(浙江專用)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)(十三)小題考法——直線與圓

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1、(浙江專用)2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)(十三)小題考法——直線與圓 一、選擇題 1.已知直線l:y=k(x+)和圓C:x2+(y-1)2=1,若直線l與圓C相切,則k=(  ) A.0          B. C.或0 D.或0 解析:選D 因?yàn)橹本€l與圓C相切,所以圓心C(0,1)到直線l的距離d==1,解得k=0或k=,故選D. 2.(2018·寧波十校高三5月適應(yīng)性考試)已知直線l過(guò)圓(x-1)2+(y-2)2=1的圓心,當(dāng)原點(diǎn)到直線l距離最大時(shí),直線l的方程為(  ) A.y=2 B.x-2y-5=0 C.x-2y+3=0 D.x+2y-5=0

2、 解析:選D 設(shè)圓心為M,則M(1,2). 當(dāng)l與OM垂直時(shí),原點(diǎn)到l的距離最大.作出示意圖如圖, ∵kOM=2,∴l(xiāng)的斜率為-. ∴直線l的方程為y-2=-(x-1),即x+2y-5=0. 3.直線l:y=kx+1與圓O:x2+y2=1相交于A,B兩點(diǎn),則“k=1”是“|AB|=”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選A 依題意,注意到|AB|==等價(jià)于圓心O到直線l的距離等于,即有=,k=±1.因此,“k=1”是“|AB|=”的充分不必要條件. 4.若三條直線l1:4x+y=3,l2:mx+y=0,l3:

3、x-my=2不能?chē)扇切?,則實(shí)數(shù)m的取值最多有(  ) A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.6個(gè) 解析:選C 三條直線不能?chē)扇切危瑒t至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn).若l1∥l2,則m=4;若l1∥l3,則m=-;若l2∥l3,則m的值不存在;若三條直線相交于同一點(diǎn),則m=1或-.故實(shí)數(shù)m的取值最多有4個(gè),故選C. 5.(2018·溫州模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,-1),B(2,0),過(guò)A的直線交x軸于點(diǎn)C(a,0),若直線AC的傾斜角是直線AB傾斜角的2倍,則a=(  ) A. B. C.1 D. 解析:選B 設(shè)直線AC的傾斜角為β

4、,直線AB的傾斜角為α, 即有tan β=tan 2α=. 又tan β=,tan α=, 所以=,解得a=. 6.與直線x+y-2=0和曲線x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(  ) A.(x+2)2+(y-2)2=2 B.(x-2)2+(y+2)2=2 C.(x+2)2+(y+2)2=2 D.(x-2)2+(y-2)2=2 解析:選D 由題意知,曲線方程為(x-6)2+(y-6)2=(3)2,過(guò)圓心(6,6)作直線x+y-2=0的垂線,垂線方程為y=x,則所求的最小圓的圓心必在直線y=x上,又圓心(6,6)到直線x+y-2=0的距離d==

5、5,故最小圓的半徑為=,圓心坐標(biāo)為(2,2),所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-2)2=2. 7.(2018·長(zhǎng)沙模擬)若直線(2λ-1)x+(λ+2)y+λ+2=0(λ∈R)被圓C:(x-1)2+y2=4所截得的弦為MN,則|MN|的最小值是(  ) A. B.2 C.2 D.4 解析:選C 直線方程(2λ-1)x+(λ+2)y+λ+2=0(λ∈R)可化為λ(2x+y+1)+(-x+2y+2)=0(λ∈R),若則所以直線恒過(guò)圓C:(x-1)2+y2=4內(nèi)的定點(diǎn)P(0,-1),當(dāng)直線(2λ-1)x+(λ+2)y+λ+2=0(λ∈R)與直線CP垂直時(shí),|MN|最小,此時(shí)|

6、MN|=2=2=2.故選C. 8.(2018·合肥質(zhì)檢)設(shè)圓x2+y2-2x-2y-2=0的圓心為C,直線l過(guò)(0,3)且與圓C交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2,則直線l的方程為(  ) A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0 B.3x+4y-12=0或x=0 C.4x-3y+9=0或x=0 D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0 解析:選B 由題可知,圓心C(1,1),半徑r=2.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線方程為x=0,計(jì)算出弦長(zhǎng)為2,符合題意;當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),可設(shè)直線l的方程為y=kx+3,由弦長(zhǎng)為2可知,圓心到該直線的距離為1,從而有=1,解得k=-,所以直

