《（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式學(xué)案 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式學(xué)案 文（40頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第七章 不 等 式第一節(jié) 不等式的性質(zhì)及一元二次不等式本節(jié)主要包括2個知識點：1.不等式的性質(zhì)；2.一元二次不等式.突破點(一)不等式的性質(zhì) 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1比較兩個實數(shù)大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對稱性abba傳遞性ab，bcac可加性abacbc可乘性acbc注意c的符號acbc同向可加性acbd同向同正可乘性acbd0可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b同為正數(shù)可開方性ab0(nN，n2)3.不等式的一些常用性質(zhì)(1)倒數(shù)的性質(zhì)ab，ab0.a0b.ab0,0cd.0axb或axb0.(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若ab0，m0
2、，則：；(bm0)；(bm0).考點貫通抓高考命題的“形”與“神”比較兩個數(shù)(式)的大小例1(1)已知a1，a2(0,1)，記Ma1a2，Na1a21，則M與N的大小關(guān)系是_(2)若a，b，則a_b(填“”或“”)解析(1)MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210.(a11)(a21)0，即MN0.M N.(2)易知a，b都是正數(shù)，log891，所以ba.答案(1)M N(2)方法技巧比較兩個數(shù)(式)大小的兩種方法不等式的性質(zhì)例2(1)(2018泰州期初測試)已知函數(shù)f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，
3、則f(2)的取值范圍是_(2)下列命題：若ab，cd，則acbd；若acbc，則ab；若，則ab；若ab，cd，則acbd.其中正確命題的序號是_(3)(2018興化八校聯(lián)考)“x13且x23”是“x1x26且x1x29”的_條件解析(1)由題意知f(1)ab，f(1)ab，f(2)4a2b.設(shè)m(ab)n(ab)4a2b，則解得f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1)1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10，即f(2)的取值范圍為5,10(2)取a2，b1，c1，d2，可知錯誤；當(dāng)c0時，acbcab，錯誤；，c0，又c20，ab，正確；取ac2，bd1，可知錯誤(3)x13，x23x
4、1x26，x1x29；反之不成立，例如x1，x220，x1x26，x1x2109，但x13.故“x13且x23”是“x1x26且x1x29”的充分不必要條件答案(1)5,10(2)(3)充分不必要方法技巧不等式性質(zhì)應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)不等式成立問題熟記不等式性質(zhì)的條件和結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運用是關(guān)鍵，要注意不等式性質(zhì)成立的前提條件(2)與充分、必要條件相結(jié)合問題用不等式的性質(zhì)分別判斷pq和qp是否正確，要注意特殊值法的應(yīng)用(3)與命題真假判斷相結(jié)合問題解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗證的方法能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.設(shè)a，b0，)，A，B，則A，B
5、的大小關(guān)系是_解析：由題意得，B2A220，且A0，B0，可得AB.答案：AB2.若m0，n0且mn0，則下列不等式中成立的序號是_nmnm；nmmn；mnmn；mnnm.解析：法一：(特殊值法)令m3，n2分別代入各不等式中檢驗即可法二：mn0mnnm，又由于m0n，故mnnm成立答案：3.若a0ba，cd0，則下列結(jié)論：adbc；0；acbd；a(dc)b(dc)中，成立的個數(shù)是_解析：a0b，cd0，ad0，bc0，adbc，故不成立a0ba，ab0，cd0，cd0，a(c)(b)(d)，acbd0，0，故成立cd，cd，ab，a(c)b(d)，acbd，故成立ab，dc0，a(dc)b
6、(dc)，故成立成立的個數(shù)為3.答案：34.設(shè)a，b是實數(shù)，則“ab1”是“ab”的_條件解析：因為a，若ab1，顯然a0，則充分性成立；當(dāng)a，b時，顯然不等式ab成立，但ab1不成立，所以必要性不成立答案：充分不必要突破點(二)一元二次不等式) 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1三個“二次”之間的關(guān)系判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有兩個相異實根x1，x2(x1x2)有兩個相等實根x1x2沒有實數(shù)根一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|xx1或xx2R一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx22.不等式a
