（通用版）2022年高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題十三 圓錐曲線的綜合問題講義 理（重點生含解析）

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1、（通用版）2022年高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題十三 圓錐曲線的綜合問題講義 理（重點生，含解析）卷卷卷2018橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、證明問題T19直線與拋物線的位置關(guān)系、弦長問題、拋物線與圓的綜合問題T19直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的證明與平面向量綜合問題T202017橢圓的標準方程、直線過定點問題T20軌跡問題、直線過定點問題T20直線與拋物線的位置關(guān)系、直線方程、圓的方程T202016軌跡問題、定值問題、面積的取值范圍問題T20直線與橢圓的位置關(guān)系、求三角形的面積、參數(shù)的取值范圍問題T20直線與拋物線的位置關(guān)系、軌跡問題、證明問題T20縱向把握趨勢卷3年3考，難度較

2、大，涉及橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、定點問題、定值問題、軌跡問題、取值范圍問題及證明問題特別注意2018年高考將此綜合題前移到第19題，難度降低這一變化，預計2019年仍會以橢圓為載體考查橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系以及定點或定值問題卷3年3考，難度偏大，涉及軌跡問題、直線與拋物線的位置關(guān)系、直線與橢圓的位置關(guān)系、軌跡問題、三角形面積、范圍問題以及直線過定點問題特別注意2018年高考將此綜合題前移到第19題，難度降低這一變化，預計2019年會以橢圓為載體考查弦長問題及弦長取值范圍問題卷3年3考，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系、軌跡問題及證明問題預計2019年會將拋

3、物線與圓綜合考查，考查直線與圓或拋物線的位置關(guān)系及其應(yīng)用問題橫向把握重點解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，是高中數(shù)學的主要知識板塊，是高考考查的重點知識之一，在解答題中一般會綜合考查直線、圓、圓錐曲線等試題難度較大，多以壓軸題出現(xiàn)解答題的熱點題型有：(1)直線與圓錐曲線位置關(guān)系；(2)圓錐曲線中定點、定值、最值及范圍的求解；(3)軌跡方程及探索性問題的求解.求什么想什么求拋物線C的方程，想到求p的值給什么用什么給出焦點F的坐標，利用焦點坐標與p的關(guān)系求p求什么想什么求證：直線AB過x軸上一定點，想到直線AB的方程給什么用什么題目條件中給出“A，B是拋物線C上異于點O的兩點”以及“直線OA，OB的斜率之

4、積為”，可設(shè)A，B兩點的坐標，也可設(shè)直線AB的方程差什么找什么要求直線AB的方程，還需要知道直線AB的斜率是否存在，可分類討論解決當直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為ykxb，A(xA，yA)，B(xB，yB)，聯(lián)立消去x，化簡得ky24y4b0.所以yAyB，因為直線OA，OB的斜率之積為，所以，整理得xAxB2yAyB0.即2yAyB0，解得yAyB0(舍去)或yAyB32.所以yAyB32，即b8k，所以ykx8k，即yk(x8)綜上所述，直線AB過定點(8,0)題后悟通思路受阻分析不能正確應(yīng)用條件“直線OA，OB的斜率之積為”是造成不能解決本題的關(guān)鍵技法關(guān)鍵點撥定點問題實質(zhì)及求解步驟解析

5、幾何中的定點問題實質(zhì)是：當動直線或動圓變化時，這些直線或圓相交于一點，即這些直線或圓繞著定點在轉(zhuǎn)動這類問題的求解一般可分為以下三步：對點訓練1(2018成都一診)已知橢圓C：1(ab0)的右焦點F(，0)，長半軸長與短半軸長的比值為2.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設(shè)不經(jīng)過點B(0,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點M，N，若點B在以線段MN為直徑的圓上，證明直線l過定點，并求出該定點的坐標解：(1)由題意得，c，2，a2b2c2，a2，b1，橢圓C的標準方程為y21.(2)當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為ykxm(m1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)聯(lián)立消去y，可得(4k21