7、線l的方程為y=-x+3,即3x+4y-12=0. 綜上,直線l的方程為x=0或3x+4y-12=0,故選B. 9.兩個(gè)圓C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)與C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三條公切線,則a+b的最小值為(  ) A.3 B.-3 C.6 D.-6 解析:選B 兩個(gè)圓恰有三條公切線,則兩圓外切,兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓C1:(x+a)2+y2=4,圓C2:x2+(y-b)2=1,所以C1(-a,0),C2(0,b),==2+1=3,即a2+b2=9. 由2≤,得(a+b)2≤18,所以-3≤a+b≤3,當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)等號(hào)成立

8、.所以a+b的最小值為-3. 10.若圓(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的距離等于1,則半徑r的取值范圍是(  ) A.(4,6) B.[4,6] C.(4,5) D.(4,5] 解析:選A 設(shè)直線4x-3y+m=0與直線4x-3y-2=0之間的距離為1,則有=1,m=3或m=-7.圓心(3,-5)到直線4x-3y+3=0的距離等于6,圓心(3,-5)到直線4x-3y-7=0的距離等于4,因此所求圓半徑的取值范圍是(4,6),故選A. 二、填空題 11.直線l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R)恒過(guò)定點(diǎn)________,P(1,1)到直

9、線l的距離的最大值為_(kāi)_______. 解析:直線l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R),即λ(y-3)+x+2=0,令解得∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)(-2,3).不妨記Q(-2,3),則P(1,1)到直線l的距離的最大值為|PQ|==. 答案:(-2,3)  12.若直線l1:y=x+a和直線l2:y=x+b將圓(x-1)2+(y-2)2=8分成長(zhǎng)度相等的四段弧,則a2+b2=________. 解析:由題意得直線l1和l2截圓所得弦所對(duì)的圓心角相等,均為90°,因此圓心到兩直線的距離均為r=2,即==2,得a2+b2=(2+1)2+(1-2)2=18. 答案:18 13.已知點(diǎn)M(2,1)

10、及圓x2+y2=4,則過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程為_(kāi)_______,若直線ax-y+4=0與該圓相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2,則a=________. 解析:若過(guò)點(diǎn)M的圓的切線斜率不存在,則切線方程為x=2,經(jīng)驗(yàn)證滿足條件.若切線斜率存在,可設(shè)切線方程為y=k(x-2)+1,由圓心到直線的距離等于半徑得=2,解得k=-,故切線方程為y=-(x-2)+1,即3x+4y-10=0.綜上,過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程為x=2或3x+4y-10=0. 由=,得a=±. 答案:x=2或3x+4y-10=0 ± 14.已知⊙C的方程為x2-2x+y2=0,直線l:kx-y+x-2k=0與⊙C交于A,B兩點(diǎn),

11、當(dāng)|AB|取最大值時(shí),k=________;當(dāng)△ABC的面積最大時(shí),k=________. 解析:圓的方程可化為(x-1)2+y2=1,圓心C(1,0),半徑為1,當(dāng)直線過(guò)圓心時(shí),弦AB為直徑,|AB|最大,此時(shí)k=1.設(shè)∠ACB=θ,則S△ABC=×1×1×sin θ=sin θ,當(dāng)θ=90°時(shí),△ABC的面積最大,此時(shí)圓心到直線的距離為,由d==,解得k=0或k=6. 答案:1 0或6 15.已知圓O:x2+y2=r2與圓C:(x-2)2+y2=r2(r>0)在第一象限的一個(gè)公共點(diǎn)為P,過(guò)點(diǎn)P作與x軸平行的直線分別交兩圓于不同兩點(diǎn)A,B(異于P點(diǎn)),且OA⊥OB,則直線OP的斜率是_

12、_______,r=________. 解析:兩圓的方程相減得,4x-4=0,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=1.易知P為AB的中點(diǎn),因?yàn)镺A⊥OB,所以|OP|=|AP|=|PB|,所以△OAP為等邊三角形,所以∠APO=60°,因?yàn)锳B∥x軸,所以∠POC=60°,所以直線OP的斜率為.設(shè)P(1,y1),則y1=,所以P(1,),代入圓O,解得r=2. 答案: 2 16.(2018·浦江模擬)設(shè)A是直線y=x-4上一點(diǎn),P,Q是圓C:x2+(y-2)2=17上不同的兩點(diǎn),若圓心C是△APQ的重心.則△APQ面積的最大值為_(kāi)_______. 解析:如圖,∵圓心C是△APQ的重心,∴AC⊥PQ,

