（通用版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題四 概率與統(tǒng)計(jì)教學(xué)案 理

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1、 專題四 概率與統(tǒng)計(jì) [研高考·明考點(diǎn)] 年份 卷別 小題考查 大題考查 2017 卷Ⅰ T2·數(shù)學(xué)文化，有關(guān)面積的幾何概型 T19·正態(tài)分布、二項(xiàng)分布的性質(zhì)及概率的計(jì)算，方差的計(jì)算公式 T6·二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng) 卷Ⅱ T6·分步乘法計(jì)數(shù)原理、排列組合的應(yīng)用、分組分配問(wèn)題 T18·相互獨(dú)立事件的概率，頻率分布直方圖的識(shí)別與應(yīng)用，獨(dú)立性檢驗(yàn) T13·二項(xiàng)分布的方差計(jì)算 卷Ⅲ T3·折線圖的識(shí)別與應(yīng)用 T18·頻數(shù)分布表，概率分布列的求解，數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用 T4·二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng) 2016 卷Ⅰ T4·可化為長(zhǎng)度的時(shí)間問(wèn)題

2、的幾何概型 T19·柱狀圖的識(shí)別，頻率估計(jì)概率，隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用 T14·求二項(xiàng)展開(kāi)式特定項(xiàng)的系數(shù) 卷Ⅱ T5·實(shí)際生活背景下的分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 T18·互斥事件，條件概率，隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望 T10·幾何概型、隨機(jī)模擬法計(jì)算圓周率 卷Ⅲ T4·統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用 T18·變量間的線性相關(guān)關(guān)系，回歸方程的求解與應(yīng)用 T12·數(shù)列新定義的理解、計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 2015 卷Ⅰ T4·與二項(xiàng)分布有關(guān)的概率計(jì)算 T19·散點(diǎn)圖，求回歸方程及函數(shù)的最值 T10·二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式展開(kāi)式特定項(xiàng)的系數(shù) 卷Ⅱ T3·條形圖、兩個(gè)變量的相關(guān)性 T18

3、·莖葉圖，數(shù)據(jù)的平均值和方差，相互獨(dú)立事件的概率 T15·二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和 [析考情·明重點(diǎn)] 小題考情分析 大題考情分析 常考點(diǎn) 1.排列組合的應(yīng)用(3年3考) 2.二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用(3年5考) 3.用樣本估計(jì)總體(3年4考) 4.古典概型與幾何概型(3年3考) 常考點(diǎn) 概率部分解答題的考查重點(diǎn)是離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，事件的獨(dú)立性和n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木C合問(wèn)題等；統(tǒng)計(jì)部分解答題應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注古典概型與頻率分布直方圖綜合以及回歸分析的相關(guān)命題．題型主要有： 1.以相互獨(dú)立事件、二項(xiàng)分布、超幾何分布為背景求隨機(jī)變量的分布列、期望與方差

4、 2.回歸分析與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題 偶考點(diǎn) 1.變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例 2.條件概率、相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 偶考點(diǎn) 1.正態(tài)分布與概率的綜合問(wèn)題 2.獨(dú)立性檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題 第一講 小題考法——排列、組合與二項(xiàng)式定理 考點(diǎn)(一) 主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列、組合的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用，有時(shí)會(huì)與概率問(wèn)題相結(jié)合考查. 排列、組合的應(yīng)用 [典例感悟] [典例]　(1)(2016·全國(guó)卷Ⅱ)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　) A．24 B．18

5、C．12 D．9 (2)(2017·全國(guó)卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有(　　) A．12種 B．18種 C．24種 D．36種 (3)(2017·長(zhǎng)春質(zhì)檢)某班主任準(zhǔn)備請(qǐng)2018屆畢業(yè)生做報(bào)告，要從甲、乙等8人中選4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，若甲、乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言中間需恰好間隔一人，那么不同的發(fā)言順序共有________種．(用數(shù)字作答) [解析]　(1)由題意可知從E到F有6條最短路徑，從F到G有3條最短路徑，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共6×3＝18條最短路徑，故選B. (2)因?yàn)榘才?名志愿

6、者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，所以必有1人完成2項(xiàng)工作．先把4項(xiàng)工作分成3組，即2,1,1，有＝6種，再分配給3個(gè)人，有A＝6種，所以不同的安排方式共有6×6＝36(種)． (3)若甲、乙同時(shí)參加，不同的發(fā)言順序有2CAA＝120種；若甲、乙有一人參加，不同的發(fā)言順序有CCA＝960種．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有120＋960＝1 080種不同的發(fā)言順序． [答案]　(1)B　(2)D　(3)1 080 [方法技巧] 1．解答排列組合問(wèn)題的4個(gè)角度 解答排列組合問(wèn)題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手． 2．解決分組分配問(wèn)題的3種策略

7、(1)不等分組：只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)． (2)整體均分：解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計(jì)數(shù)． (3)部分均分：解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以m！，一個(gè)分組過(guò)程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全排列數(shù)． [演練沖關(guān)] 1．兩個(gè)三口之家約定星期日乘“奧迪”、“奔馳”兩輛轎車結(jié)伴郊游，他們共有4個(gè)大人，2個(gè)小孩，每輛車最多只能乘坐4人，其中兩個(gè)小孩不能獨(dú)坐一輛車，則不同的乘車方法種數(shù)為(　　) A．40

