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1、(浙江專用)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測(一)小題考法——平面向量
一、選擇題
1.已知平面向量a=(3,4),b=,若a∥b,則實數(shù)x為( )
A.- B.
C. D.-
解析:選C ∵a∥b,∴3×=4x,解得x=,故選C.
2.(2019屆高三·杭州六校聯(lián)考)已知向量a和b的夾角為120°,且|a|=2,|b|=5,則(2a-b)·a=( )
A.9 B.10
C.12 D.13
解析:選D ∵向量a和b的夾角為120°,
且|a|=2,|b|=5,
∴a·b=2×5×cos 120°=-5,
∴(2a-b)·a=2
2、a2-a·b=2×4+5=13,
故選D.
3.(2018·全國卷Ⅰ)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,則=( )
A.- B.-
C.+ D.+
解析:選A 作出示意圖如圖所示.=+=+=×(+)+(-)=-.故選A.
4.設(shè)向量a=(-2,1),a+b=(m,-3),c=(3,1),若(a+b)⊥c,則cos〈a,b〉=( )
A.- B.
C. D.-
解析:選D 由(a+b)⊥c可得,m×3+(-3)×1=0,解得m=1.所以a+b=(1,-3),故b=(a+b)-a=(3,-4).
所以cos〈a,b〉===-,故選D
3、.
5.P是△ABC所在平面上一點,滿足|-|-|+-2|=0,則△ABC的形狀是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等邊三角形
解析:選B ∵P是△ABC所在平面上一點,且|-|-|+-2|=0,
∴||-|(-)+(-)|=0,
即||=|+|,
∴|-|=|+|,
兩邊平方并化簡得·=0,
∴⊥,∴∠A=90°,
則△ABC是直角三角形.
6.(2018·浙江二模)如圖,設(shè)A,B是半徑為2的圓O上的兩個動點,點C為AO中點,則·的取值范圍是( )
A.[-1,3] B.[1,3]
C.[-3,-1] D.
4、[-3,1]
解析:選A 建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,
可得O(0,0),A(-2,0),C(-1,0),設(shè)B(2cos θ,2sin θ).θ∈[0,2π).
則·=(1,0)·(2cos θ+1,2sin θ)=2cos θ+1∈[-1,3].
故選A.
7.(2019屆高三·浙江名校聯(lián)考)已知在△ABC中,AB=4,AC=2,AC⊥BC,D為AB的中點,點P滿足=+,則·(+)的最小值為( )
A.-2 B.-
C.- D.-
解析:選C 由=+知點P在直線CD上,以點C為坐標(biāo)原點,CB所在直線為x軸,CA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則C(0,0
5、),A(0,2),B(2,0),D(,1),∴直線CD的方程為y=x,設(shè)P,則=,=,=,∴+=,∴·(+)=-x(2-2x)+x2-x=x2-x=2-,∴當(dāng)x=時,·(+)取得最小值-.
8.已知單位向量a,b,c是共面向量,a·b=,a·c=b·c<0,記m=|λa-b|+|λa-c|(λ∈R),則m2的最小值是( )
A.4+ B.2+
C.2+ D.4+
解析:選B 由a·c=b·c,可得c·(a-b)=0,故c與a-b垂直,又a·c=b·c<0,記=a,=b,=c,以O(shè)為坐標(biāo)原點,的方向為x軸正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)=λa,則|λa-b|+|λa-c|
6、=||+||≥|b-c|=||,由圖可知最小值為BC,易知∠OBC=∠BCO=15°,所以∠BOC=150°,在△BOC中,BC2=BO2+OC2-2BO·OC·cos∠BOC=2+.所以m2的最小值是2+.
9.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若=λ+μ,則λ+μ的最大值為( )
A.3 B.2
C. D.2
解析:選A 以A為坐標(biāo)原點,AB,AD所在直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直線BD的方程為2x+y-2=0,點C到直線BD的距離為=,所以圓C
7、:(x-1)2+(y-2)2=.
因為P在圓C上,所以P.
又=(1,0),=(0,2),=λ+μ=(λ,2μ),
所以
λ+μ=2+cos θ+sin θ=2+sin(θ+φ)≤3(其中tan φ=2),當(dāng)且僅當(dāng)θ=+2kπ-φ,k∈Z時,λ+μ取得最大值3.
10.如圖,在四邊形ABCD中,點E,F(xiàn)分別是邊AD,BC的中點,設(shè)·=m,·=n.若AB=,EF=1,CD=,則( )
A.2m-n=1 B.2m-2n=1
C.m-2n=1 D.2n-2m=1
解析:選D ·=(+)·(-+)=-2+·-·+·=-2+·(-)+m=-2+·(++-)+m=·+m.又=
8、++,=++,兩式相加,再根據(jù)點E,F(xiàn)分別是邊AD,BC的中點,化簡得2=+,兩邊同時平方得4=2+3+2·,所以·=-,則·=,所以n=+m,即2n-2m=1,故選D.