6、)x28kmx4m240.16(4k21m2)0，x1x2，x1x2.點B在以線段MN為直徑的圓上，0.則(x1，kx1m1)(x2，kx2m1)(k21)x1x2k(m1)(x1x2)(m1)20，(k21)k(m1)(m1)20，整理，得5m22m30，解得m或m1(舍去)直線l的方程為ykx.易知當直線l的斜率不存在時，不符合題意故直線l過定點，且該定點的坐標為.題型策略(二)(2018沈陽質(zhì)監(jiān))設(shè)O為坐標原點，動點M在橢圓1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足 .(1)求點P的軌跡E的方程；(2)過F(1,0)的直線l1與點P的軌跡交于A，B兩點，過F(1,0)作與l1垂直的直線l

7、2與點P的軌跡交于C，D兩點，求證：為定值破題思路第(1)問求什么想什么求點P的軌跡E的方程，想到建立點P的橫坐標x與縱坐標y的關(guān)系式給什么用什么題目條件中給出 ，利用此條件建立點P的橫坐標與縱坐標的關(guān)系式差什么找什么要求點P的軌跡方程，還缺少點P，M，N的坐標，可設(shè)點P(x，y)，M(x0，y0)，N(x,0)，然后用x，y表示x0，y0第(2)問求什么想什么要證明為定值，想到利用合適的參數(shù)表示|AB|和|CD|給什么用什么題目條件給出過F(1,0)互相垂直的兩條直線分別與軌跡E分別交于A，B和C，D兩點，用弦長公式可求|AB|和|CD|差什么找什么要求|AB|和|CD|，還缺少直線l1和l

8、2的方程，可設(shè)出直線斜率，利用點斜式表示直線方程但要注意直線斜率不存在的情況規(guī)范解答(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x,0) ，(0，y)(x0x，y0)，x0x，y0.又點M在橢圓上，1，即1.點P的軌跡E的方程為1.(2)證明：由(1)知F為橢圓1的右焦點，當直線l1與x軸重合時，|AB|6，|CD|，.當直線l1與x軸垂直時，|AB|，|CD|6，.當直線l1與x軸不垂直也不重合時，可設(shè)直線l1的方程為yk(x1)(k0)，則直線l2的方程為y(x1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y，得(89k2)x218k2x9k2720，則(18k2)24(89k2)

9、(9k272)2 304(k21)0，x1x2，x1x2，|AB| .同理可得|CD|.綜上可得為定值題后悟通思路受阻分析在解決本題第(1)問時，不能正確應(yīng)用 求得點P的軌跡E的方程，導致第(2)問也無法求解，是解決本題易發(fā)生的錯誤之一；在解決第(2)問時，忽視直線斜率的不存在性或不能正確求解|AB|，|CD|都是常見解題失誤的原因.技法關(guān)鍵點撥定值問題實質(zhì)及求解步驟定值問題一般是指在求解解析幾何問題的過程中，探究某些幾何量(斜率、距離、面積、比值等)與變量(斜率、點的坐標等)無關(guān)的問題其求解步驟一般為：對點訓練2已知橢圓C的兩個頂點分別為A(2，0)，B(2,0)，焦點在x軸上，離心率為.(

10、1)求橢圓C的方程；(2)如圖所示，點D為x軸上一點，過點D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，過點D作AM的垂線交BN于點E.求證：BDE與BDN的面積之比為定值，并求出該定值解：(1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，由題意得解得所以橢圓C的方程為y21.(2)證明：法一：設(shè)D(x0,0)，M(x0，y0)，N(x0，y0)，2x03)的左頂點，斜率為k(k0)的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MANA.(1)當t4，|AM|AN|時，求AMN的面積；(2)當2|AM|AN|時，求k的取值范圍破題思路第(1)問求什么想什么求AMN的面積，想到三角形的面積公式S底高或Sabsin C給什么