8、 B．48 C．60 D．68 解析：選B　由題意得，只需選出乘坐奧迪車的人員，剩余的乘坐奔馳車即可，需要分三類：若奧迪車上沒(méi)有小孩，則有C＋C＝10種乘車方法；若有一個(gè)小孩，則有C×(C＋C＋C)＝28種乘車方法；若有兩個(gè)小孩，則有C＋C＝10種乘車方法．故不同的乘車方法種數(shù)為10＋28＋10＝48. 2．2名男生、1名男教師和3名女生站成一排，若男教師不站兩端，任意兩名女生都不相鄰，則不同的排法種數(shù)為(　　) A．120 B．96 C．84 D．36 解析：選A　首先將2名男生和1名男教師安排好，有A＝6種情況，排好后有4個(gè)空位，在其中任選3個(gè)，安排3名女生

9、，有A＝24種情況，則2名男生、1名男教師和3名女生站成一排，任意兩名女生都不相鄰的排法有6×24＝144(種)．其中男教師站在兩端的情況有2AA＝24(種)，則男教師不站兩端，任意兩名女生都不相鄰的不同的排法種數(shù)為144－24＝120. 3．(2017·天津高考)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個(gè)．(用數(shù)字作答) 解析：一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)、三個(gè)數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù)有CCA＝960(個(gè))，四個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的四位數(shù)有A＝120(個(gè))，則至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)一共有960＋120＝1 080(個(gè))．

10、答案：1 080 4．(2017·浙江高考)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有________種不同的選法．(用數(shù)字作答) 解析：法一：分兩步，第一步，選出4人，由于至少1名女生，故有C－C＝55種不同的選法；第二步，從4人中選出隊(duì)長(zhǎng)、副隊(duì)長(zhǎng)各1人，有A＝12種不同的選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有55×12＝660種不同的選法． 法二：不考慮限制條件，共有AC種不同的選法， 而沒(méi)有女生的選法有AC種， 故至少有1名女生的選法有AC－AC＝840－180＝660(種)． 答案：660 考點(diǎn)(二) 主要考查

11、二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)式特定項(xiàng)、二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)的和等. 二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用 [典例感悟] [典例]　(1)(2015·全國(guó)卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展開(kāi)式中，x5y2的系數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 (2)(2017·南昌模擬)在多項(xiàng)式(1＋2x)6(1＋y)5的展開(kāi)式中，xy3項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_______． (3)(2015·全國(guó)卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則a＝________. [解析]　(1)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的項(xiàng)為T3＝C(x2

12、＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3中含x5的項(xiàng)為Cx4·x＝Cx5. 所以x5y2的系數(shù)為CC＝30. (2)在多項(xiàng)式(1＋2x)6(1＋y)5的展開(kāi)式中，通項(xiàng)為C(2x)r·Cym，其中r＝0,1，…，6，m＝0,1，…，5.令r＝1，m＝3，得xy3項(xiàng)的系數(shù)為C×2×C＝120. (3)設(shè)(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5. 令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32， 解得a＝3. [

13、答案]　(1)C　(2)120　(3)3 [方法技巧] 求解二項(xiàng)式定理相關(guān)問(wèn)題的常用思路 (1)二項(xiàng)式定理中最關(guān)鍵的是通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中特定的項(xiàng)或者特定項(xiàng)的系數(shù)均是利用通項(xiàng)公式和方程思想解決的． (2)二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)之和通常是通過(guò)對(duì)二項(xiàng)式及其展開(kāi)式中的變量賦值得出的，注意根據(jù)展開(kāi)式的形式給變量賦值． [演練沖關(guān)] 1．在二項(xiàng)式(1－2x)n的展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，則展開(kāi)式的中間項(xiàng)的系數(shù)為(　　) A．－960 B．960 C．1 120 D．1 680 解析：選C　根據(jù)題意，2n－1＝128，解得n＝8，則(1－2x)8的展開(kāi)式的中間項(xiàng)為第

14、5項(xiàng)，且T5＝C(－2)4x4＝1 120x4，即展開(kāi)式的中間項(xiàng)的系數(shù)為1 120. 2．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)(1＋x)6展開(kāi)式中x2的系數(shù)為(　　) A．15 B．20 C．30 D．35 解析：選C　(1＋x)6展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為1×C＋1×C＝30. 3．(2017·合肥質(zhì)檢)在4的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______． 解析：易知4＝－1＋4的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr＋1＝C(－1)4－r·r.又r的展開(kāi)式的通項(xiàng)Rm＋1＝Cxr－m(－x－1)m＝C(－1)mxr－2m，∴Tr＋1＝C(－1)4－r·C·(－1)mxr－2m

15、，令r－2m＝0，得r＝2m，∵0≤r≤4，∴0≤m≤2，∴當(dāng)m＝0,1,2時(shí)，r＝0,2,4，故常數(shù)項(xiàng)為T1＋T3＋T5＝C(－1)4＋C(－1)2·C(－1)1＋C(－1)0·C(－1)2＝－5. 答案：－5 [必備知能·自主補(bǔ)缺] (一) 主干知識(shí)要記牢 1．排列、組合數(shù)公式 (1)排列數(shù)公式 A＝n(n－1)·…·(n－m＋1)＝. (2)組合數(shù)公式 C＝＝＝. 2．二項(xiàng)式定理 (1)二項(xiàng)式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…

16、＋Cbn. (2)通項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù) Tk＋1＝Can－kbk，其中C(k＝0,1,2，…，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)． (二) 二級(jí)結(jié)論要用好 1．各二項(xiàng)式系數(shù)之和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n. (2)C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1. 2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) (1)C＝C，C＋C＝C. (2)二項(xiàng)式系數(shù)最值問(wèn)題 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)即第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)即第，項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn，Cn相等且最大． [針對(duì)練]　若n展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是(　　) A．360 B．180 C．90 D．45 解析：選