二、填空題
11.(2018·龍巖模擬)已知向量a,b夾角為60°,且|a|=1,|2a-b|=2,則|b|=________.
解析:∵|2a-b|=2,∴4a2-4a·b+b2=12,
∴4×12-4×1×|b|cos 60°+|b|2=12,
即|b|2-2|b|-8=0,
解得|b|=4.
答案:4
12.(2019屆高三·寧波效實模擬)如圖,在平面四邊形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,則(+
9、)·(+)=________.
解析:∵在平面四邊形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,
∴+=+++=+=-,
+=+++=+,
∴(+)·(+)=(-)(+)=2-2=9-16=-7.
答案:-7
13.設(shè)向量a,b滿足|a+b|=2|a-b|,|a|=3,則|b|的最大值是________;最小值是________.
解析:由|a+b|=2|a-b|兩邊平方,得a2+2a·b+b2=4(a2-2a·b+b2),化簡得到3a2+3b2=10a·b≤10|a||b|,|b|2-10|b|+9≤0,解得1≤|b|≤9.
答案:9 1
14.(2018·嘉興期末)在Rt△A
10、BC中,AB=AC=2,D為AB邊上的點,且=2,則·=________;若=x+y,則xy=________.
解析:以A為坐標(biāo)原點,,分別為x軸,y軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(2,0),C(0,2),D,所以·=·(0,-2)=4.由=x+y,得=x(0,-2)+y(2,-2),所以=2y,-2=-2x-2y,解得x=,y=,所以xy=.
答案:4
15.(2018·溫州二模)若向量a,b滿足(a+b)2-b2=|a|=3,且|b|≥2,則a·b=________,a在b方向上的投影的取值范圍是________.
解析:向量a,b滿足(a+b)2-
11、b2=|a|=3,
∴a2+2a·b+b2-b2=3,
∴9+2a·b=3,∴a·b=-3;
則a在b方向上的投影為|a|cos θ==,
又|b|≥2,∴-≤<0,
∴a在b方向上的投影取值范圍是.
答案:-3
16.(2018·溫州適應(yīng)性測試)已知向量a,b滿足|a|=|b|=a·b=2,向量x=λa+(1-λ)b,向量y=ma+nb,其中λ,m,n∈R,且m>0,n>0.若(y-x)·(a+b)=6,則m2+n2的最小值為________.
解析:法一:依題意得,[ma+nb-λa-(1-λ)b]·(a+b)=6,所以[(m-λ)a+(n-1+λ)b]·(a+b
12、)=6,因為|a|=|b|=a·b=2,所以4(m-λ)+4(n-1+λ)+2[(m-λ)+(n-1+λ)]=6,所以m+n-1=1,即m+n=2,所以m2+n2=m2+(2-m)2=2m2-4m+4=2(m-1)2+2≥2,當(dāng)且僅當(dāng)m=1時取等號,所以m2+n2的最小值為2.
法二:依題意得,[ma+nb-λa-(1-λ)b]·(a+b)=6,
即[(m-λ)a+(n-1+λ)b]·(a+b)=6,
因為|a|=|b|=a·b=2,所以4(m-λ)+4(n-1+λ)+2[(m-λ)+(n-1+λ)]=6,
所以m+n-1=1,即m+n=2,所以m2+n2=(m+n)2-2mn=4-2
13、mn≥4-22=2,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時取等號,所以m2+n2的最小值為2.
答案:2
17.已知在△ABC中,AC⊥AB,AB=3,AC=4.若點P在△ABC的內(nèi)切圓上運(yùn)動,則·(+)的最小值為________,此時點P的坐標(biāo)為________.
解析:因為AC⊥AB,所以以A為坐標(biāo)原點,以AB,AC所在的直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(3,0),C(0,4).由題意可知△ABC內(nèi)切圓的圓心為D(1,1),半徑為1.因為點P在△ABC的內(nèi)切圓上運(yùn)動,所以可設(shè)P(1+cos θ,1+sin θ)(0≤θ<2π).所以=(-1-cos θ,-1-sin
14、 θ),+=(1-2cos θ,2-2sin θ),所以·(+)=(-1-cos θ)(1-2cos θ)+(-1-sin θ)(2-2sin θ)=-1+cos θ+2cos2 θ-2+2sin2 θ=-1+cos θ≥-1-1=-2,當(dāng)且僅當(dāng)cos θ=-1,即P(0,1)時,·(+)取到最小值,且最小值為-2.
答案:-2 (0,1)
B組——能力小題保分練
1.已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點D,E分別是邊AB,BC的中點,連接DE并延長到點F,使得DE=2EF,則·的值為( )
A.- B.