7、x2bxc0(0)恒成立的條件(1)不等式ax2bxc0對任意實數(shù)x恒成立或(2)不等式ax2bxc0對任意實數(shù)x恒成立或考點貫通抓高考命題的“形”與“神”一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法和步驟 例1解下列不等式：(1)3x22x80；(2)0x2x24；(3)ax2(a1)x10(a0)解(1)原不等式可化為3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集為.(2)原不等式等價于借助于數(shù)軸，如圖所示，原不等式的解集為.(3)原不等式變?yōu)?ax1)(x1)0，因為a0，所以a(x1)0.所以當(dāng)a1，即1時，解為x1；當(dāng)a1時，解集為；當(dāng)0a1，即1時，解為1x.綜
8、上，當(dāng)0a1時，不等式的解集為；當(dāng)a1時，不等式的解集為；當(dāng)a1時，不等式的解集為.方法技巧解含參數(shù)的一元二次不等式時分類討論的依據(jù)(1)二次項中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項系數(shù)為正的形式(2)當(dāng)不等式對應(yīng)方程的實根的個數(shù)不確定時，討論判別式與0的關(guān)系(3)確定無實根時可直接寫出解集，確定方程有兩個實根時，要討論兩實根的大小關(guān)系，從而確定解集形式由一元二次不等式恒成立求參數(shù)范圍對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方另外，常轉(zhuǎn)化為
9、求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)求最值考法(一)在實數(shù)集R上恒成立例2已知不等式mx22xm10，是否存在實數(shù)m使得對所有的實數(shù)x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由解不等式mx22xm10恒成立，即函數(shù)f(x)mx22xm1的圖象全部在x軸下方當(dāng)m0時，12x0，則x，不滿足題意；當(dāng)m0時，函數(shù)f(x)mx22xm1為二次函數(shù)，需滿足開口向下且方程mx22xm10無解，即不等式組的解集為空集，即m無解綜上可知不存在這樣的實數(shù)m使不等式恒成立考法(二)在某區(qū)間上恒成立例3設(shè)函數(shù)f(x)mx2mx1(m0)，若對于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范圍解要使f(x)m
10、5在1,3上恒成立，則mx2mxm60，即m2m60在x1,3上恒成立法一：令g(x)m2m6，x1,3當(dāng)m0時，g(x)在1,3上是增函數(shù)，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，則0m.當(dāng)m0時，g(x)在1,3上是減函數(shù)，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，則m0.綜上所述，m的取值范圍是.法二：因為x2x120，又因為m(x2x1)60，所以m.因為函數(shù)y在1,3上的最小值為，所以只需m即可因為m0，所以m的取值范圍是mm0或0m.考法(三)在參數(shù)的某區(qū)間上恒成立時求變量范圍例4對任意m1,1，函數(shù)f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范圍解由f(x)x2(m
11、4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4，則原問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一次函數(shù)問題由題意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，解得x1或x3.故當(dāng)x的取值范圍是(，1)(3，)時，對任意的m1,1，函數(shù)f(x)的值恒大于零易錯提醒解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)一般地，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù)即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.(2018常州月考)已知函數(shù)f(x)則不等式f(x2)f(32x)的解集是_解析：當(dāng)x時，原不等式化為x232x，解得x3或1x；當(dāng)x時，
12、原不等式化為x2(32x)2，解得x3. 綜上，x3或1x3.答案：(，3)(1,3)2.已知不等式x22x30的解集為A，不等式x2x60的解集為B，不等式x2axb0的解集為AB，則ab等于_解析：由題意得，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，a1，b2，則ab3.答案：33.(2018無錫期初測試)定義在R上的運算：x*yx(1y)，若不等式(xy)*(xy)1對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)y的取值范圍是_解析：(xy)*(xy)(xy)(1xy)xx2yy21. yy2x2x1，要使該不等式對一切實數(shù)x恒成立，則需有yy2(x2x1)min，解得y.答案：4.
