2022年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 立體幾何

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 立體幾何 （一）填空題 1、（xx江蘇卷8）在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為 . 【解析】 考查類比的方法。體積比為1：8 2、（xx江蘇卷12）設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題： （1）若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線，則平行于； （2）若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則和平行； （3）設(shè)和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直； （4）直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直。 上面

2、命題中，真命題的序號 （寫出所有真命題的序號）. 【解析】 考查立體幾何中的直線、平面的垂直與平行判定的相關(guān)定理。真命題的序號是(1)(2) 3、（xx江蘇卷7）．如圖，在長方體中，，，則四棱錐的體積為 cm3. D A B C 【解析】如圖所示，連結(jié)交于點(diǎn)，因?yàn)?平面，又因?yàn)?，所以，，所以四棱錐的高為，根據(jù)題意，所以，又因?yàn)?，，故矩形的面積為，從而四棱錐的體積. 【點(diǎn)評】本題重點(diǎn)考查空間幾何體的體積公式的運(yùn)用.本題綜合性較強(qiáng)，結(jié)合空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系、平面與平面垂直的性質(zhì)定理考查.重點(diǎn)找到四棱

3、錐的高為，這是解決該類問題的關(guān)鍵.在復(fù)習(xí)中，要對空間幾何體的表面積和體積公式記準(zhǔn)、記牢，并且會(huì)靈活運(yùn)用.本題屬于中檔題，難度適中. 4、（xx江蘇卷8）8．如圖，在三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐的體積為，三棱柱的體積為，則 。 答案： 8． （二）解答題 1、(xx江蘇卷16)在四面體ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分別是AB,BD 的中點(diǎn)， 求證：（Ⅰ）直線EF ∥面ACD ； （Ⅱ）面EFC⊥面BCD ． 【解析】本小題考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系的判定． （Ⅰ）∵ E,F 分

4、別是AB,BD 的中點(diǎn)， ∴EF 是△ABD 的中位線，∴EF∥AD， ∵EF面ACD ，AD 面ACD ，∴直線EF∥面ACD ． （Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF∥AD，∴ EF⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD的中點(diǎn)，∴CF⊥BD. 又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD ． 江西卷．解 ：（1）證明：依題設(shè)，是的中位線，所以∥， 則∥平面，所以∥。 又是的中點(diǎn)，所以⊥，則⊥。 因?yàn)椤停停? 所以⊥面，則⊥， 因此⊥面。 （2）作⊥于，連。因?yàn)椤推矫妫? 根據(jù)三垂線定理知，⊥，就是二面角的平面角。 作⊥于，則∥，則是的中點(diǎn)，則。

5、 設(shè)，由得，，解得， 在中，，則，。 所以，故二面角為。 解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 所以 所以 所以平面 由∥得∥，故：平面 (2)由已知設(shè) 則 由與共線得:存在有得 同理: 設(shè)是平面的一個(gè)法向量, 則令得 又是平面的一個(gè)法量 所以二面角的大小為 （3）由（2）知，，，平面的一個(gè)法向量為。 則。 則點(diǎn)到平面的距離為 2、（xx江蘇卷22）記動(dòng)點(diǎn)P是棱長為1的正方體的對角線上一點(diǎn)，記．當(dāng)為鈍角時(shí)，求的取值范圍． 5.（xx江蘇卷16）（本小題滿分14分） 如圖，在直三棱柱中，、分別是、

6、的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，。 求證：（1）EF∥平面ABC； （2）平面平面. 【解析】 本小題主要考查直線與平面、平面與平面得位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理論證能力。滿分14分。 3、（xx江蘇卷16）（本小題滿分14分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。 (1) 求證：PC⊥BC； (2) 求點(diǎn)A到平面PBC的距離。 【解析】本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力。滿分14分。 （1）證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BC平面A

7、BCD，所以PD⊥BC。 由∠BCD=900，得CD⊥BC， 又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD。因?yàn)镻C平面PCD，故PC⊥BC。 （2）（方法一）分別取AB、PC的中點(diǎn)E、F，連DE、DF，則： 易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等。 又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC， 因?yàn)镻D=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。 易知DF=，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于。 （方法二）體積法：連結(jié)AC。設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距

8、離為h。 因?yàn)锳B∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。 從而AB=2，BC=1，得的面積。 由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積。 因?yàn)镻D⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。 又PD=DC=1，所以。由PC⊥BC，BC=1，得的面積。 由，，得，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于。 4、（xx江蘇卷16）如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn) 求證：（1）直線EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD 【解析】本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考察空間想象

9、能力和推理論證能力。滿分14分。 證明：（1）在△PAD中，因?yàn)镋、F分別為 AP，AD的中點(diǎn)，所以EF//PD. 又因?yàn)镋F平面PCD，PD平面PCD， 所以直線EF//平面PCD. （2）連結(jié)DB，因?yàn)锳B=AD，∠BAD=60°， 所以△ABD為正三角形，因?yàn)镕是AD的 中點(diǎn)，所以BF⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面 ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD。又因?yàn)锽F平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD. 5、（xx江蘇卷22）如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，設(shè)二面角的大小為。 （1）當(dāng)時(shí)，求的長； （2）當(dāng)時(shí)，求的長

10、。 解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為， 所以設(shè)平面DMN的法向量為 即， 則是平面DMN的一個(gè)法向量。從而 （1）因?yàn)?，所以? 解得 所以 （2）因?yàn)? 所以 因?yàn)椋? 解得根據(jù)圖形和（1）的結(jié)論可知，從而CM的長為 6、（xx江蘇卷16）. （本小題滿分14分） 如圖，在直三棱柱中，，分別是棱上的點(diǎn)（點(diǎn)D 不同于點(diǎn)C），且為的中點(diǎn)． 求證：（1）平面平面； （2）直線平面ADE． 【答案及解析】 【點(diǎn)評】本題主要考查空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，考查線面垂直、面面垂直的性質(zhì)與判定，線面平行的判定.解題過程中注意中點(diǎn)這一條件的應(yīng)用，做題規(guī)律就是“無中點(diǎn)、取中點(diǎn)，相連得到中位線”.本題屬于中檔題，難度不大，考查基礎(chǔ)為主，注意問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化．