11、用什么題目條件中給出“MANA，|AM|AN|”，得AMN為等腰直角三角形，故可利用面積S|AM|AN|求解差什么找什么到此就缺少|(zhì)AM|，|AN|的值，由于A點已知，故想法求M，N的坐標第(2)問求什么想什么求k的取值范圍，想到建立關(guān)于k的不等式給什么用什么題目條件中給出2|AM|AN|，可利用此條件建立t與k的關(guān)系式差什么找什么缺少關(guān)于k的不等式，想到t3即可建立k的不等式規(guī)范解答(1)由|AM|AN|，可得M，N關(guān)于x軸對稱，由MANA，可得直線AM的斜率k為1.因為t4，所以A(2,0)，所以直線AM的方程為yx2，代入橢圓方程1，可得7x216x40，解得x2或x，所以M，N，則AM

12、N的面積為.(2)由題意知t3，k0，A(，0)，將直線AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0，設(shè)M(x1，y1)，則x1()，即x1，故|AM|x1|.由題設(shè)知，直線AN的方程為y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|，得，即(k32)t3k(2k1)當k時上式不成立，因此t.由t3，得3，所以0，即0.由此得或解得k3，不能建立關(guān)于k的不等式，從而導致問題無法求解.技法關(guān)鍵點撥利用題目中隱藏的已知參數(shù)的范圍求新參數(shù)的范圍問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系，將新參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為已知參數(shù)的范圍問題.設(shè)橢圓1(a)的右焦點為F，右頂點為A.已知|OA|O

13、F|1，其中O為原點，e為橢圓的離心率(1)求橢圓的方程及離心率e的值；(2)設(shè)過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點M，與y軸交于點H.若BFHF，且MOAMAO，求直線l的斜率的取值范圍破題思路第(1)問求什么想什么求橢圓的標準方程及離心率e的值，想到利用a，b，c的關(guān)系求參數(shù)a及離心率e的值給什么用什么題目條件中給出|OA|OF|1，則ac1差什么找什么還缺少一個關(guān)于a和c的關(guān)系式，可利用a2b2c2第(2)問求什么想什么求直線l的斜率k的取值范圍，想到建立關(guān)于斜率k的不等式給什么用什么由題目條件垂直于直線l的直線與l交于點M，與y軸交于點H，利用kkMH

14、1，建立關(guān)于k的兩條直線方程，由題目條件MOAMAO，利用三角形的大角對大邊，建立關(guān)于xM的不等式，利用題目條件BFHF，即0建立關(guān)系式差什么找什么還缺少關(guān)于k的不等式，應(yīng)找到xM與k的關(guān)系構(gòu)建關(guān)于k的不等式規(guī)范解答(1)由題意可知|OF|c，又|OA|OF|1，所以a1，解得a2，所以橢圓的方程為1，離心率e.(2)設(shè)M(xM，yM)，易知A(2,0)，在MAO中，MOAMAO|MA|MO|，即(xM2)2yxy，化簡得xM1.設(shè)直線l的斜率為k(k0)，則直線l的方程為yk(x2)設(shè)B(xB，yB)，聯(lián)立消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120，解得x2或x.由題意得xB，從

15、而yB.由(1)知F(1,0)，設(shè)H(0，yH)，則(1，yH)，.由BFHF，得0，即0，解得yH，所以直線MH的方程為yx.由消去y，得xM.由xM1，得1，解得k或k，所以直線l的斜率的取值范圍為.題后悟通思路受阻分析不能將條件中的幾何信息MOAMAO準確地轉(zhuǎn)化成代數(shù)不等式xM1，并將其用直線l的斜率表示出來，得到目標不等式，是不能正確求解此題的常見原因.技法關(guān)鍵點撥利用已知條件中的幾何關(guān)系構(gòu)建目標不等式的核心是用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，從而構(gòu)建出目標不等式.已知中心在原點，焦點在y軸上的橢圓C，其上一點Q到兩個焦點F1，F(xiàn)2的距離之和為4，離心率為.(1)求橢