13、若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，則a的取值范圍是_解析：原不等式為(xa)(x1)0，當(dāng)a1時，不等式的解集為a,1，此時只要a4即可，即4a1；當(dāng)a1時，不等式的解為x1，此時符合要求；當(dāng)a1時，不等式的解集為1，a，此時只要a3即可，即1a3.綜上可得4a3.答案：4,35.要使不等式x2(a6)x93a0，當(dāng)|a|1時恒成立，則x的取值范圍為_解析：將原不等式整理為形式上是關(guān)于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x9.因為f(a)0在|a|1時恒成立，所以若x3，則f(a)0，不符合題意，應(yīng)舍去若x3，則由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得即解得x2或x4.答
14、案：(，2)(4，)課時達(dá)標(biāo)檢測 重點保分課時一練小題夯雙基，二練題點過高考 練基礎(chǔ)小題強(qiáng)化運算能力1若ab0，則下列不等式成立的序號有_；|a|b|；ab2；ab.解析：ab0，且|a|b|，ab2，又f(x)x是減函數(shù)，ab.答案：2(2018啟東中學(xué)月考)若不等式2kx2kx0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為_解析：當(dāng)k0時，顯然成立；當(dāng)k0時，即一元二次不等式2kx2kx0對一切實數(shù)x都成立，則解得3k0.綜上，滿足不等式2kx2kx0對一切實數(shù)x都成立的k的取值范圍是(3,0答案：(3,03不等式組的解集是_解析：x24x30，1x3.又2x27x60，(x2)(2x3)0，x或
15、x2，原不等式組的解集為(2,3)答案：(2,3)4已知關(guān)于x的不等式ax22xc0的解集為，則不等式cx22xa0的解集為_解析：依題意知，解得a12，c2，不等式cx22xa0，即為2x22x120，即x2x60，解得2x3.所以不等式的解集為(2,3)答案：(2,3)練常考題點檢驗高考能力一、填空題1設(shè)集合Ax|x2x60，集合B為函數(shù)y的定義域，則AB_.解析：Ax|x2x60x|3x2，由x10得x1，即Bx|x1，所以ABx|1x2答案：x|1x22已知a，b，cR，則下列命題正確的序號是_ac2bc2ab；ab；.解析：當(dāng)ac2bc2時，c20，所以ab，故正確；當(dāng)c0時，ab，
16、故錯誤；因為0或故錯誤，正確答案：3已知a0，且a1，maa21，naa1，則m，n的大小關(guān)系是_解析：由題易知m0，n0，兩式作商，得a(a21)(a1)aa(a1)，當(dāng)a1時，a(a1)0，所以aa(a1)a01，即mn；當(dāng)0a1時，a(a1)0，所以aa(a1)a01，即mn.綜上，對任意的a0，a1，都有mn.答案：mn4若不等式組的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：不等式x22x30的解集為1,3，假設(shè)的解集為空集，則不等式x24x(a1)0的解集為集合x|x1或x3的子集，因為函數(shù)f(x)x24x(a1)的圖象的對稱軸方程為x2，所以必有f(1)4a0，即a4，則使的解集不
17、為空集的a的取值范圍是a4.答案：4，)5若不等式x2ax20在區(qū)間1,5上有解，則a的取值范圍是_解析：由a280，知方程恒有兩個不等實根，又知兩根之積為負(fù)，所以方程必有一正根、一負(fù)根于是不等式在區(qū)間1,5上有解的充要條件是f(5)0，解得a，故a的取值范圍為.答案：6(2018無錫中學(xué)模擬)在R上定義運算：adbc，若不等式1對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的最大值為_解析：由定義知，不等式1等價于x2x(a2a2)1，x2x1a2a對任意實數(shù)x恒成立x2x12，a2a，解得a，則實數(shù)a的最大值為.答案：7(2018姜堰中學(xué)月考)若關(guān)于x的不等式(2x1)2kx2的解集中整數(shù)恰好有2個，則實數(shù)
18、k的取值范圍是_解析：因為原不等式等價于(k4)x24x10，從而方程(k4)x24x10的判別式4k0，且有4k0，故0k4.又原不等式的解集為x，且，則1,2一定為所求的整數(shù)解，所以23，得k的取值范圍為.答案：8若0a1，則不等式(ax)0的解集是_解析：原不等式為(xa)0，由0a1得a，ax.答案：9已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則不等式f(x)4的解集為_解析：若x0，則x0，則f(x)bx23x.因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)，即bx23xx2ax，可得a3，b1，所以f(x)當(dāng)x0時，由x23x4解得0x4；當(dāng)x0時，由x23x4解得x0，所以不等式f(x)4的解集為(
19、，4)答案：(，4)10(2018鹽城中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)x23x，則不等式f(x1)x4的解集是_解析：由題意得f(x)f(x1)即f(x1)所以不等式f(x1)x4可化為或解得x4.答案：(4，)二、解答題11已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解關(guān)于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集為(1,3)，求實數(shù)a，b的值解：(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32.不等式的解集為a|32a32(2)f(x)b的解集為(1,3)，方程3x2a(6a)x6b0的兩根為1
20、,3，解得故a的值為3或3，b的值為3.12已知函數(shù)f(x)x22ax1a，aR.(1)若a2，試求函數(shù)y(x0)的最小值；(2)對于任意的x0,2，不等式f(x)a成立，試求a的取值范圍解：(1)依題意得yx4.因為x0，所以x2.當(dāng)且僅當(dāng)x時，即x1時，等號成立所以y2.所以當(dāng)x1時，y的最小值為2.(2)因為f(x)ax22ax1，所以要使得“對任意的x0,2，不等式f(x)a成立”只要“x22ax10在0,2恒成立”不妨設(shè)g(x)x22ax1，則只要g(x)0在0,2上恒成立即可所以即解得a.則a的取值范圍為.第二節(jié)二元一次不等式(組) 與簡單的線性規(guī)劃問題本節(jié)主要包括3個知識點：1.
