2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 單科標(biāo)準(zhǔn)練1 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 單科標(biāo)準(zhǔn)練1 理 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．已知集合A＝{x∈Z|x2－3x－4≤0}，B＝{x|1＜2x≤8}，則A∩B的真子集的個(gè)數(shù)為(　　) A．3 B．4 C．7 D．8 C　[A＝{x∈Z|x2－3x－4≤0}＝{x∈Z|－1≤x≤4}＝{－1,0,1,2,3,4}，B＝{x|1＜2x≤8}＝{x|0＜x≤3}，所以A∩B＝{1,2,3}， 所以A∩B的真子集有23－1＝7個(gè)．] 2．若復(fù)數(shù)z1＝1＋i，z2＝1－i，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

2、　　 ) A．z1·z2是實(shí)數(shù) B.是純虛數(shù) C．|z|＝2|z2|2 D．z＋z＝4i D　[z1·z2＝(1＋i)(1－i)＝1－i2＝2，是實(shí)數(shù)，故A項(xiàng)正確，＝＝＝i，是純虛數(shù)，故B項(xiàng)正確， |z|＝|(1＋i)4|＝|(1＋i)2|2＝|(2i)2|＝4， 2|z|＝2|(1－i)2|＝2|－2i|＝4，故C項(xiàng)正確，z＋z＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0，所以D項(xiàng)不正確，故選D.] 3．設(shè)向量a與b的夾角為θ，且a＝(－2,1)，a＋2b＝(2,3)，則cos θ＝(　　 ) A．－ B. C. D．－ A　[因?yàn)?a＋2b)－a＝2b＝(4,2

3、)，所以b＝(2,1)，所以cos θ＝＝＝－，故選A.] 4.如圖1，是以正方形的邊AD為直徑的半圓，向正方形內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為(　　 ) 圖1 A. B. C. D. D　[連接AE，由圓的對(duì)稱性得陰影部分的面積等于△ABE的面積，易知＝，由幾何概型的概率公式，得該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為P＝.故選D.] 5．等比數(shù)列{an}中各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn是其前n項(xiàng)和，滿足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，則S4＝(　　 ) A．9 B．15 C．18 D．30 D　[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)． ∵2S3＝8a1＋3a2，

4、∴2(a1＋a2＋a3)＝8a1＋3a2，即2a3－a2－6a1＝0. ∴2q2－q－6＝0， ∴q＝2或q＝－(舍去)． ∵a4＝16， ∴a1＝＝2， ∴S4＝＝＝30. 故選D.] 6．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，且雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的方程為(　　 ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1或－＝1 A　[因?yàn)樵撾p曲線的兩條漸近線互相垂直，所以該雙曲線為等軸雙曲線，即a＝b，又雙曲線C：－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，所以2a2＝16，即a2＝b2＝8，即該雙曲線的方程為－＝1.故選A.]

5、7．已知某幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的表面積為(　　 ) 圖2 A．8π＋6 B．6π＋6 C．8π＋12 D．6π＋12 B　[由三視圖可得該幾何體是由圓柱的一半(沿軸截面截得，底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3)和一個(gè)半徑為1的半球組合而成(部分底面重合)，則該幾何體的表面積為S＝2π＋π＋2π×3×＋2×3＝6π＋6.故選B.] 8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，如果目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值為－1，則實(shí)數(shù)m等于(　　 ) A．3 B．4 C．5 D．7 C　[作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖， 由目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值是－1， 得y＝x－z，即當(dāng)z＝－1時(shí)，函數(shù)為y

6、＝x＋1，此時(shí)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域在直線y＝x＋1的下方， 由， 解得，即A(2,3)， 同時(shí)A也在直線x＋y＝m上， 即m＝2＋3＝5，故選C.] 9．若 (n∈N*)的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，且n的最小值為a，則dx＝(　　) A．36π B. C. D．25π C　[ (n∈N*)展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C(3x)n－r＝3n－rCx，r＝0,1，…，n，因?yàn)檎归_式中含有常數(shù)項(xiàng)，所以n－r＝0，即r＝n為整數(shù)，故n的最小值為5. 10．已知|a|＝2|b|≠0，且關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有極值，則向量a與b的夾角的范圍是(　　)