16、圓C的方程；(2)若直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，且線段MN恰被直線x平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為ykxm，求m的取值范圍破題思路第(1)問求什么想什么求橢圓C的方程，想到求橢圓的長半軸a和短半軸b的值給什么用什么題目條件中給出橢圓焦點的位置，以及橢圓上一點Q到兩個焦點F1，F(xiàn)2的距離之和及離心率，用橢圓的定義和離心率公式即可求a，b的值第(2)問求什么想什么求m的取值范圍，想到建立關(guān)于m的不等式給什么用什么題目條件給出線段MN恰被直線x平分，弦MN的垂直平分線方程為ykxm，用ykxm是弦MN的中垂線及MN的中點在直線x上，可設(shè)出中點坐標P，建立y0與m的關(guān)系，通過y0范圍求m范

17、圍或建立m與k的關(guān)系式差什么找什么還缺少建立不等式的條件，注意到MN的中點在橢圓內(nèi)部及直線x上，其隱含條件為線段MN的中點縱坐標的范圍可確定或聯(lián)立直線l與橢圓方程，利用判別式0求解規(guī)范解答(1)由題意可設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，由條件可得a2，c，則b1.故橢圓C的方程為x21.(2)法一：設(shè)弦MN的中點為P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，則由點M，N為橢圓C上的點，可知4xy4,4xy4，兩式相減，得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0，將xMxN21，yMyN2y0，代入上式得k.又點P在弦MN的垂直平分線上，所以y0km，所以my0ky0.由點P在線段BB上B(

18、xB，yB)，B(xB，yB)為直線x與橢圓的交點，如圖所示，所以yBy0yB，即y0.所以m0，得k，所以mk，即m的取值范圍為.題后悟通思路受阻分析利用點差法求解第(2)問時，關(guān)鍵是利用點差法得到目標參數(shù)m與y0的關(guān)系，再根據(jù)點P與橢圓的位置關(guān)系得到y(tǒng)0的取值范圍，從而求得目標參數(shù)m的取值范圍很多同學在解決本題時往往出現(xiàn)如下失誤：(1)忽視y0的取值范圍而造成思路受阻無法正確求解(2)利用判別式法求解此題時，抓住直線與圓錐曲線相交這一條件，利用判別式0構(gòu)建m與k的關(guān)系式，從而得所求，但部分考生忽視0，導致思路受阻而無法求解技法關(guān)鍵點撥(1)利用點在曲線內(nèi)(外)的充要條件構(gòu)建目標不等式的核心

19、是抓住目標參數(shù)和某點的關(guān)系，根據(jù)點與圓錐曲線的位置關(guān)系構(gòu)建目標不等式(2)利用判別式構(gòu)建目標不等式的核心是抓住直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和判別式的關(guān)系建立目標不等式對點訓練1已知焦點在y軸上的橢圓E的中心是原點O，離心率等于，以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為4.直線l：ykxm與y軸交于點P，與橢圓E相交于A，B兩個點(1)求橢圓E的方程；(2)若3，求m2的取值范圍解：(1)根據(jù)已知設(shè)橢圓E的方程為1(ab0)，焦距為2c，由已知得，ca，b2a2c2.以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為4，42a4，a2，b1.橢圓E的方程為x21.(2)根據(jù)已知得P(0，m)，設(shè)A(x

20、1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由消去y，得(k24)x22mkxm240.由已知得4m2k24(k24)(m24)0，即k2m240，且x1x2，x1x2.由3，得x13x2.3(x1x2)24x1x212x12x0.0，即m2k2m2k240.當m21時，m2k2m2k240不成立，k2.k2m240，m240，即0.解得1m2b0)，焦距為2c，則bc，a2b2c22b2，橢圓E的標準方程為1.又橢圓E過點，1，解得b21.橢圓E的標準方程為y21.(2)由于點(2,0)在橢圓E外，直線l的斜率存在設(shè)直線l的斜率為k，則直線l：yk(x2)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)由消