21、二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域；2.簡單的線性規(guī)劃問題；3.線性規(guī)劃的實際應(yīng)用.突破點(一)二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域不等式表示區(qū)域AxByC0直線AxByC0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域不包括邊界直線AxByC0包括邊界直線不等式組各個不等式所表示平面區(qū)域的公共部分2.確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法步驟以上簡稱為“直線定界，特殊點定域”.考點貫通抓高考命題的“形”與“神”求平面區(qū)域的面積1.求平面區(qū)域的面積，要先作出不等式組表示的平面區(qū)域，然后根據(jù)區(qū)域的形狀求面積2求平面區(qū)域的面積問題，平面區(qū)域
22、形狀為三角形的居多，尤其當(dāng)ABC為等腰直角三角形(A為直角)時，點B到直線AC的距離即ABC的腰長|AB|.由點到直線的距離公式求得|AB|，面積便可求出例1不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，ABC的面積即所求求出點A，B，C的坐標(biāo)分別為A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，則ABC的面積為S(21)21.答案1方法技巧解決求平面區(qū)域面積問題的方法步驟(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域；(2)判斷平面區(qū)域的形狀，并求得直線的交點坐標(biāo)、圖形的邊長、相關(guān)線段的長(三角形的高、四邊形的高)等，若為規(guī)則圖形則利用圖形的面積公式求解；若為不規(guī)則圖形則利用割
23、補法求解提醒求面積時應(yīng)考慮圓、平行四邊形等圖形的對稱性根據(jù)平面區(qū)域滿足的條件求參數(shù)不等式組中的參數(shù)影響平面區(qū)域的形狀，如果不等式組中的不等式含有參數(shù)，這時它表示的區(qū)域的分界線是一條變動的直線，此時要根據(jù)參數(shù)的取值范圍確定這條直線的變化趨勢、傾斜角度、上升還是下降、是否過定點等，確定區(qū)域的可能形狀，進(jìn)而根據(jù)題目要求求解；如果是一條曲線與平面區(qū)域具有一定的位置關(guān)系，可以考慮對應(yīng)的函數(shù)的變化趨勢，確定極限情況求解；如果目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)，則要根據(jù)這個目標(biāo)函數(shù)的特點考察參數(shù)變化時目標(biāo)函數(shù)與平面區(qū)域的關(guān)系，在運動變化中求解例2若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是_解析不等式組表示的平面
24、區(qū)域如圖所示(陰影部分)由得A，；由得B(1,0)若原不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則直線xya中a的取值范圍是0a1或a.答案(0,1易錯提醒此類問題的難點在于參數(shù)取值范圍的不同導(dǎo)致平面區(qū)域或者曲線位置的改變，解答的思路可能會有變化，所以求解時要根據(jù)題意進(jìn)行必要的分類討論及對特殊點、特殊值的考慮能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.設(shè)動點P(x，y)在區(qū)域：上，過點P任作直線l，設(shè)直線l與區(qū)域的公共部分為線段AB，則以AB為直徑的圓的面積的最大值為_解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，則根據(jù)圖形可知，AB長度的最大值為4，則以AB為直徑的圓的面積為最大值S24.答案：4
25、2.若不等式組表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于，則m的值為_解析：作出可行域，如圖中陰影部分所示，易求A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(2,0)，B(1m,1m)，C，D(2m,0)SABCSADBSADC|AD|yByC|(22m)(1m)，解得m1或m3(舍去)答案：13.不等式組 表示的平面區(qū)域的面積為_解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，可知SABC2(22)4.答案：44.若滿足條件的整點(x，y)恰有9個，其中整點是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點，則整數(shù)a的值為_解析：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分，當(dāng)a0時，只有4個整點(1,1)，(0,0)，(1，0)，(2,
26、0)；當(dāng)a1時，增加了(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)共5個整點，此時，整點的個數(shù)共9個，故整數(shù)a1.答案：1突破點(二)簡單的線性規(guī)劃問題 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1線性規(guī)劃中的基本概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的不等式(組)線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z2x3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次函數(shù)解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題2.簡單線性規(guī)劃問題
