5

3、(2014江蘇高考) 如圖43，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，則的值是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394021】圖4322由3，得，.因?yàn)?，所以2，即222.又因?yàn)?5，64，所以22.命題規(guī)律平面向量的命題以客觀題為主，主要考查平面向量的基本概念、向量的線性運(yùn)算、向量的平行與垂直、向量的數(shù)量積，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，在解答題中常與三角函數(shù)相結(jié)合，或作為解題工具應(yīng)用到解析幾何問題中主干整合歸納拓展(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第12頁)第1步 核心知識(shí)再整合1平面向量的兩個(gè)重要定理(1)向量共線定理：向量a(a0)與b共線當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e

4、2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一組基底2平面向量的兩個(gè)充要條件若兩個(gè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(1)ababx1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.3平面向量的三個(gè)性質(zhì)(1)若a(x，y)，則|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，為a與b的夾角，則cos .第2步 高頻考點(diǎn)細(xì)突破平面向量的線性運(yùn)算【例1】(江蘇省南通市如東高中2017屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研)在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60，E為C

5、D的中點(diǎn)若，則AB的長為_解析根據(jù)條件：()()()22|2|1.16|28|10，解得|.故答案為.答案規(guī)律方法向量加法：“尾首相接，首尾相連”，向量減法：“共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量”舉一反三 (江蘇省南通中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)如圖44，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么_.(用和表示)圖44.向量共線的充要條件【例2】(南京市2017屆高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研)設(shè)向量a(1，4)，b(1，x)，ca3b，若ac，則實(shí)數(shù)x的值是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394022】解析由題意得(1，4)(2，43x)843xx4.答案4規(guī)律方法向量a，b(a0)共線的充

6、要條件是ba，R，用坐標(biāo)表示就是a(x1，y1)，b(x2，y2)共線的充要條件是x1y2x2y10.舉一反三 (2017屆高三七校聯(lián)考期中考試)如圖45，梯形ABCD中，ABCD，AB6，ADDC2，若14，則_.圖452()()()()，62142.平面向量的數(shù)量積【例3】(南京市2017屆高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研)在ABC中，已知AB3，BC2，D在AB上，若3，則AC的長是_解析|1，|2；3cos ，所以22222|.答案規(guī)律方法向量ab|a|b|cosa，b，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.舉一反三(江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次月考)設(shè)平面向量a(

7、x,4)，b(y，2)，c(2,1)(其中x0，y0)，若(ac)(bc)，則|ab|的最小值為_2a(x,4)，b(y，2)，c(2,1)，ac(x2,3)，bc(y2，3)，由(ac)(bc)，得(x2)(y2)90，即xy2(xy)50.又x0，y0，2(xy)5xy，解得xy2(舍)，或xy10.|ab|2.求兩向量的夾角【例4】(2017屆高三七校聯(lián)考期中考試)如圖46，在24的方格紙中，若a和b是起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量，則向量2ab與ab的夾角余弦值是_圖46解析a(2，1)，b(3,2)，所以2ab(7,0)，ab(1，3)，因此向量2ab與ab的夾角余弦值是.答案規(guī)律方法co

8、sa，b，a2|a|2.舉一反三(泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)在ABC中，(3)0，則角A的最大值為_由題設(shè)可得accos B3abcos C0，即ccos B3bcos C，也即sin Ccos B3sin Bcos C，故tan C3tan B，由于tan Atan Btan Ctan Atan Btan C，因此3tan Atan2B2tan Btan A0，故412tan2A0，所以tan A，所以Amax.平面向量和平面幾何的綜合問題【例5】(江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽高中2017屆高三下學(xué)期期中)已知點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(6，3)，點(diǎn)P在直線3x4y30上，若滿足等式20的點(diǎn)P有兩

9、個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394023】解析由點(diǎn)P在直線3x4y30上，設(shè)P，則，(x2)(x6)29(25x2110x57)，又20，(25x2110x57)20，化簡得25x2110x57320，根據(jù)題意(110)2425(5732)0，解得2，實(shí)數(shù)的取值范圍是(，2)答案 (，2)規(guī)律方法平面向量本身就具有代數(shù)和幾何的雙重特征，與平面幾何的綜合問題是最自然最常見的問題，在解題過程中要抓住圖形的幾何特征，充分利用幾何元素的幾何性質(zhì)解決問題舉一反三(泰州中學(xué)20162017年度第一學(xué)期第一 次質(zhì)量檢測文科)已知點(diǎn)O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且230，則AOB，AOC，BOC的面積之比等

