《(全國(guó)通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一單元 空間位置關(guān)系 高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)(三十一)垂直問題3角度——線線、線面、面面 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(全國(guó)通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一單元 空間位置關(guān)系 高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)(三十一)垂直問題3角度——線線、線面、面面 理(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、(全國(guó)通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一單元 空間位置關(guān)系 高考達(dá)標(biāo)檢測(cè)(三十一)垂直問題3角度——線線、線面、面面 理
一、選擇題
1.(2018·天津模擬)設(shè)l是直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,則下列說法正確的是( )
A.若l∥α,l∥β,則α∥β B.若l∥α,l⊥β,則α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,則l∥β D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β
解析:選B 對(duì)于A,若l∥α,l∥β,則α∥β或α與β相交,故A錯(cuò);易知B正確;
對(duì)于C,若α⊥β,l⊥α,則l∥β或l?β,故C錯(cuò);
對(duì)于D,若α⊥β,l∥α,則l與β的位置關(guān)系不確定,故D錯(cuò).選B.
2.設(shè)m,n是兩
2、條不同的直線,α,β,γ是三個(gè)不同的平面.下列命題中正確的有( )
①若m?β,α⊥β,則m⊥α;
②若α∥β,m?α,則m∥β;
③若n⊥α,n⊥β,m⊥α,則m⊥β;
④若α⊥γ,β⊥γ,則α⊥β.
A.①③ B.①②
C.③④ D.②③
解析:選D 由面面垂直的性質(zhì)定理知,
若m?β,α⊥β,且m垂直于α,β的交線時(shí),m⊥α,故①錯(cuò)誤;
若α∥β,則α,β無交點(diǎn).又m?α,所以m∥β,故②正確;
若n⊥α,n⊥β,則α∥β.又m⊥α,所以m⊥β,故③正確;
若α⊥γ,β⊥γ,不能得出α⊥β,故④錯(cuò)誤.
3.(2018·南昌模擬)已知m,n為
3、異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β.直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則( )
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α與β相交,且交線垂直于l
D.α與β相交,且交線平行于l
解析:選D 由于m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β,則平面α與平面β必相交,但未必垂直,且交線垂直于直線m,n,又直線l滿足l⊥m,l⊥n,則交線平行于l.
4.設(shè)a,b是夾角為30°的異面直線,則滿足條件“a?α,b?β,且α⊥β ”的平面α,β( )
A.不存在 B.有且只有一對(duì)
C.有且只有兩對(duì) D.有無數(shù)對(duì)
解析:選D 過直線a的平面α有無數(shù)個(gè),當(dāng)平面α與直線b平行時(shí)
4、,兩直線的公垂線與b確定的平面β⊥α,當(dāng)平面α與b相交時(shí),過交點(diǎn)作平面α的垂線與b確定的平面β⊥α.故選D.
5.如圖,矩形ABCD中,AB=2AD,E為邊AB的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE(A?平面ABCD),若M,O分別為線段A1C,DE的中點(diǎn),則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中,下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.與平面A1DE垂直的直線必與直線MB垂直
B.異面直線BM與A1E所成角是定值
C.一定存在某個(gè)位置,使DE⊥MO
D.三棱錐A1-ADE外接球半徑與棱AD的長(zhǎng)之比為定值
解析:選C 取DC的中點(diǎn)N,連接MN,NB,
則MN∥A1D,NB∥DE,
∴平面MNB∥平面
5、A1DE,
∴MB∥平面A1DE,故A正確;
取A1D的中點(diǎn)F,連接MF,EF,則四邊形EFMB為平行四邊形,
則∠A1EF為異面直線BM與A1E所成角,故B正確;
點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)為N,則DE⊥平面AA1N,
即過O與DE垂直的直線在平面AA1N上,故C錯(cuò)誤;
三棱錐A1-ADE外接球半徑為AD,故D正確.
6.(2018·寶雞質(zhì)檢)對(duì)于四面體ABCD,給出下列四個(gè)命題:
①若AB=AC,BD=CD,則BC⊥AD;
②若AB=CD,AC=BD,則BC⊥AD;
③若AB⊥AC,BD⊥CD,則BC⊥AD;
④若AB⊥CD,AC⊥BD,則BC⊥AD.