27、的圖解法在確定線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，用圖解法求最優(yōu)解的步驟概括為“畫、移、求、答”即考點貫通抓高考命題的“形”與“神”線性目標(biāo)函數(shù)的最值例1(1)(2017山東高考)已知x，y滿足約束條件則zx2y的最大值是_(2)(2017全國卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z2xy的最小值是_解析(1)作出滿足約束條件的可行域如圖中陰影部分所示，將直線y進(jìn)行平移，顯然當(dāng)該直線過點A時z取得最大值，由解得即A(3,4)，所以zmax385.(2)法一：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示易求得可行域的頂點A(0，1)，B(6，3)，C(6，3)，當(dāng)直線z2xy過點B(6，3)時，z取得最小值，
28、zmin2(6)315.法二：易求可行域頂點A(0,1)，B(6，3)，C(6，3)，分別代入目標(biāo)函數(shù)，求出對應(yīng)的z的值依次為1，15,9，故最小值為15.答案(1)5(2)15方法技巧求解線性目標(biāo)函數(shù)最值的常用方法線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得，所以對于一般的線性規(guī)劃問題，若可行域是一個封閉的圖形，我們可以直接解出可行域的頂點，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值；若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值非線性目標(biāo)函數(shù)的最值例2(1)(2018無錫期初測試)已知變量x，y滿足條件則的取值范圍是_(2)若變量x，y滿足則x2y2的最大
29、值是_解析(1)畫出可行域如圖所示，等價于點(x，y)到點(2,0)連線的斜率，又kAB2，kBO0，從而2,0(2)作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示x2y2表示平面區(qū)域內(nèi)點到原點距離的平方，由得A(3，1)，由圖易得(x2y2)max|OA|232(1)210.答案(1)2,0(2)10方法技巧非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題的常見類型及求法(1)距離平方型：目標(biāo)函數(shù)為z(xa)2(yb)2時，可轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(x，y)與點(a，b)之間的距離的平方求解(2)斜率型：對形如z(ac0)型的目標(biāo)函數(shù)，可利用斜率的幾何意義來求最值，即先變形為z的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(x，y)與
30、點連線的斜率的倍的取值范圍、最值等(3)點到直線距離型：對形如z|AxByC|型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為z的形式，將問題化為求可行域內(nèi)的點(x，y)到直線AxByC0的距離的倍的最值.線性規(guī)劃中的參數(shù)問題例3已知x，y滿足約束條件若zaxy的最大值為4，則a_.解析畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，若zaxy的最大值為4，則最優(yōu)解為x1，y1或x2，y0，經(jīng)檢驗知x2，y0符合題意，2a04，此時a2.答案2方法技巧求解線性規(guī)劃中含參問題的兩種基本方法(1)把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或范圍；(2)先分離
31、含有參數(shù)的式子，通過觀察的方法確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.(2017全國卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z3x2y的最小值為_解析：畫出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由可行域知，當(dāng)直線yx過點A時，在y軸上的截距最大，此時z最小，由解得zmin5.答案：52.已知(x，y)滿足則k的最大值為_解析：如圖，不等式組表示的平面區(qū)域為AOB的邊界及其內(nèi)部區(qū)域，k表示平面區(qū)域內(nèi)的點(x，y)和點(1,0)連線的斜率由圖知，平面區(qū)域內(nèi)的點(0,1)和點(1,0)連線的斜率最大，所以kmax1.答案：13.(2018銀川模擬)設(shè)zx
32、y，其中實數(shù)x，y滿足若z的最大值為6，則z的最小值為_解析：作出實數(shù)x，y滿足的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，由圖知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zxy經(jīng)過點C(k，k)時，取得最大值，且zmaxkk6，得k3.當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zxy經(jīng)過點B(6,3)時，取得最小值，且zmin633.答案：34.(2018蘇州月考)設(shè)x，y滿足條件若目標(biāo)函數(shù)zaxby(a0，b0)的最大值為2，則的最小值為_解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，當(dāng)直線axbyz(a0，b0)過直線xy20與直線3xy60的交點(4,6)時，目標(biāo)函數(shù)zaxby(a0，b0)取得最大值2，即2a3b1，而(2a3b)13625.答案：255.設(shè)
33、x，y滿足約束條件則z(x1)2y2的最大值為_解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示(x1)2y2可看作點(x，y)到點P(1，0)的距離的平方，由圖可知可行域內(nèi)的點A到點P(1，0)的距離最大解方程組得A點的坐標(biāo)為(3,8)，代入z(x1)2y2，得zmax(31)28280.答案：80突破點(三)線性規(guī)劃的實際應(yīng)用 基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”解線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟考點貫通抓高考命題的“形”與“神”線性規(guī)劃的實際應(yīng)用典例某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.