17、B　依題意知n＝10， ∴Tr＋1＝C()10－r·r＝C2r·x5－r， 令5－r＝0，得r＝2，∴常數(shù)項(xiàng)為C22＝180. (三) 易錯(cuò)易混要明了 二項(xiàng)式(a＋b)n與(b＋a)n的展開(kāi)式相同，但通項(xiàng)公式不同，對(duì)應(yīng)項(xiàng)也不相同，在遇到類似問(wèn)題時(shí)，要注意區(qū)分．還要注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，同時(shí)要明確二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)與展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)的不同． [課時(shí)跟蹤檢測(cè)] A組——12＋4提速練 一、選擇題 1．(2017·云南統(tǒng)考)在10的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x4的系數(shù)

18、為(　　) A．－120 B．－60 C．60 D．120 解析：選A　10的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr＋1＝Cx10－r·r＝(－1)rCx10－2r，令10－2r＝4，得r＝3，所以該二項(xiàng)展開(kāi)式中x4的系數(shù)為－C＝－120. 2．(2017·長(zhǎng)沙調(diào)研)5的展開(kāi)式中x2y3的系數(shù)是(　　) A．－20 B．－5 C．5 D．20 解析：選A　5展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr＋1＝C5－r·(－2y)r＝C·5－r·(－2)r·x5－r·yr，令r＝3，得x2y3的系數(shù)為C·2·(－2)3＝－20. 3．旅游體驗(yàn)師小李受某旅游網(wǎng)站的邀約，決定對(duì)甲、乙、丙、丁這四個(gè)景區(qū)進(jìn)行體驗(yàn)式旅游，若

19、甲景區(qū)不能最先旅游，乙景區(qū)和丁景區(qū)不能最后旅游，則小李旅游的方案有(　　) A．24種 B．18種 C．16種 D．10種 解析：選D　若甲景區(qū)在最后一個(gè)體驗(yàn)，則有A種方案；若甲景區(qū)不在最后一個(gè)體驗(yàn)，則有AA種方案．所以小李旅游的方案共有A＋AA＝10(種)． 4．現(xiàn)有4名教師參加說(shuō)課比賽，共有4道備選題目，若每位教師從中有放回地隨機(jī)選出一道題目進(jìn)行說(shuō)課，其中恰有一道題目沒(méi)有被這4位教師選中的情況有(　　) A．288種 B．144種 C．72種 D．36種 解析：選B　首先選擇題目，從4道題目中選出3道，選法有C種；其次將獲得同一道題目的2位教師選出，選法有C種

20、；最后將選出的3道題目分配給3組教師，分配方式有A種．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知滿足題意的情況共有CCA＝144(種)． 5．甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有(　　) A．30種 B．36種 C．60種 D．72種 解析：選A　甲、乙兩人從4門課程中各選修2門有CC＝36種選法，甲、乙所選的課程中完全相同的選法有C＝6種，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有36－6＝30(種)． 6．(x2－2)5的展開(kāi)式中x－1的系數(shù)為(　　) A．60 B．50 C．40 D．20 解析：選A　依題意，5的展開(kāi)式

21、的通項(xiàng)Tr＋1＝C·2r·x－r，5的展開(kāi)式中含x－1(當(dāng)r＝1時(shí))，x－3(當(dāng)r＝3時(shí))項(xiàng)的系數(shù)分別為2C，23C，所以(x2－2)5的展開(kāi)式中x－1的系數(shù)為23C－2×2C＝60. 7.(2x－1)5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為(　　) A．－20 B．－10 C．10 D．20 解析：選C　令x＝1，可得a＋1＝2，所以a＝1，所以(2x－1)5＝(2x－1)5，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為2C(－1)4＝10. 8．學(xué)校組織學(xué)生參加社會(huì)調(diào)查，某小組共有5名男同學(xué)，4名女同學(xué)．現(xiàn)從該小組中選出3名同學(xué)分別到A，B，C三地進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，若選出的同學(xué)中男女均有，

22、則不同的安排方法有(　　) A．70種 B．140種 C．840種 D．420種 解析：選D　從9名同學(xué)中任選3名分別到A，B，C三地進(jìn)行社會(huì)調(diào)查有CA種安排方法，3名同學(xué)全是男生或全是女生有(C＋C)A種安排方法，故選出的同學(xué)中男女均有的不同安排方法有CA－(C＋C)A＝420(種)． 9．已知(x＋2)15＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a15(1－x)15，則a13的值為(　　) A．945 B．－945 C．1 024 D．－1 024 解析：選B　由(x＋2)15＝[3－(1－x)]15＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a15(

23、1－x)15，得a13＝C×32×(－1)13＝－945. 10．(2017·合肥質(zhì)檢)已知(ax＋b)6的展開(kāi)式中x4項(xiàng)的系數(shù)與x5項(xiàng)的系數(shù)分別為135與－18，則(ax＋b)6的展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為(　　) A．－1 B．1 C．32 D．64 解析：選D　由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可知x4項(xiàng)的系數(shù)為Ca4b2，x5項(xiàng)的系數(shù)為Ca5b，則由題意可得解得a＋b＝±2，令x＝1，得(ax＋b)6的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為(a＋b)6＝64，故選D. 11．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為(　　) A．－80 B．－40 C．4

24、0 D．80 解析：選C　當(dāng)?shù)谝粋€(gè)括號(hào)內(nèi)取x時(shí)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)要取含x2y3的項(xiàng)，即C(2x)2(－y)3，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)括號(hào)內(nèi)取y時(shí)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)要取含x3y2的項(xiàng)，即C(2x)3(－y)2，所以x3y3的系數(shù)為C×23－C×22＝10×(8－4)＝40. 12．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張．則不同取法的種數(shù)為(　　) A．232 B．252 C．472 D．484 解析：選C　由題意，不考慮特殊情況，從16張卡片中任取3張共有C種取法，其中取出的這三張卡片是同一種顏色有4C種取