13、 設(shè)C到PQ的距離為x,則PQ=2, 則A到PQ的距離為3x, ∴S△PAQ=×2×3x =3·x≤3·=. 當(dāng)且僅當(dāng)=x,即x=時(shí)等號(hào)成立. ∴△APQ面積的最大值為. 答案: 17.定義:若平面點(diǎn)集A中的任一個(gè)點(diǎn)(x0,y0),總存在正實(shí)數(shù)r,使得集合{(x,y)|0}; ③{(x,y)||x+y|≤6};④{(x,y)|0

14、)為圓心,以r為半徑的圓面(不包括圓周),由開(kāi)集的定義知,集合A應(yīng)該無(wú)邊界,故由①②③④表示的圖形知,只有②④符合題意. 答案:②④ B組——能力小題保分練 1.若a,b是正數(shù),直線2ax+by-2=0被圓x2+y2=4截得的弦長(zhǎng)為2,則t=a取得最大值時(shí)a的值為(  ) A. B. C. D. 解析:選D 因?yàn)閳A心到直線的距離d=,則直線被圓截得的弦長(zhǎng)L=2=2=2,所以4a2+b2=4.則t=a=·(2a)·≤××=·[8a2+1+2(4-4a2)]=,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)a=,故選D. 2.已知直線x+y-k=0(k>0)與圓x2+y2=4交于不同的兩點(diǎn)A,B,

15、O是坐標(biāo)原點(diǎn),且有|+|≥||,那么k的取值范圍是(  ) A.(,+∞) B.[,+∞) C.[,2) D.[,2) 解析:選C 當(dāng)|+|=||時(shí),O,A,B三點(diǎn)為等腰三角形AOB的三個(gè)頂點(diǎn),其中OA=OB=2,∠AOB=120°,從而圓心O到直線x+y-k=0(k>0)的距離為1,即=1,解得k=;當(dāng)k>時(shí),|+|>||,又直線與圓x2+y2=4有兩個(gè)不同的交點(diǎn),故<2,即k<2.綜上,k的取值范圍為[,2). 3.已知圓C:(x-1)2+y2=r2(r>0).設(shè)條件p:0

16、要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選C 圓C:(x-1)2+y2=r2的圓心(1,0)到直線x-y+3=0的距離d==2. 當(dāng)2-r>1,即0

17、直線與圓相交,此時(shí)圓上有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1; 當(dāng)r-2>1,即r>3時(shí),直線與圓相交,此時(shí)圓上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1. 綜上,當(dāng)0

18、直線方程得,-a-2b+1=0,即a=1-2b,則ab=(1-2b)b=-2b2+b=-22+≤,當(dāng)b=時(shí),ab有最大值,故ab的取值范圍為. 5.已知點(diǎn)A(3,0),若圓C:(x-t)2+(y-2t+4)2=1上存在點(diǎn)P,使|PA|=2|PO|,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則圓心C的橫坐標(biāo)t的取值范圍為_(kāi)_______. 解析:設(shè)點(diǎn)P(x,y),因?yàn)閨PA|=2|PO|,所以=2,化簡(jiǎn)得(x+1)2+y2=4,所以點(diǎn)P在以M(-1,0)為圓心,2為半徑的圓上.由題意 知,點(diǎn)P(x,y)在圓C上,所以圓C與圓M有公共點(diǎn),則1≤|CM|≤3,即1≤ ≤3,開(kāi)方得1≤5t2-14t+17≤9.不等式5

19、t2-14t+16≥0的解集為 R;由5t2-14t+8≤0,得≤t≤2.所以圓心C的橫坐標(biāo)t的取值范圍為. 答案: 6.設(shè)點(diǎn)M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得∠OMN=45°,則x0的取值范圍是________. 解析:由題意可知M在直線y=1上運(yùn)動(dòng),設(shè)直線y=1與圓x2+y2=1相切于點(diǎn)P(0,1).當(dāng)x0=0即點(diǎn)M與點(diǎn)P重合時(shí),顯然圓上存在點(diǎn)N(±1,0)符合要求;當(dāng)x0≠0時(shí),過(guò)M作圓的切線,切點(diǎn)之一為點(diǎn)P,此時(shí)對(duì)于圓上任意一點(diǎn)N,都有∠OMN≤∠OMP,故要存在∠OMN=45°,只需∠OMP≥45°.特別地,當(dāng)∠OMP=45°時(shí),有x0=±1.結(jié)合圖形可知,符合條件的x0的取值范圍為[-1,1]. 答案:[-1,1]

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