21、去y得，(12k2)x28k2x8k220.由0，得0k2b0)經(jīng)過點P，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點，不經(jīng)過F1的直線l與橢圓C交于兩個不同的點A，B.如果直線AF1，l，BF1的斜率依次成等差數(shù)列，求焦點F2到直線l的距離d的取值范圍解：(1)由題意，知解得所以橢圓C的方程為y21.(2)易知直線l的斜率存在且不為零設(shè)直線l的方程為ykxm，代入橢圓方程y21，整理得(12k2)x24kmx2(m21)0.由(4km)28(12k2)(m21)0，得2k2m21.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.因為F1(1,0)，

22、所以kAF1，kBF1.由題可得2k，且y1kx1m，y2kx2m，所以(mk)(x1x22)0.因為直線l：ykxm不過焦點F1(1,0)，所以mk0，所以x1x220，從而20，即mk.由得2k221，化簡得|k|.焦點F2(1,0)到直線l：ykxm的距離d，令t，由|k|知t(1，)于是d，因為函數(shù)f (t)在1，上單調(diào)遞減，所以f ()df (1)，解得d2，所以焦點F2到直線l的距離d的取值范圍是(，2)4(2019屆高三合肥調(diào)研)已知M為橢圓C：1上的動點，過點M作x軸的垂線，垂足為D，點P滿足 .(1)求動點P的軌跡E的方程；(2)若A，B兩點分別為橢圓C的左、右頂點，F(xiàn)為橢圓

23、C的左焦點，直線PB與橢圓C交于點Q，直線QF，PA的斜率分別為kQF，kPA，求的取值范圍解：(1)設(shè)P(x，y)，M(m，n)，依題意知D(m,0)，且y0.由，得(mx，y)(0，n)，則有又M(m，n)為橢圓C：1上的點，1，即x2y225，故動點P的軌跡E的方程為x2y225(y0)(2)依題意知A(5,0)，B(5,0)，F(xiàn)(4,0)，設(shè)Q(x0，y0)，線段AB為圓E的直徑，APBP，設(shè)直線PB的斜率為kPB，則kQFkPBkQFkQB，點P不同于A，B兩點且直線QF的斜率存在，5x00，則所以x1x2(my16)(my26)4m212，因為x1x2，所以x1x236，假設(shè)存在N

24、(x0，y0)，使得0，由題意可知y0，所以y02m，由N點在拋物線上可知x0，即x0m2，又(x1x0，y1y0)，(x2x0，y2y0)，若0，則x1x2x0(x1x2)xy1y2y0(y1y2)y0，由代入上式化簡可得：3m416m2120，即(m26)(3m22)0，所以m2，故m，所以存在直線3xy180或3xy180，使得NANB.題后悟通思路受阻分析本題(2)中條件的關(guān)系較多且層層遞進又相互關(guān)聯(lián)先是過定點的直線l與曲線T相交于A，B，再是過A，B中點與x軸平行的直線交曲線T于點N，再是NANB，能否合理轉(zhuǎn)化這些條件及條件中的關(guān)系是正確解決此題的關(guān)鍵常因不會轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)化過程中計算失誤

25、導致無法繼續(xù)解題或解題失誤技法關(guān)鍵點撥存在性問題的求解方法(1)解決存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化一般步驟：假設(shè)滿足條件的曲線(或直線、點)等存在，用待定系數(shù)法設(shè)出；列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)；若方程(組)有實數(shù)解，則曲線(或直線、點等)存在，否則不存在(2)反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法題型策略(二)含字母參數(shù)的存在性問題如圖，橢圓C：1(ab0)經(jīng)過點P，離心率e，直線l的方程為x4.(1)求橢圓C的方程；(2)AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P)，設(shè)直線AB與直線l相交于點M，記直線PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在常數(shù)，