25、法，取出2張紅色卡片有C·C種取法，故所求的取法共有C－4C－C·C＝472(種)，故選C. 二、填空題 13．(2018屆高三·湘中名校聯(lián)考)設(shè)1＋x5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a5(x－1)5，則a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________. 解析：令x＝2，得1＋25＝a0＋a1＋a2＋…＋a5，即a0＋a1＋a2＋…＋a5＝33. 答案：33 14．(2017·浙江高考)已知多項(xiàng)式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，則a4＝________，a5＝________. 解析：由題意知a4為含x的項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式定

26、理得a4＝C×12×C×22＋C×13×C×2＝16，a5是常數(shù)項(xiàng)，所以a5＝C×13×C×22＝4. 答案：16　4 15．“污染治理”“延遲退休”“樓市新政”“共享單車”“中印對(duì)峙”成為現(xiàn)在社會(huì)關(guān)注的5個(gè)熱點(diǎn)．小王想利用暑假時(shí)間調(diào)查一下社會(huì)公眾對(duì)這些熱點(diǎn)的關(guān)注度．若小王準(zhǔn)備按照順序分別調(diào)查其中的4個(gè)熱點(diǎn)，則“共享單車”作為其中的一個(gè)調(diào)查熱點(diǎn)，但不作為第一個(gè)調(diào)查熱點(diǎn)的調(diào)查順序有________種． 解析：先從“污染治理”“延遲退休”“樓市新政”“中印對(duì)峙”這4個(gè)熱點(diǎn)中選出3個(gè)，有C種不同的選法，在調(diào)查時(shí)“共享單車”安排的順序有A種可能情況，其余3個(gè)熱點(diǎn)安排的順序有A種可能情況，故有CA

27、A＝72種不同的調(diào)查順序． 答案：72 16.編號(hào)為A，B，C，D，E的五個(gè)小球放在如圖所示的五個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子只能放一個(gè)小球，且A球不能放在4號(hào)，5號(hào)，B球必須放在與A球相鄰的盒子中，則不同的放法的種數(shù)為_(kāi)_______． 解析：根據(jù)A球所在的位置可分三類情況：①若A球放在1號(hào)盒子內(nèi)，則B球只能放在2號(hào)盒子內(nèi)，余下的三個(gè)盒子放C，D，E球，有A＝6種不同的放法；②若A球放在3號(hào)盒子內(nèi)，則B球只能放在2號(hào)盒子內(nèi)，余下的三個(gè)盒子放C，D，E球，有A＝6種不同的放法；③若A球放在2號(hào)盒子內(nèi)，則B球可以放在1號(hào)，3號(hào)，4號(hào)中的任何一個(gè)盒子內(nèi)，余下的三個(gè)盒子放C，D，E球，有C·A

28、＝18種不同的放法．綜上可得不同的放法共有6＋6＋18＝30(種)． 答案：30 B組——能力小題保分練 1．若(1－2x)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018x2 018，則＋＋…＋的值為(　　) A．2 B．0 C．－1 D．－2 解析：選C　令x＝0，得a0＝1. 令x＝，得1＋＋＋…＋＝0. 則＋＋…＋＝－1. 2．(2017·武昌調(diào)研)若n的展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和為1 024，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為(　　) A．－270 B．270 C．－90 D．90 解析：選C　n的展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值之和等于n的展開(kāi)式中

29、所有項(xiàng)系數(shù)之和．令x＝1，得4n＝1 024，∴n＝5.則n＝5，其通項(xiàng)Tr＋1＝C5－r·(－)r＝C·35－r·(－1)r·x＋，令＋＝0，解得r＝3，∴該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為T4＝C·32·(－1)3＝－90，故選C. 3．(2016·全國(guó)卷Ⅲ)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)．若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有(　　) A．18個(gè) B．16個(gè) C．14個(gè) D．12個(gè) 解析：選C　由題意知：當(dāng)m＝4時(shí)，“規(guī)范01數(shù)列”共含有8項(xiàng)，其中4項(xiàng)為0,4項(xiàng)為1，且必有

30、a1＝0，a8＝1.不考慮限制條件“對(duì)任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)”，則中間6個(gè)數(shù)的情況共有C＝20(種)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)少于1的個(gè)數(shù)的情況有：①若a2＝a3＝1，則有C＝4(種)；②若 a2＝1，a3＝0，則a4＝1，a5＝1，只有1種；③若a2＝0，則a3＝a4＝a5＝1，只有1種．綜上，不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有20－6＝14(種)．故共有14個(gè)．故選C. 4．若5展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為－40，則a＝________. 解析：5展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr＋1＝C(2x)5－r·r＝C25－rx5－2r，因?yàn)?x＋5的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

31、－40，所以axC22x－1＋C23x＝－40，即40a＋80＝－40，解得a＝－3. 答案：－3 5．福州大學(xué)的8名學(xué)生準(zhǔn)備拼車去湘西鳳凰古城旅游，其中大一、大二、大三、大四每個(gè)年級(jí)各2名，分乘甲、乙兩輛汽車．每車限坐4名同學(xué)(乘同一輛車的4名同學(xué)不考慮位置)，其中大一的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來(lái)自同一年級(jí)的乘坐方式共有________種． 解析：可分兩類：第一類，大一的孿生姐妹乘坐甲車，則可再分三步：第一步，從大二、大三、大四三個(gè)年級(jí)中任選兩個(gè)年級(jí)，有C種不同的選法；第二步，從所選出的兩個(gè)年級(jí)中各抽取一名同學(xué)，有CC種不同的選法；第三步，余下的4