C. D.
解析:選B 如圖所示,=+.
又D,E分別為AB,
15、BC的中點,且DE=2EF,所以=,=+=,
所以=+.
又=-,
則·=·(-)
=·-2+2-·
=2-2-·=||2-||2-×||×||×cos∠BAC.
又||=||=1,∠BAC=60°,
故·=--×1×1×=.
2.如圖,在等腰梯形ABCD中,已知DC∥AB,∠ADC=120°,AB=4,CD=2,動點E和F分別在線段BC和DC上,且=,=λ,則·的最小值是( )
A.4+13 B.4-13
C.4+ D.4-
解析:選B 在等腰梯形ABCD中,AB=4,CD=2,∠ADC=120°,易得AD=BC=2.由動點E和F分別在線段BC和DC上得,所以
16、<λ<1.所以·=(+)·(+)=·+·+·+·=||·||cos 120°+||·||-||·||+||·||cos 60°=4×2×+×2-4×(1-λ)×2+×(1-λ)×2×=-13+8λ+≥-13+2=4-13,當(dāng)且僅當(dāng)λ=時取等號.所以·的最小值是4-13.
3.(2018·臺州一模)已知單位向量e1,e2,且e1·e2=-,若向量a滿足(a-e1)·(a-e2)=,則|a|的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
解析:選B ∵單位向量e1,e2,且e1·e2=-,
∴〈e1,e2〉=120°,
∴|e1+e2|= =1.
若向量a滿足(a-e1)·(a
17、-e2)=,
則a2-a·(e1+e2)+e1·e2=,
∴|a|2-a·(e1+e2)=,
∴|a|2-|a|·cos〈a,e1+e2〉=,
即cos〈a,e1+e2〉=.
∵-1≤cos〈a,e1+e2〉≤1,
∴-1≤|a|-≤1,
解得-≤|a|≤+,
∴|a|的取值范圍為.
4.(2017·麗水模擬)在△ABC和△AEF中,B是EF的中點,AB=EF=1,BC=6,CA=,若·+·=2,則與的夾角的余弦值等于________.
解析:由題意可得2=(-)2=2+2-2·=33+1-2·=36,∴·=-1.
由·+·=2,
可得·(+)+·(+)
=2+·+·
18、+·
=1-·+(-1)+·
=·(-)
=·=2,
故有·=4.
再由·=1×6×cos〈,〉,
可得6×cos〈,〉=4,∴cos〈,〉=.
答案:
5.(2019屆高三·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知向量a,b的夾角為,|b|=2,對任意x∈R,有
|b+xa|≥|a-b|,則|tb-a|+(t∈R)的最小值為________.
解析:向量a,b夾角為,|b|=2,對任意x∈R,有|b+xa|≥|a-b|,
兩邊平方整理可得x2a2+2xa·b-(a2-2a·b)≥0,
則Δ=4(a·b)2+4a2(a2-2a·b)≤0,
即有(a2-a·b)2≤0,即為a2=a·b,
19、則(a-b)⊥a,
由向量a,b夾角為,|b|=2,
由a2=a·b=|a|·|b|·cos,得|a|=1,
則|a-b|==,
畫出=a,=b,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示:
則A(1,0),B(0,),
∴a=(-1,0),b=(-1,);
∴|tb-a|+
=+
=+
=2
表示P(t,0)與M,N的距離之和的2倍,
當(dāng)M,P,N共線時,取得最小值2|MN|.
即有2|MN|=2=.
答案:
6.已知定點A,B滿足||=2,動點P與動點M滿足||=4,=λ+(1-λ) (λ∈R),且||=||,則·的取值范圍是________;若動點C也滿足||=4,則
20、·的取值范圍是________.
解析:因為=λ+(1-λ) (λ∈R),λ+1-λ=1,所以根據(jù)三點共線知,點M在直線PB上,又||=||,記PA的中點為D,連接MD,如圖,則MD⊥AP,·=·(+)=·+0=2,因為||=4,所以點P在以B為圓心,4為半徑的圓上,則||∈[2,6],則·=2∈[2,18].
由于|MA|+|MB|=|MP|+|MB|=4,所以點M在以A,B為焦點,長軸的長為4的橢圓上,以直線AB為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則橢圓方程為+=1,點C在圓(x-1)2+y2=16上,A(-1,0),設(shè)M(2cos α,sin α),C(4cos β+1,4sin β),則=(4cos β+2,4sin β),=(2cos α+1,sin α),
·=(8cos α+4)cos β+4sin αsin β+4cos α+2
=sin(β+φ)+4cos α+2
=(4cos α+8)sin(β+φ)+4cos α+2,
最大值是(4cos α+8)+4cos α+2=8cos α+10≤18,
最小值是-(4cos α+8)+4cos α+2=-6,
所以·∈[-6,18].
答案:[2,18] [-6,18]