26、使得k1k2k3？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由破題思路第(1)問求什么想什么求橢圓C的方程，想到求a，b的值給什么用什么題目條件中給出橢圓過點P，離心率e.將P點坐標代入橢圓方程可得a，b的關(guān)系式；用離心率公式可得a，c的關(guān)系式，另外，還有a2b2c2，即可求得a，b的值第(2)問求什么想什么判斷是否存在常數(shù)，使k1k2k3成立想到k1k2k3是否有解給什么用什么題目條件中給出直線AB過右焦點F，且與橢圓及直線l分別交于點A，B，M，直線PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，想到用斜率公式表示k1，k2，k3差什么找什么需要A，B，M的坐標，可設(shè)出A，B，M的坐標，通過建立直

27、線AB與橢圓方程的方程組求得各坐標的關(guān)系規(guī)范解答(1)由題意得解得故橢圓C的方程為1.(2)由題意可設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為yk(x1)，代入橢圓方程，并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x21，則x1x2，x1x2，在方程中令x4，得點M的坐標為(4,3k)從而k1，k2，k3k.因為A，F(xiàn)，B三點共線，所以kkAFkBF，即k，所以k1k22k，將代入得，k1k22k2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常數(shù)2符合題意題后悟通思路受阻分析不會利用A，F(xiàn)，B三點共線建立各個坐標之間的數(shù)量關(guān)系，從而不能將k1k2進

28、行化簡是導致解題受阻、不能正確求解的主要原因技法關(guān)鍵點撥字母參數(shù)值存在性問題的求解方法求解字母參數(shù)值的存在性問題時，通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進行推理與計算，若不出現(xiàn)矛看，并且得到了相應(yīng)的參數(shù)值，就說明滿足條件的參數(shù)值存在；若在推理與計算中出現(xiàn)了矛盾，則說明滿足條件的參數(shù)值不存在，同時推理與計算的過程就是說明理由的過程對點訓練(2019屆高三福州四校聯(lián)考)已知橢圓C：1(ab0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸的一個端點為P，PF1F2內(nèi)切圓的半徑為，設(shè)過點F2的直線l被橢圓C截得的線段為RS，當lx軸時，|RS|3.(1)求橢圓C的標準

29、方程；(2)在x軸上是否存在一點T，使得當l變化時，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱？若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由解：(1)由內(nèi)切圓的性質(zhì)，得2cb(2a2c)，所以.將xc代入1，得y，所以3.又a2b2c2，所以a2，b，故橢圓C的標準方程為1.(2)當直線l垂直于x軸時，顯然x軸上任意一點T都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱當直線l不垂直于x軸時，假設(shè)存在T(t,0)滿足條件，設(shè)l的方程為yk(x1)，R(x1，y1)，S(x2，y2)聯(lián)立消去y，得(34k2)x28k2x4k2120，由根與系數(shù)的關(guān)系得，其中0恒成立，由TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱，得kTSkT

30、R0(顯然TS，TR的斜率存在)，即0.因為R，S兩點在直線yk(x1)上，所以y1k(x11)，y2k(x21)，代入得0，即2x1x2(t1)(x1x2)2t0.將代入得0，則t4，綜上所述，存在T(4,0)，使得當l變化時，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱高考大題通法點撥圓錐曲線問題重在“設(shè)”設(shè)點、設(shè)線思維流程策略指導 圓錐曲線解答題的常見類型是：第1小題通常是根據(jù)已知條件，求曲線方程或離心率，一般比較簡單第2小題往往是通過方程研究曲線的性質(zhì)弦長問題、中點弦問題、動點軌跡問題、定點與定值問題、最值問題、相關(guān)量的取值范圍問題等等，這一小題綜合性較強，可通過巧設(shè)“點”“線”，設(shè)而不求在具體