其中為真命題的
6、是( )
A.①② B.②③
C.②④ D.①④
解析:選D?、偃鐖D,取BC的中點(diǎn)M,連接AM,DM,由AB=AC?AM⊥BC,同理DM⊥BC?BC⊥平面AMD,而AD?平面AMD,故BC⊥AD.④設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影為O,連接BO,CO,DO,由AB⊥CD?BO⊥CD,由AC⊥BD?CO⊥BD?O為△BCD的垂心?DO⊥BC?AD⊥BC.
7.如圖所示,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為CD的中點(diǎn),F(xiàn)為線段EC上(端點(diǎn)除外)一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABCF.在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB,K為垂足.設(shè)AK=t,則t的取值范圍是(
7、 )
A. B.
C. D.
解析:選B 如圖①所示,過點(diǎn)K作KM⊥AF于點(diǎn)M,連接DM,
易得DM⊥AF,與折前的圖形對(duì)比,可知折前的圖形中D,M,K三點(diǎn)共線且DK⊥AF(如圖②所示),
于是△DAK∽△FDA,所以=,即=,
所以t=,又DF∈(1,2),故t∈.
二、填空題
8.已知a,b表示兩條不同的直線,α,β,γ表示三個(gè)不同的平面,給出下列命題:
①若α∩β=a,b?α,a⊥b,則α⊥β;
②若a?α,a垂直于β內(nèi)的任意一條直線,則α⊥β;
③若α⊥β,α∩β=a,α∩γ=b,則a⊥b;
④若a不垂直于平面α,則a不可能垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直
8、線;
⑤若a⊥α,a⊥β,則α∥β.
其中正確命題的序號(hào)是________.
解析:①一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直,這兩個(gè)平面不一定垂直,故①錯(cuò)誤;②滿足兩個(gè)平面垂直的定義,故②正確;③若α⊥β,α∩β=a,α∩γ=b,則a與b平行或相交(相交時(shí)可能垂直),故③錯(cuò)誤;④若a不垂直于平面α,但a可能垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,故④錯(cuò)誤;⑤垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行,故⑤正確.
答案:②⑤
9.在三棱錐P -ABC中,點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O,
(1)若PA=PB=PC,則點(diǎn)O是△ABC的________心.
(2)若PA⊥PB,PB⊥
9、PC,PC⊥PA,則點(diǎn)O是△ABC的________心.
解析:如圖,連接OA,OB,OC,OP,并延長(zhǎng)AO交BC于H點(diǎn),延長(zhǎng)BO交AC于D點(diǎn),延長(zhǎng)CO交AB于G點(diǎn).
(1)在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,PA=PC=PB,∴OA=OB=OC,即O為△ABC的外心.
(2)∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,
∴PC⊥平面PAB,又AB?平面PAB,
∴PC⊥AB,
又AB⊥PO,PO∩PC=P,∴AB⊥平面PGC,
又CG?平面PGC,
∴AB⊥CG,即CG為△ABC邊AB的高.
同理可證BD,AH為△ABC底邊上的高,
即O為△ABC的垂心.
答案
10、:(1)外 (2)垂
10.如圖,直三棱柱ABC -A1B1C1中,側(cè)棱長(zhǎng)為2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中點(diǎn),F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn),AB1,DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF,則線段B1F的長(zhǎng)為________.
解析:設(shè)B1F=x,因?yàn)锳B1⊥平面C1DF,DF?平面C1DF,
所以AB1⊥DF.
由已知可以得A1B1=,
設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h,則DE=h.
又2×=h,所以h=,DE=.
在Rt△DB1E中,B1E= =.
由面積相等得× =x,解得x=.
即線段B1F的長(zhǎng)為.
答案:
三、解答題
11.(201
11、7·江蘇高考)如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點(diǎn)E,F(xiàn)(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求證:(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
證明:(1)在平面ABD內(nèi),因?yàn)锳B⊥AD,EF⊥AD,
所以EF∥AB.
又因?yàn)镋F?平面ABC,AB?平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
(2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,
平面ABD∩平面BCD=BD,
BC?平面BCD,BC⊥BD,
所以BC⊥平面ABD.
因?yàn)锳D?平面ABD,
所以BC⊥AD.
又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB?平面ABC,BC?平
12、面ABC,
所以AD⊥平面ABC.
又因?yàn)锳C?平面ABC,
所以AD⊥AC.
12.(2018·貴州省適應(yīng)性考試)已知長(zhǎng)方形ABCD中,AB=3,AD=4.現(xiàn)將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線BD折起,使AC=a,得到一個(gè)四面體A-BCD,如圖所示.