34、5 kg，乙材料0.3 kg，用3個工時生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900 元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為_元解析設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，由已知可得約束條件為即目標(biāo)函數(shù)為z2 100x900y，由約束條件作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分作直線2 100x900y0，即7x3y0并上下平移，易知當(dāng)直線經(jīng)過點M時，z取得最大值，聯(lián)立解得B(60,100)則zmax2 10060900100216 000(元)答案216 000方法技巧求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的三個注意點(1
35、)明確問題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約束條件是否能夠取到等號(2)注意結(jié)合實際問題的實際意義，判斷所設(shè)未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否為整數(shù)、是否為非負(fù)數(shù)等(3)正確地寫出目標(biāo)函數(shù)，一般地，目標(biāo)函數(shù)是等式的形式能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1某校今年計劃招聘女教師a名，男教師b名，若a，b滿足不等式組設(shè)這所學(xué)校今年計劃招聘教師最多x名，則x_.解析：如圖所示，畫出約束條件所表示的區(qū)域，即可行域，作直線ba0，并平移，結(jié)合a，bN，可知當(dāng)a6，b7時，ab取最大值，故x6713.答案：132A，B兩種規(guī)格的產(chǎn)品需要在甲、乙兩臺機(jī)器上各自加工一道工序才能成為成品已知A產(chǎn)品需
36、要在甲機(jī)器上加工3小時，在乙機(jī)器上加工1小時；B產(chǎn)品需要在甲機(jī)器上加工1小時，在乙機(jī)器上加工3小時在一個工作日內(nèi)，甲機(jī)器至多只能使用11小時，乙機(jī)器至多只能使用9小時A產(chǎn)品每件利潤300元，B產(chǎn)品每件利潤400元，則這兩臺機(jī)器在一個工作日內(nèi)創(chuàng)造的最大利潤是_元解析：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，則x，y滿足約束條件生產(chǎn)利潤為z300x400y.畫出可行域，如圖中陰影部分(包含邊界)內(nèi)的整點，顯然z300x400y在點M或其附近的整數(shù)點處取得最大值，由方程組解得則zmax 300340021 700.故最大利潤是1 700元答案：1 7003某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)
37、1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為_萬元.甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128解析：設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x噸、y噸，每天所獲利潤為z萬元，則有z3x4y，作出可行域如圖陰影部分所示，由圖形可知，當(dāng)直線z3x4y經(jīng)過點A(2,3)時，z取最大值，最大值為324318.答案：184制訂投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且還要考慮可能出現(xiàn)的虧損，某投資人打算投資甲、乙兩個項目，根據(jù)預(yù)測，甲、乙項目可能出的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%，投資人計劃投資
38、金額不超過10萬元，要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元才能使可能的盈利最大？解：設(shè)分別向甲、乙兩項目投資x萬元，y萬元，由題意知目標(biāo)函數(shù)zx0.5y，作出可行域如圖所示，作直線l0：x0.5y0，并作平行于直線l0的一組直線x0.5yz，zR，與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的M點，且與直線x0.5y0的距離最大，這里M點是直線xy10和0.3x0.1y1.8的交點，解方程組解得x4，y6，此時z140.567(萬元) 70，當(dāng)x4，y6時z取得最大值投資人用4萬元投資甲項目，6萬元投資乙項目，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的
39、盈利最大課時達(dá)標(biāo)檢測 重點保分課時一練小題夯雙基，二練題點過高考 練基礎(chǔ)小題強(qiáng)化運算能力1不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于_解析：平面區(qū)域如圖中陰影部分所示解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，|BC|4.SABC1.答案：2若x，y滿足則zx2y的最大值為_解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示作直線x2y0并上下平移，易知當(dāng)直線過點A(0,1)時，zx2y取最大值，即zmax0212.答案：23若x，y滿足約束條件則(x2)2(y3)2的最小值為_解析：不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示，由題意可知點P(2，3)到直線xy20的距離為，所以(x2)2(y3)2的最小值為2.答案