32、名同學(xué)乘乙車有C種不同的選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知有CCCC種不同的乘坐方式．第二類，大一的孿生姐妹乘坐乙車，則可再分三步：第一步，從大二、大三、大四三個(gè)年級(jí)中任選一個(gè)年級(jí)(此年級(jí)的2名同學(xué)乘甲車)，有C種不同的選法；第二步，余下的兩個(gè)年級(jí)中各抽取一名同學(xué)，有CC種不同的選法；第三步，余下的2名同學(xué)乘乙車有C種不同的選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知有CCCC種不同的乘坐方式．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，滿足要求的乘坐方式種數(shù)為CCCC＋CCCC＝24. 答案：24 6．(2017·陜西質(zhì)檢)從一架鋼琴挑出的10個(gè)音鍵中，分別選擇3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，…，10個(gè)鍵同時(shí)按下，可發(fā)出和聲，若有一個(gè)音

33、鍵不同，則發(fā)出不同的和聲，則這樣的不同的和聲數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答)． 解析：依題意共有8類不同的和聲，當(dāng)有k(k＝3,4,5,6,7,8,9,10)個(gè)鍵同時(shí)按下時(shí)，有C種不同的和聲，則和聲總數(shù)為C＋C＋C＋…＋C＝210－C－C－C＝1 024－1－10－45＝968. 答案：968 第二講 小題考法——概率、統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例 考點(diǎn)(一) 主要考查用統(tǒng)計(jì)圖表估計(jì)總體以及利用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體，且以統(tǒng)計(jì)圖表的考查為主. 用樣本估計(jì)總體 [典例感悟] [典例]　(1)(2016·全國(guó)卷Ⅲ)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最

34、低氣溫的雷達(dá)圖．圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15 ℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5 ℃.下面敘述不正確的是(　　) A．各月的平均最低氣溫都在0 ℃以上 B．七月的平均溫差比一月的平均溫差大 C．三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 D．平均最高氣溫高于20 ℃的月份有5個(gè) (2)為比較甲、乙兩地某月14時(shí)的氣溫情況，隨機(jī)選取該月中的5天，將這5天中14時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位：℃)制成如圖所示的莖葉圖．考慮以下結(jié)論： ①甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫； ②甲地該月14時(shí)的平均氣溫高于乙地該月14時(shí)的平均氣溫； ③甲地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小

35、于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差； ④甲地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差． 其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的編號(hào)為(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ (3)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖①和圖②所示．為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為(　　) A．100,10 B．200,10 C．100,20 D．200,20 [解析]　(1)由圖形可得各月的平均最低氣溫都在0 ℃以上，A正確；七月的平均溫差約為10 ℃，而一月的平均溫差約為5

36、 ℃，B正確；三月和十一月的平均最高氣溫都在10 ℃左右，基本相同，C正確；平均最高氣溫高于20℃的月份有2個(gè)，故D錯(cuò)誤． (2)∵甲＝＝29， 乙＝＝30， ∴甲<乙． 又s＝＝， s＝＝2， ∴s甲>s乙．故可判斷結(jié)論①④正確． (3)易知樣本容量為(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200；抽取的高中生人數(shù)為2 000×2%＝40，由于其近視率為50%，所以近視的人數(shù)為40×50%＝20. [答案]　(1)D　(2)B　(3)D [方法技巧] 1．方差的計(jì)算與含義 (1)計(jì)算：計(jì)算方差首先要計(jì)算平均數(shù)，然后再按照方差的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算． (2)含義：方

37、差是描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)大小的特征數(shù)，方差大說(shuō)明波動(dòng)大． 2．與頻率分布直方圖有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略 (1)已知頻率分布直方圖中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)．可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與整體的關(guān)系，利用頻率和等于1就可以求出其他數(shù)據(jù)． (2)已知頻率分布直方圖，求某個(gè)范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)．可利用圖形及某范圍結(jié)合求解． [演練沖關(guān)] 1．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬(wàn)人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖． 根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　) A．月接待游客量逐月增

38、加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn) 解析：選A　根據(jù)折線圖可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在減少，所以A錯(cuò)誤．由圖可知，B、C、D正確． 2．(2017·山東高考)如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：件)．若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為(　　) A．3,5 B．5,5 C．3,7 D．5,7 解析：選A　由兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又

39、它們的平均值相等，所以×[56＋62＋65＋74＋(70＋x)]＝×(59＋61＋67＋65＋78)，解得x＝3. 3．某電子商務(wù)公司對(duì)10 000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者2017年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額(單位：萬(wàn)元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示． (1)直方圖中的a＝________； (2)在這些購(gòu)物者中，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為_(kāi)_______． 解析：(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3. (2)區(qū)間[0.3,0.5)內(nèi)的頻率為0.1×1.5＋

40、0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]內(nèi)的頻率為1－0.4＝0.6. 因此，消費(fèi)金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購(gòu)物者的人數(shù)為0.6×10 000＝6 000. 答案：(1)3　(2)6 000 考點(diǎn)(二) 主要考查線性回歸方程的求解及應(yīng)用，對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的考查較少. 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計(jì)案例 [典例感悟] [典例]　(1)(2017·蘭州診斷)已知某種商品的廣告費(fèi)支出x(單位：萬(wàn)元)與銷售額y(單位：萬(wàn)元)之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)： x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 m 70 根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出y與x的線性回歸