7、A. B. C. D. C　[設(shè)a與b的夾角為θ，∵f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx，∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b.∵函數(shù)f(x)在R上有極值，∴方程x2＋|a|x＋a·b＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即Δ＝|a|2－4a·b＞0，∴a·b＜，又|a|＝2|b|≠0，∴cos θ＝＜＝， 即cos θ＜，又θ∈[0，π]， ∴θ∈，故選C] 11．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝60°，沿對(duì)角線BD將菱形ABCD折起，使得二面角A-BD-C的余弦值為－，則該四面體ABCD外接球的體積為(　　 ) A.π B．8π C.π D．36π B　[取BD中點(diǎn)M，連接

8、AM，CM(圖略)．根據(jù)二面角的平面角的概念，可知∠AMC是二面角A-BD-C的平面角，根據(jù)圖形的特征，結(jié)合余弦定理，可以求得AM＝CM＝2·＝3，此時(shí)滿足AC2＝9＋9－2×3×3×＝24，從而求得AC＝2，AB2＋BC2＝AD2＋CD2＝AC2，所以△ABC，△ADC是共斜邊的兩個(gè)直角三角形，所以該四面體的外接球的球心落在AC中點(diǎn)，半徑R＝＝，所以其體積為V＝πR3＝π·6＝8π，故選B.] 12．設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)＝x－a－x和g(x)＝xloga x－1的零點(diǎn)(其中a＞1)，則x1＋4x2的取值范圍是(　　) A．[4，＋∞) B．(4，＋∞) C．[5，＋∞) D．

9、(5，＋∞) D　[因?yàn)閤1是函數(shù)f(x)＝x－a－x的零點(diǎn)，所以x1－a－x1＝0，化簡(jiǎn)得ax1＝，則由函數(shù)y＝ax(a＞1)和y＝的圖象易得0＜x1＜1.因?yàn)閤2是函數(shù)g(x)＝xloga x－1的零點(diǎn)，所以x2loga x2－1＝0，化簡(jiǎn)得a＝x2.由函數(shù)y＝ax(a＞1)和y＝的圖象易得兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，所以x2＝，則x1＋4x2＝x1＋.設(shè)h(x)＝x＋(0＜x＜1)，則h′(x)＝1－，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′(x)＝1－＜0恒成立，所以函數(shù)h(x)＝x＋在(0,1)上單調(diào)遞減，又因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，h(x)→＋∞，當(dāng)x→1時(shí)，h(x)→5，所以函數(shù)h(x)＝x＋在(0,1)上的值

10、域?yàn)?5，＋∞)，則x1＋4x2的取值范圍為(5，＋∞)，故選D.] 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分．第13～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 13．將函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ＜0)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到偶函數(shù)g(x)的圖象，則φ的最大值是________． －　[函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋φ)(φ＜0)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝2sin＝2sin，即g(x)＝2sin，又g(x)為偶函數(shù)，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝

11、－＋kπ，k∈Z.又因?yàn)棣眨?， 所以φ的最大值為－.] 14．已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn(n∈N*)，若＝，則實(shí)數(shù)＝______. 　[由于{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且等差數(shù)列的前n項(xiàng)和都是an2＋bn，所以不妨設(shè)Sn＝n(2n－1)，Tn＝n(n＋1)，b6＝T6－T5＝6(6＋1)－5(5＋1)＝42－30＝12. a12＝S12－S11＝12×23－11×21＝45. 所以＝＝.] 15．某地實(shí)行高考改革，考生除參加語文、數(shù)學(xué)、英語統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科．學(xué)生甲要想報(bào)考某高校的法學(xué)專業(yè)，就必須要

12、從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學(xué)生甲的選考方法種數(shù)為________． 19　[法一：在物理、政治、歷史中選一科的選法有CC＝9(種)；在物理、政治、歷史中選兩科的選法有CC＝9(種)；物理、政治、歷史三科都選的選法有1種．所以學(xué)生甲的選考方法共有9＋9＋1＝19(種)． 法二：從六科中選考三科的選法有C種，其中包括了沒選物理、政治、歷史中任意一科，這種選法有1種，因此學(xué)生甲的選考方法共有C－1＝19(種)．] 16．設(shè)過拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點(diǎn)P(異于原點(diǎn)O)的直線與拋物線y2＝8px(p＞0)交于A，B兩點(diǎn)，直線OP與拋物線y2＝8px(p＞0)的另一個(gè)交點(diǎn)為