10、于_321230，所以C為AB三等分點(diǎn)(靠近B)，如圖，所以SAOCSAOC；SBOCSBOC；SAOC2SBOC；SAOBSAOCSBOC，即AOB，AOC，BOC的面積之比等于3SBOC2SBOCSBOC321.第3步 高考易錯(cuò)明辨析1誤把兩向量數(shù)量積大于(小于)0當(dāng)作兩向量夾角為銳角(鈍角)的充要條件已知|a|，|b|3，a，b的夾角為45，當(dāng)向量ab與ab的夾角為銳角時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍錯(cuò)解ab|a|b|cos 453，因?yàn)橄蛄縜b與ab的夾角為銳角，所以(ab)(ab)0，由(ab)(ab)a2(1)abb21250，得，所以的取值范圍是.正解ab|a|b|cos 453，因?yàn)橄蛄縜

11、b與ab的夾角為銳角，所以(ab)(ab)0，由(ab)(ab)a2(1)abb21250，得，當(dāng)向量ab與ab方向相同時(shí)，1，即當(dāng)1時(shí)，雖然(ab)(ab)0，但向量ab與ab夾角為0，所以的取值范圍是(1，)2忽視兩向量夾角的概念導(dǎo)致錯(cuò)誤在ABC中，(1，)，(3,0)，則角B的大小為_錯(cuò)解因?yàn)閏os B，且B(0，)，所以B.正解根據(jù)向量的夾角的定義，向量與的夾角應(yīng)是角B補(bǔ)角，所以cos(B)，又B(0，)，所以B，從而B.3忽視變量取值范圍導(dǎo)致錯(cuò)誤如圖47，在ABC中，BAC120，AB1，AC2，D為BC邊上一點(diǎn)，則的取值范圍為_圖47錯(cuò)解|cosBAC1，222，因?yàn)?，所?,1，

12、當(dāng)0時(shí)，2取最大值5，當(dāng)1時(shí)，2，所以的取值范圍為.正解|cosBAC1，222，因?yàn)?，所?，)，當(dāng)0時(shí)，2取最大值5，當(dāng)時(shí)，22取最小值，所以的取值范圍為(2,5專家預(yù)測鞏固提升(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第14頁)1(改編題)已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若()，則與的夾角為_90由()，故O，A，C三點(diǎn)共線，且O是線段AC中點(diǎn)，故AC是圓O的直徑，從而ABC90，因此與的夾角為90.2(改編題)ABC中，|AB|10，|AC|15，BAC，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在直線AC上，且3，直線CM與BN相交于點(diǎn)P，則線段AP的長為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394024】法一如圖，()(1)，()(1)，于是解得

13、即，|2(4|222|2)37，故|.法二因?yàn)锽、P、N三點(diǎn)共線，有x(1x)x，同理，因?yàn)镃、P、M三點(diǎn)共線，有y(1y)(1y)，根據(jù)向量相等的充要條件，有解得：x，y，于是，.(下同法一)法三以A 為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：由已知可得：C(15,0)，N(5,0)，B(5,5)，M，于是BN所在直線方程為x5，CM所在直線方程為y (x15)，解得P(5,2)，故|AP|.3(新穎題)已知曲線C：x，直線l：x6.若對(duì)于點(diǎn)A(m,0)，存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得0，則m的取值范圍為_2,3由0知A是PQ的中點(diǎn)，設(shè)P(x，y)，則Q(2mx，y)，由題意2x0，2mx6，解得2m3.4(原創(chuàng)題)ABC中，BAC120，AB2，AC1，D是邊BC 上的一點(diǎn)(包括端點(diǎn))，則的取值范圍是_5,2D是邊BC上的一點(diǎn)(包括端點(diǎn))，可設(shè)(1)，(01)BAC120，AB2，AC1，21cos 1201.(1)()(21)2(1)2(21)4172.01，(72)5,2的取值范圍是5,213