41、方程為＝6.5x＋17.5，則表中m的值為(　　) A．45 B．50 C．55 D．60 (2)(2017·南昌模擬)設(shè)某中學(xué)的高中女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)，用最小二乘法近似得到回歸直線方程為＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是(　　) A．y與x具有正線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，) C．若該中學(xué)某高中女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg D．若該中學(xué)某高中女生身高為160 cm，則可斷定其體重必為50.29 kg [解析]　(1)＝＝

42、5， ＝＝. ∵當(dāng)＝5時(shí)，＝6.5×5＋17.5＝50， ∴＝50，解得m＝60. (2)因?yàn)榛貧w直線方程＝0.85x－85.71中x的系數(shù)為0.85>0，因此y與x具有正線性相關(guān)關(guān)系，所以選項(xiàng)A正確；由最小二乘法及回歸直線方程的求解可知回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，)，所以選項(xiàng)B正確；由于用最小二乘法得到的回歸直線方程是估計(jì)值，而不是具體值，所以若該中學(xué)某高中女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg，所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D不正確． [答案]　(1)D　(2)D [方法技巧] 求回歸直線方程的關(guān)鍵及實(shí)際應(yīng)用 (1)求回歸直線方程的關(guān)鍵是正確理解，的計(jì)算公式和準(zhǔn)確地求解．

43、 (2)在分析實(shí)際中兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過(guò)線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值． [演練沖關(guān)] 1．(2018屆高三·湖北七市(州)聯(lián)考)廣告投入對(duì)商品的銷售額有較大影響．某電商對(duì)連續(xù)5個(gè)年度的廣告費(fèi)x和銷售額y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示(單位：萬(wàn)元)： 廣告費(fèi)x 2 3 4 5 6 銷售額y 29 41 50 59 71 由上表可得回歸方程為＝10.2x＋，據(jù)此模型，預(yù)測(cè)廣告費(fèi)為10萬(wàn)元時(shí)的銷售額約為(　　) A．101.2萬(wàn)元 B．108.8萬(wàn)元 C．111.2萬(wàn)元

44、 D．118.2萬(wàn)元 解析：選C　根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表，可得＝×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，＝×(29＋41＋50＋59＋71)＝50，而回歸直線＝10.2x＋經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心(4,50)，∴50＝10.2×4＋，解得＝9.2，∴回歸方程為＝10.2x＋9.2.當(dāng)x＝10時(shí)，y＝10.2×10＋9.2＝111.2，故選C. 2．(2018屆高三·湘中名校聯(lián)考)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考慮兩個(gè)分類變量X和Y是否有關(guān)系時(shí)，通過(guò)查閱下表來(lái)確定“X和Y有關(guān)系”的可信度．如果k>3.841，那么有把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”的百分比為(　　) P(K2>k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0

45、.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A.5% B．75% C．99.5% D．95% 解析：選D　由表中數(shù)據(jù)可得，當(dāng)k>3.841時(shí)，有0.05的機(jī)率說(shuō)明這兩個(gè)變量之間的關(guān)系是不可信的，即有1－0.05＝0.95的機(jī)率，也就是有95%的把握認(rèn)為變量之間有關(guān)系，故選D. 考點(diǎn)(三) 主要考查古典概型及幾何概型概率公式的應(yīng)用. 古典概型與幾何概型 [典例感悟] [典例]　(1)(

46、2016·全國(guó)卷Ⅲ)小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. (2)(2017·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是(　　) A. B. C. D. (3)(2018屆高三·湖北五市十校聯(lián)考)在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2AD，在CD上任

47、取一點(diǎn)P，△ABP的最大邊是AB的概率為(　　) A. B. C.－1 D.－1 [解析]　(1)∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}， ∴事件總數(shù)有15種． ∵正確的開(kāi)機(jī)密碼只有1種，∴P＝. (2)不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則正方形的面積為4，正方形的內(nèi)切圓的半徑為1，面積為π.由題意，得S黑＝S圓＝，故此點(diǎn)取自黑色部分的概率P＝＝. (3)分別以A，B為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交CD于P1，P2，則當(dāng)P在線段P1P2

48、間運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使得△ABP的最大邊是AB，在Rt△P2BC中，BP2＝2，BC＝1，故CP2＝，DP2＝2－，同理CP1＝2－，所以P1P2＝2－(2－)×2＝2－2，所以＝－1，即△ABP的最大邊是AB的概率為－1. [答案]　(1)C　(2)B　(3)D [方法技巧] 1．利用古典概型求概率的關(guān)鍵及注意點(diǎn) (1)正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù)，這常常用到排列、組合的有關(guān)知識(shí)． (2)對(duì)于較復(fù)雜的題目條件計(jì)數(shù)時(shí)要正確分類，分類時(shí)應(yīng)不重不漏． 2．幾何概型的適用條件及求解關(guān)鍵 (1)當(dāng)構(gòu)成試驗(yàn)的結(jié)果的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積、弧長(zhǎng)、夾角等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概

49、型求解． (2)求解關(guān)鍵是尋找構(gòu)成試驗(yàn)的全部結(jié)果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域． [演練沖關(guān)] 1．(2018屆高三·湖北七市(州)聯(lián)考)從數(shù)字1,2,3,4,5中，隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)字(允許重復(fù))組成一個(gè)三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于12的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　從5個(gè)數(shù)字中任意抽取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)三位數(shù)，并且允許有重復(fù)的數(shù)字，這樣構(gòu)成的數(shù)字有53＝125個(gè)．則各位數(shù)字之和等于12且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，則該數(shù)只能含有3,4,5三個(gè)數(shù)字，可構(gòu)成A＝6個(gè)三位數(shù)；若三位數(shù)的各位數(shù)字均重復(fù)，則該數(shù)為444；若三位數(shù)中有2個(gè)數(shù)