13、Q，則＝________. 3　[畫出對(duì)應(yīng)的圖(圖略)就可以發(fā)現(xiàn)， ＝＝＝－1， 設(shè)P，則直線OP：y＝x，即y＝x，與y2＝8px聯(lián)立，可求得yQ＝4y1，從而得到面積比為－1＝3.] 三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分12分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足2acos C＋bcos C＋ccos B＝0. (1)求角C的大??； (2)若a＝2，△ABC的面積為，求c的大?。? [解]　(1)在△ABC中， ∵2acos C＋bcos C＋ccos B＝0， ∴由正弦定理可得： 2sin Acos C＋sin

14、 Bcos C＋sin Ccos B＝0， ∴2sin Acos C＋sin(B＋C)＝0， 又△ABC中，sin(B＋C)＝sin A≠0， ∴cos C＝－. ∵0＜C＜π，∴C＝. (2)由S＝absin C＝，a＝2，C＝，得b＝1. 由余弦定理得c2＝4＋1－2×2×1×＝7， ∴c＝. 18．(本小題滿分12分)如圖3，在五面體ABCDEF中，四邊形EDCF是正方形，AD＝DE，∠ADE＝90°，∠ADC＝∠DCB＝120°. 圖3 (1)證明：平面ABCD⊥平面EDCF； (2)求直線AF與平面BDF所成角的正弦值． [解]　(1)證明：因?yàn)锳D⊥DE

15、，DC⊥DE，AD，CD?平面ABCD，且AD∩CD＝D， 所以DE⊥平面ABCD. 又DE?平面EDCF，故平面ABCD⊥平面EDCF. (2)由已知DC∥EF，所以DC∥平面ABFE. 又平面ABCD∩平面ABFE＝AB，故AB∥CD. 所以四邊形ABCD為等腰梯形． 又AD＝DE，所以AD＝CD，易得AD⊥BD，令A(yù)D＝1，如圖，以D為原點(diǎn)，以的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz， 則D(0,0,0)，A(1,0,0)，F(xiàn)，B(0，，0)， 所以＝，＝(0，，0)， ＝. 設(shè)平面BDF的法向量為n＝(x，y，z)，由 所以取x＝2，則y＝0，z＝1，

16、 得n＝(2,0,1)， cos〈，n〉＝＝＝. 設(shè)直線與平面BDF所成的角為θ，則sin θ＝. 所以直線AF與平面BDF所成角的正弦值為. 19．(本小題滿分12分)某學(xué)校高三有1 000名學(xué)生，按性別分層抽樣從高三學(xué)生中抽取30名男生，20名女生期末某學(xué)科的考試成績(jī)，得到如圖4所示男生成績(jī)的頻率分布直方圖和如圖5所示的女生成績(jī)的莖葉圖． 圖4 圖5 (1)試計(jì)算男生考試成績(jī)的平均分x與女生考試成績(jī)的中位數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值)； (2)根據(jù)頻率分布直方圖可以認(rèn)為，男生這次考試的成績(jī)服從正態(tài)分布Z～N(，6.52)，試計(jì)算男生成績(jī)落在區(qū)間(65.5,78.5)

17、內(nèi)的概率及全?？荚嚦煽?jī)?cè)?65.5,78.5)內(nèi)的男生的人數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))； (3)若從抽取的50名學(xué)生中考試成績(jī)優(yōu)勢(shì)(90分以上包括90分)的學(xué)生中再選取3名學(xué)生，作學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)交流，記抽取的男生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望． 參考數(shù)據(jù)，若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜Z≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜Z≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜Z≤μ＋3σ)＝0.997 4. [解]　(1)男生的平均分為(45×0.01＋55×0.01＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.02＋95×0.01)×10＝72. 女生成績(jī)的中位數(shù)為＝81.5. (2)由(1)

18、知＝72，可知Z～N(72,6.52)． 可知成績(jī)落在(65.5,78.5)內(nèi)的概率為P(65.5＜Z＜78.5)＝P(72－6.5＜Z＜72＋6.5)＝0.682 6，所求考試成績(jī)?cè)?65.5,78.5)內(nèi)的男生的人數(shù)大約為×1 000×0.682 6≈410(人)． (3)根據(jù)頻率分布直方圖可知男生的考試成績(jī)?cè)赱90,100]的人數(shù)為30×0.1＝3，女生的人數(shù)為4，可知隨機(jī)變量ξ＝0,1,2,3. P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， 隨機(jī)變量的分布列為 ξ 0 1 2 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋2