40、：4設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z3xy的最大值為_解析：根據(jù)約束條件作出可行域如圖中陰影部分所示，z3xy，y3xz，當(dāng)該直線經(jīng)過點A(2,2)時，z取得最大值，即zmax 3224.答案：45(2018常州月考)已知實數(shù)x，y滿足條件則yx的最大值為_解析：令zyx，作出不等式組對應(yīng)的區(qū)域，作出指數(shù)函數(shù)yx，平移函數(shù)yx的圖象，可知當(dāng)函數(shù)yxz的圖象經(jīng)過點A時z取最大值由得A(1,1)，所以xy1時，yx取最大值.答案：練常考題點檢驗高考能力一、填空題1(2018東臺中學(xué)月考)在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a_.解析：不等式組所圍成的區(qū)域如
41、圖所示則A(1,0)，B(0,1)，C(1,1a)，且a1， SABC2， (1a)12，解得a3.答案：32(2018江蘇八市高三質(zhì)檢)已知x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)z6x2y的最小值是10，則z的最大值是_解析：由z6x2y，得y3x，作出不等式組所表示可行域的大致圖形如圖中陰影部分所示，由圖可知當(dāng)直線y3x經(jīng)過點C時，直線的縱截距最小，即z6x2y取得最小值10，由解得即C(2，1)，將其代入直線方程2xyc0，得c5，即直線方程為2xy50，平移直線3xy0，當(dāng)直線經(jīng)過點D時，直線的縱截距最大，此時z取最大值，由得即D(3,1)，將點D的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)z6x2y，得zmax63220
42、.答案：203(2017浙江高考)若x，y滿足約束條件則zx2y的取值范圍是_解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由zx2y，得yx，是直線yx在y軸上的截距，根據(jù)圖形知，當(dāng)直線yx過A點時，取得最小值由得x2，y1，即A(2,1)，此時，z4，zx2y的取值范圍是4，)答案：4，)4(2018安徽江南十校聯(lián)考)若x，y滿足約束條件則zyx的取值范圍為_解析：作出可行域如圖所示，設(shè)直線l：yxz，平移直線l，易知當(dāng)l過直線3xy0與xy40的交點(1,3)時，z取得最大值2；當(dāng)l與拋物線yx2相切時，z取得最小值，由消去y得x22x2z0，由48z0，得z，故z2.答案：5在
43、平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影由區(qū)域中的點在直線xy20上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則|AB|_.解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，過點C，D分別作直線xy20的垂線，垂足分別為A，B，則四邊形ABDC為矩形，由得C(2，2)由得D(1,1)所以|AB|CD|3.答案：36若x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)zax2y僅在點(1,0)處取得最小值，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，當(dāng)a0時，顯然成立當(dāng)a0時，直線ax2yz0的斜率kkAC1，a2.當(dāng)a0時，kkAB2， a4.綜上可得4a2.答案：(4,2)7
44、若直線y2x上存在點(x，y)滿足約束條件則實數(shù)m的最大值為_解析：約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示當(dāng)直線xm從如圖所示的實線位置運動到過A點的虛線位置時，m取最大值解方程組得A點坐標(biāo)為(1,2)，m的最大值是1.答案：18(2018如東中學(xué)月考)當(dāng)實數(shù)x，y滿足時，1axy4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：作出不等式組所表示的區(qū)域如圖所示，由1axy4得，a0，且在(1,0)點取得最小值，在(2,1)取得最大值，故a1,2a14，故a取值范圍為.答案：9已知x，y滿足則的取值范圍是_解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，因為1，而表示平面區(qū)域內(nèi)的點與點A(4,2)連線的斜率，由圖知
45、斜率的最小值為0，最大值為kAB，所以1的取值范圍是，即的取值范圍是.答案：10實數(shù)x，y滿足不等式組則z|x2y4|的最大值為_解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示z|x2y4|，即其幾何含義為陰影區(qū)域內(nèi)的點到直線x2y40的距離的倍由得B點坐標(biāo)為(7,9)，顯然點B到直線x2y40的距離最大，此時zmax21.答案：21二、解答題11若x，y滿足約束條件(1)求目標(biāo)函數(shù)zxy的最值；(2)若目標(biāo)函數(shù)zax2y僅在點(1,0)處取得最小值，求a的取值范圍解：(1)作出可行域如圖，可求得A(3，4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直線xy0，可知zxy過A(3,4)時取最小