(1)試問:在折疊的過程中,直線AB與CD能否垂直?若能,求出相應(yīng)a的值;若不能,請(qǐng)說明理由.
(2)求四面體A-BCD體積的最大值.
解:(1)直線AB與CD能垂直.
因?yàn)锳B⊥AD,
若AB⊥CD,因?yàn)锳D∩CD=D,
所以AB⊥平面ACD,
又因?yàn)锳C?平面ACD,
從而AB⊥AC.
此時(shí),a===,
即當(dāng)a=時(shí),有AB⊥C
13、D.
(2)由于△BCD面積為定值,所以當(dāng)點(diǎn)A到平面BCD的距離最大,即當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時(shí),該四面體的體積最大,
此時(shí),過點(diǎn)A在平面ABD內(nèi)作AH⊥BD,垂足為H,
則有AH⊥平面BCD,AH就是該四面體的高.
在△ABD中,AH==,
S△BCD=×3×4=6,
此時(shí)VA-BCD=S△BCD·AH=,即為該四面體體積的最大值.
13.(2018·鄭州模擬)如圖,已知三棱柱ABC-A′B′C′的側(cè)棱垂直于底面,AB=AC,∠BAC=90°,點(diǎn)M,N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn).
(1)證明:MN∥平面AA′C′C;
(2)設(shè)AB=λAA′,當(dāng)λ為何值時(shí),CN⊥平面
14、A′MN,試證明你的結(jié)論.
解:(1)證明:如圖,取A′B′的中點(diǎn)E,連接ME,NE.
因?yàn)镸,N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn),
所以NE∥A′C′,ME∥BB′∥AA′.
又A′C′?平面AA′C′C,A′A?平面AA′C′C,
所以ME∥平面AA′C′C,NE∥平面AA′C′C,
因?yàn)镸E∩NE=E,
所以平面MNE∥平面AA′C′C,
因?yàn)镸N?平面MNE,
所以MN∥平面AA′C′C.
(2)當(dāng)λ=時(shí),CN⊥平面A′MN,證明如下:
連接BN,設(shè)AA′=a,則AB=λAA′=λa,
由題意知BC=λa,CN=BN= ,
因?yàn)槿庵鵄BC-A′B′C′的側(cè)棱
15、垂直于底面,
所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C,
因?yàn)锳B=AC,點(diǎn)N是B′C′的中點(diǎn),
所以A′N⊥平面BB′C′C,
所以CN⊥A′N,
要使CN⊥平面A′MN,只需CN⊥BN即可,
所以CN2+BN2=BC2,
即2=2λ2a2,
解得λ=,
故當(dāng)λ=時(shí),CN⊥平面A′MN.
如圖,在四棱錐S -ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.四邊形ABCD為正方形,且點(diǎn)P為AD的中點(diǎn),點(diǎn)Q為SB的中點(diǎn).
(1)求證:CD⊥平面SAD.
(2)求證:PQ∥平面SCD.
(3)若SA=SD,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),在棱SC上是否存在點(diǎn)N,使得平面DMN⊥平面ABCD?若
16、存在,請(qǐng)說明其位置,并加以證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解:(1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以CD⊥AD.
又因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,所以CD⊥平面SAD.
(2)證明:如圖,取SC的中點(diǎn)R,連接QR,DR.
由題意知:PD∥BC且PD=BC.
在△SBC中,點(diǎn)Q為SB的中點(diǎn),點(diǎn)R為SC的中點(diǎn),
所以QR∥ BC且QR=BC,
所以PD∥QR,且PD=QR,
所以四邊形PDRQ為平行四邊形,所以PQ∥DR.
又因?yàn)镻Q?平面SCD,DR?平面SCD,
所以PQ∥平面SCD.
(3)存在點(diǎn)N為SC的中點(diǎn),使得平面DMN⊥平面ABCD.
證明如下:
如圖,連接PC,DM交于點(diǎn)O,
連接DN,PM,SP,NM,NO,
因?yàn)镻D∥CM,且PD=CM,
所以四邊形PMCD為平行四邊形,
所以PO=CO.
又因?yàn)辄c(diǎn)N為SC的中點(diǎn),
所以NO∥SP.
易知SP⊥AD,
又因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,
所以SP⊥平面ABCD,所以NO⊥平面ABCD.
又因?yàn)镹O?平面DMN,
所以平面DMN⊥平面ABCD.