50、字重復(fù)，則該數(shù)為552,525,255，有3個(gè)．因此，所求概率為P＝＝，故選A. 2．(2017·長(zhǎng)春質(zhì)檢)如圖，扇形AOB的圓心角為120°，點(diǎn)P在弦AB上，且AP＝AB，延長(zhǎng)OP交弧AB于點(diǎn)C，現(xiàn)向扇形AOB內(nèi)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在扇形AOC內(nèi)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　設(shè)OA＝3，則AB＝3，AP＝，由余弦定理可求得OP＝，則∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面積為，又扇形AOB的面積為3π，從而所求概率為＝. 3．某班班會(huì)，準(zhǔn)備從包括甲、乙兩人的7名學(xué)生中選取4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有1人參加，則甲、乙都被選中且發(fā)言時(shí)不相鄰的概率為_(kāi)__

51、_____． 解析：若無(wú)限制條件則有A種情況；若甲、乙兩人都不被選中則有A種情況，因此甲、乙兩人至少有1人被選中有A－A種情況．甲、乙兩人都被選中且發(fā)言時(shí)不相鄰共有A·A種情況，故所求概率為P＝＝＝. 答案： 考點(diǎn)(四) 主要考查條件概率、相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的應(yīng)用. 條件概率、相互獨(dú)立事件與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) [典例感悟] [典例]　(1)(2015·全國(guó)卷Ⅰ)投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為(　　) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．

52、0.312 (2)(2017·武昌調(diào)研)小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件A＝“4個(gè)人去的景點(diǎn)不相同”，事件B＝“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則P(A|B)＝(　　) A. B. C. D. (3)某一部件由三個(gè)電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位：小時(shí))均服從正態(tài)分布N(1 000,502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過(guò)1 000小時(shí)的概率為_(kāi)_______． [解析]　(1)3次投籃投中2次的概率為P(X＝2)＝C×0.62×(1－0.6)

53、＝0.432，投中3次的概率為P(X＝3)＝0.63＝0.216，所以該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.432＋0.216＝0.648. (2)小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)共有4×3×3×3＝108種情況，4個(gè)人去的景點(diǎn)不同有A＝4×3×2×1＝24種情況，∴P(A|B)＝＝. (3)依題意，部件正常工作就是該部件使用壽命超過(guò)1 000小時(shí)，元件正常工作的概率為，則部件正常工作的概率為×1－×＝. [答案]　(1)A 　(2)A　(3) [方法技巧] 1．條件概率的求法 (1)利用定義，先分別求出P(A)和P(AB)，再利用P(B|A)＝求得．這是通用的求條件概率的方

54、法． (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝. 2．復(fù)雜事件概率的求法 (1)直接法：正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，將復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件或幾個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的積事件或一獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問(wèn)題，然后用相應(yīng)概率公式求解． (2)間接法：當(dāng)復(fù)雜事件正面情況比較多，反面情況較少時(shí)，則可利用其對(duì)立事件進(jìn)行求解．對(duì)于“至少”“至多”等問(wèn)題往往也用這種方法求解． [演練沖關(guān)] 1．(2018屆高三·廣西三市聯(lián)考)某機(jī)械研究所對(duì)新研發(fā)的某批次機(jī)械元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，隨機(jī)抽查的2

55、00個(gè)機(jī)械元件情況如下： 使用時(shí)間/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60 個(gè)數(shù) 10 40 80 50 20 若將頻率視作概率，現(xiàn)從該批次機(jī)械元件中隨機(jī)抽取3個(gè)，則至少有2個(gè)元件的使用壽命在30天以上的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　由表可知元件使用壽命在30天以上的頻率為＝，則所求概率為C·2×＋3＝. 2．1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球，則從2號(hào)箱取出紅球的概率為(　　) A. B. C. D

56、. 解析：選A　記事件A：從2號(hào)箱中取出的是紅球；事件B：從1號(hào)箱中取出的是紅球．則根據(jù)古典概型和對(duì)立事件的概率和為1，可知：P(B)＝＝，P()＝1－＝；由條件概率公式知P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝.從而P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)·P(B)＋P(A|)·P()＝，故選A. [必備知能·自主補(bǔ)缺] (一) 主干知識(shí)要記牢 1．概率的計(jì)算公式 (1)古典概型： P(A)＝； (2)互斥事件： P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； (3)對(duì)立事件： P()＝1

57、－P(A)； (4)幾何概型： P(A)＝； (5)獨(dú)立事件： P(AB)＝P(A)P(B)； (6)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)： Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k； (7)條件概率： P(B|A)＝. 2．抽樣方法 (1)三種抽樣方法的比較 類別 共同點(diǎn) 各自特點(diǎn) 相互聯(lián)系 適用范圍 簡(jiǎn)單隨 機(jī)抽樣 是不放回抽樣，抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)(概率)相等 從總體中逐個(gè)抽取 總體中的個(gè)數(shù)較少 系統(tǒng) 抽樣 將總體均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則，在各部分抽取 在起始部分抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 總體中的個(gè)數(shù)比較多 分層 抽樣 將總體分成幾層，分層

58、進(jìn)行抽取 各層抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或者系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 (2)分層抽樣中公式的運(yùn)用 ①抽樣比＝＝； ②層1的數(shù)量∶層2的數(shù)量∶層3的數(shù)量＝樣本1的容量∶樣本2的容量∶樣本3的容量． 3．用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體 (1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 定義 特點(diǎn) 眾數(shù) 在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù) 體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，不受極端值的影響，而且不唯一 中位數(shù) 將一組數(shù)據(jù)按大小順序依次排列，處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)) 中位數(shù)不受極端值的影響，僅利用了排在中間數(shù)據(jù)的信息，只有一個(gè) 平均數(shù) 樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù) 與