46、值2，過C(1,0)時取最大值1.所以z的最大值為1，最小值為2.(2)直線ax2yz僅在點(1,0)處取得最小值，由圖象可知12，解得4a2.故所求a的取值范圍為(4,2)12(2017天津高考)電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇，每次播放連續(xù)劇時，需要播放廣告已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時，連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示：連續(xù)劇播放時長(分鐘)廣告播放時長(分鐘)收視人次(萬)甲70560乙60525已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘，廣告的總播放時間不少于30分鐘，且甲連續(xù)劇播放的次數(shù)不多于乙連續(xù)劇播放次數(shù)的2倍分別用x，y表示每周計劃播出的甲、乙兩套
47、連續(xù)劇的次數(shù)(1)用x，y列出滿足題目條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次，才能使總收視人次最多？解：(1)由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為即該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為圖中的陰影部分中的整數(shù)點(2)設(shè)總收視人次為z萬，則目標(biāo)函數(shù)為z60x25y.考慮z60x25y，將它變形為yx，這是斜率為，隨z變化的一族平行直線.為直線在y軸上的截距，當(dāng)取得最大值時，z的值最大又因為x，y滿足約束條件，所以由圖可知，當(dāng)直線z60x25y經(jīng)過可行域上的點M時，截距最大，即z最大解方程組得點M的坐標(biāo)為(6,3)所以電視臺每周播出甲連續(xù)劇6次、乙連續(xù)劇3
48、次時才能使總收視人次最多第三節(jié)基本不等式本節(jié)主要包括2個知識點：1.利用基本不等式求最值；2.基本不等式的綜合問題.突破點(一)利用基本不等式求最值基礎(chǔ)聯(lián)通抓主干知識的“源”與“流”1基本不等式(1)基本不等式成立的條件：a0，b0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號2幾個重要的不等式不等式成立條件等號成立條件a2b22aba，bRab2a，b同號abab2a，bRab2a，bRab3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0，b0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)4利用基本不等式求最值問題已知x0，y0，則：(1)如果積xy是定
49、值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最小值是2.(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)考點貫通抓高考命題的“形”與“神”通過拼湊法利用基本不等式求最值例1(1)已知0x1，則x(33x)取得最大值時x的值為_(2)已知x，則f(x)4x2的最大值為_解析(1)0x1，x(33x)3x(1x)32.當(dāng)且僅當(dāng)x1x，即x時，等號成立(2)因為x，所以54x0，則f(x)4x23231.當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時，等號成立故f(x)4x2的最大值為1.答案(1)(2)1方法技巧通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變
50、形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提通過常數(shù)代換法利用基本不等式求最值例2已知a0，b0，ab1，則的最小值為_解析a0，b0，ab1，2224，即的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立答案4方法技巧常數(shù)代換法求最值的方法步驟常數(shù)代換法適用于求解條件最值問題應(yīng)用此種方法求解最值的基本步驟為：(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表
51、達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值通過消元法利用基本不等式求最值例3已知正實數(shù)x，y滿足xy2xy4，則xy的最小值為_解析因為xy2xy4，所以x.由x0，得2y4，又y0，則0y4，所以xyy(y2)323，當(dāng)且僅當(dāng)y2(0y4)，即y2時取等號答案23方法技巧通過消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解有時會出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解能力練通抓應(yīng)用體驗的“得”與“失”1.(2018海口調(diào)研)已知a，b(0，)，且ab1，則ab的最大值為_解析：a，b(0，)，1ab2，ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立答案：2.已知函數(shù)yx4(x1)，當(dāng)xa時，y取得最小值b，則ab_.解析：yx4x15，因為x1，所以x10，0.所以由基本不等式，得yx152 51，當(dāng)且僅當(dāng)x1，即(x1)29，即x2時取等號，所以a2，b1，ab3.答案：33.已知x0，y0，x3yxy9，則x3y的最小值為_解析：由已知得xy9(x3y)，即3xy273(x3y)2，當(dāng)且僅當(dāng)x3y，即x3，y1時取等號，令x3yt，則t0，且t212t1080，得t6.即x3y6.答案：64.已知a0，b0，ab1，則的最小值為_解析：
（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式學(xué)案 文