19、×＋3×＝. 20．(本小題滿分12分)已知橢圓C1：＋＝1(b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)F2也為拋物線C1：y2＝8x的焦點(diǎn)． (1)若M，N為橢圓C1上兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為(1,1)，求直線MN的斜率； (2)若過橢圓C1的右焦點(diǎn)F2作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于A，B和C，D，設(shè)線段AB，CD的長(zhǎng)分別為m，n，證明＋是定值． [解]　因?yàn)閽佄锞€C2：y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，所以8－b2＝4，故b＝2.所以橢圓C1：＋＝1. (1)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則 兩式相減得＋＝0， 又MN的中點(diǎn)為(1,1)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2

20、. 所以＝－. 顯然，點(diǎn)(1,1)在橢圓內(nèi)部，所以直線MN的斜率為－. (2)橢圓右焦點(diǎn)F2(2,0)． 當(dāng)直線AB的斜率不存在或者為0時(shí)，＋＝＋＝. 當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2)， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程消去y并化簡(jiǎn)得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－8＝0， 因?yàn)棣ぃ?－8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－8)＝32(k2＋1)＞0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 所以m＝＝， 同理可得n＝. 所以＋＝＝為定值． 21．(本小題滿分12分)已知f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f(x)＝e2x＋2

21、f(0)ex－f′(0)x. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)當(dāng)x＞0時(shí)，af(x)＜ex－x恒成立，求a的取值范圍． [解]　(1)由f(0)＝1＋2f(0)，得f(0)＝－1. 因?yàn)閒′(x)＝2e2x－2ex－f′(0)， 所以f′(0)＝2－2－f′(0)，解得f′(0)＝0. 所以f(x)＝e2x－2ex， f′(x)＝2e2x－2ex＝2ex(ex－1)， 當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)＜0，則函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． (2)令g(x)＝af(x)－ex＋x＝ae

22、2x－(2a＋1)ex＋x，根據(jù)題意，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g(x)＜0恒成立． g′(x)＝2ae2x－(2a＋1)ex＋1＝(2aex－1)(ex－1)． ①當(dāng)0＜a＜，x∈(－ln 2a，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0恒成立， 所以g(x)在(－ln 2a，＋∞)上是增函數(shù)，且g(x)∈(g(－ln 2a)，＋∞)，所以不符合題意； ②當(dāng)a≥，x∈(0，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0恒成立， 所以g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且g(x)∈(g(0)，＋∞)，所以不符合題意； ③當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)閤∈(0，＋∞)，所有恒有g(shù)′(x)＜0，故g(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，于是“g(x)

23、＜0對(duì)任意x∈(0，＋∞)都成立”的充要條件是g(0)≤0， 即a－(2a＋1)≤0，解得a≥－1，故－1≤a≤0. 綜上，a的取值范圍是[－1,0]． 請(qǐng)考生在第22～23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分． 22．(本小題滿分10分)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤α＜π)．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C：ρ＝4cos θ. (1)當(dāng)α＝時(shí)，求C與l的交點(diǎn)的極坐標(biāo)； (2)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)t1，t2互為相反數(shù)，求|AB|的值． [解]　(1)依題意可知，直線

24、l的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，當(dāng)ρ＞0時(shí)，聯(lián)立，解得交點(diǎn)， 當(dāng)ρ＝0時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)(0,0)滿足兩方程， 當(dāng)ρ＜0時(shí)，無交點(diǎn)； 綜上，曲線C與直線l的交點(diǎn)極坐標(biāo)為(0,0)，. (2)把直線l的參數(shù)方程代入曲線C， 得t2＋2(sin α－cos α)t－2＝0， 可知t1＋t2＝0，t1t2＝－2， 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝2. 23．(本小題滿分10分)選修4－5：不等式選講 已知f(x)＝|ax－1|，若實(shí)數(shù)a＞0，不等式f(x)≤3的解集是{x|－1≤x≤2}． (1)求a的值； (2)若＜|k|存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． [解]　(1)由|ax－1|≤3，得－3≤ax－1≤3，解得：－2≤ax≤4, a＞0時(shí)，－≤x≤，而f(x)≤3的解集是{x|－1≤x≤2}，故 ，解得a＝2. (2)＝ ≥＝， 故要使＜|k|存在實(shí)數(shù)解，只需|k|＞，解得k＞或k＜－， ∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是∪.