59、每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，只有一個(gè) (2)方差和標(biāo)準(zhǔn)差 方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)波動(dòng)程度的大?。? ①方差： s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]； ②標(biāo)準(zhǔn)差： s＝ . (二) 二級(jí)結(jié)論要用好 1．頻率分布直方圖的3個(gè)結(jié)論 (1)小長(zhǎng)方形的面積＝組距×＝頻率． (2)各小長(zhǎng)方形的面積之和等于1. (3)小長(zhǎng)方形的高＝，所有小長(zhǎng)方形高的和為. 2．與平均數(shù)和方差有關(guān)的4個(gè)結(jié)論 (1)若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為m＋a； (2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x＝x1＋a，x＝x2＋a，…，x＝xn＋

60、a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)平移后方差不變； (3)若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2； (4)s2＝(xi－)2＝－2，即各數(shù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方． 求s2時(shí)，可根據(jù)題目的具體情況，結(jié)合題目給出的參考數(shù)據(jù)，靈活選用公式形式． 3．線性回歸方程 線性回歸方程＝x＋一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，)． [針對(duì)練1]　(2018屆高三·惠州調(diào)研)某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)： 零件數(shù)x/個(gè) 10 20 30 40 50 加工時(shí)間y/分鐘 62

61、68 75 81 89 由最小二乘法求得回歸方程＝0.67x＋，則的值為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)椋剑?0， ＝＝75， 所以回歸直線一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心(30,75)， 將其代入＝0.67x＋，可得75＝0.67×30＋，解得＝54.9. 答案：54.9 (三) 易錯(cuò)易混要明了 1．應(yīng)用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先確定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和． 2．正確區(qū)別互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件． 3．混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方

62、圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當(dāng)成頻率，導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯(cuò)． 4．在求解幾何概型的概率時(shí)，要注意分清幾何概型的類別(體積型、面積型、長(zhǎng)度型、角度型等)． [針對(duì)練2]　一種小型電子游戲的主界面是半徑為r的圓，點(diǎn)擊圓周上的點(diǎn)A后，該點(diǎn)在圓周上隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，最后落在點(diǎn)B處，當(dāng)線段AB的長(zhǎng)不小于r時(shí)自動(dòng)播放音樂(lè)，則一次轉(zhuǎn)動(dòng)能播放音樂(lè)的概率為_(kāi)_______． 解析：如圖，當(dāng)|AB|≥r，即點(diǎn)B落在劣弧CC′上時(shí)才能播放音樂(lè)．又劣弧CC′所對(duì)應(yīng)的圓心角為，所以一次轉(zhuǎn)動(dòng)能播放音樂(lè)的概率為＝. 答案： [課時(shí)跟蹤檢測(cè)]

63、 A組——12＋4提速練 一、選擇題 1．(2017·南昌模擬)某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一1 000人、高二1 200人、高三n人中，抽取81人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查．已知高二被抽取的人數(shù)為30，那么n＝(　　) A．860 B．720 C．1 020 D．1 040 解析：選D　根據(jù)分層抽樣方法，得×81＝30，解得n＝1 040. 2．(2018屆高三·西安八校聯(lián)考)某班對(duì)八校聯(lián)考成績(jī)進(jìn)行分析，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將60個(gè)同學(xué)按01,02,03，…，60進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表第9行第5列的數(shù)開(kāi)始向右讀，

64、則選出的第6個(gè)個(gè)體是(　　) (注：下表為隨機(jī)數(shù)表的第8行和第9行) 第8行 第9行 A．07 B．25 C．42 D．52 解析：選D　依題意得，依次選出的個(gè)體分別為12,34,29,56,07,52，…因此選出的第6個(gè)個(gè)體是52，故選D. 3．(2017·寶雞質(zhì)檢)對(duì)一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位：毫米)進(jìn)行抽樣檢測(cè)，樣本容量為200，如圖為檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間[25,30)的為一等品，在區(qū)間[20,25)和[30,35)的為二等品，其余均為三等品，則該樣本中三等品的件數(shù)為(　　) A．5 B．7 C．10 D．50 解析

65、：選D　根據(jù)題中的頻率分布直方圖可知，三等品的頻率為1－(0.050 0＋0.062 5＋0.037 5)×5＝0.25，因此該樣本中三等品的件數(shù)為200×0.25＝50，故選D. 4．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)從區(qū)間[0,1]隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　因?yàn)閤1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在區(qū)間[0,1]內(nèi)隨機(jī)抽取，所以構(gòu)成的n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x

66、2，y2)，…，(xn，yn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，如圖所示．若兩數(shù)的平方和小于1，則對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì)在扇形OAC內(nèi)(不包括扇形圓弧上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)對(duì))，故在扇形OAC內(nèi)的數(shù)對(duì)有m個(gè)．用隨機(jī)模擬的方法可得＝，即＝，所以π＝. 5．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(　　) A．－1 B．0 C. D．1 解析：選D　因?yàn)樗袠颖军c(diǎn)都在直線y＝x＋1上，所以這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為1. 6．甲、乙兩位歌手在“中國(guó)新歌聲”選拔賽中，5次得分情況如圖所示．記甲、乙兩人的平均得分分別為甲，乙，則下列判斷正確的是(　　) A.甲＜乙，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定 B.甲＜乙，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定 C.甲＞乙，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定 D.甲＞乙，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定 解析：選B　甲＝＝85， 乙＝＝86， s＝[(76－85)2＋(77－85)2＋(88－85)2＋(90－85)2＋