31、求解時，可將整個解題過程分成程序化的三步：第一步，聯(lián)立兩個方程，并將消元所得方程的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系正確寫出；第二步，用兩個交點的同一類坐標的和與積，來表示題目中涉及的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；第三步，求解轉(zhuǎn)化而來的代數(shù)問題，并將結(jié)果回歸到原幾何問題中在求解時，要根據(jù)題目特征，恰當?shù)脑O(shè)點、設(shè)線，以簡化運算已知橢圓C：1(ab0)的右焦點為F(1,0)，且點P在橢圓C上，O為坐標原點(1)求橢圓C的標準方程；(2)設(shè)過定點T(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，且AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍；(3)過橢圓C1：1上異于其頂點的任一點P，作圓O：x2y2的兩條切線，切點分別為M

32、，N(M，N不在坐標軸上)，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m，n，證明：為定值破題思路第(1)問求什么想什么求橢圓C的標準方程，想到求a和b的值給什么用什么題目條件中給出橢圓的右焦點為F(1,0)以及橢圓上的一點P，將點P代入橢圓方程中，再結(jié)合c2a2b2即可求解第(2)問求什么想什么求直線l的斜率k的取值范圍，想到建立關(guān)于k的不等式給什么用什么題目條件中給出直線l過定點(0,2)與橢圓交于不同的兩點A，B且AOB為銳角，可用k表示出直線l的方程，與橢圓聯(lián)立，得出關(guān)于x的一元二次方程由于直線與橢圓相交，故判別式0，由于AOB為銳角，故0，從而得出關(guān)于k的不等式第(3)問求什么想什么證明：

33、為定值，想到尋找合適的參數(shù)表示m和n或求出m和n的值給什么用什么題目條件中給出M，N是過橢圓C1上異于其頂點的任一點P作圓O的切線所得切點以及m，n為直線MN在x軸、y軸上的截距用P，M，N的坐標表示出切線PM，PN的方程以及直線MN的方程，再用點P的坐標表示出m和n差什么找什么需求出m，n，可利用P點坐標表示m，n.然后借助點P在橢圓C1上求得定值證明問題規(guī)范解答(1)由題意得c1，所以a2b21.又點P在橢圓C上，所以1.由可解得a24，b23，所以橢圓C的標準方程為1.(2)設(shè)直線l的方程為ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(4k23)x216kx40，因為16(12k2

34、3)0，所以k2，則x1x2，x1x2.因為AOB為銳角，所以0，即x1x2y1y20，所以x1x2(kx12)(kx22)0，所以(1k2)x1x22k(x1x2)40，即(1k2)2k40，解得k2，所以k2，解得k或k.故直線l的斜率k的取值范圍為.(3)證明：由(1)知橢圓C1的方程為1，設(shè)P(x0，y0)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，因為M，N不在坐標軸上，所以kPM，直線PM的方程為yy3(xx3)，化簡得x3xy3y.同理可得直線PN的方程為x4xy4y.把P點的坐標代入得所以直線MN的方程為x0xy0y.令y0，得m，令x0，得n，所以x0，y0，又點P在橢圓C1上，所

35、以2324，即，為定值關(guān)鍵點撥解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的步驟(1)設(shè)方程及點的坐標；(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程(注意二次項系數(shù)是否為零)；(3)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式；(4)結(jié)合已知條件、中點坐標公式、斜率公式及弦長公式求解對點訓練(2018全國卷)設(shè)橢圓C：y21的右焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，點M的坐標為(2,0)(1)當l與x軸垂直時，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標原點，證明：OMAOMB.解：(1)由已知得F(1,0)，l的方程為x1.則點A的坐標為或.又M(2,0)，所以直線AM的方程為yx或yx，即xy20或xy20.(2)證明：當

36、l與x軸重合時，OMAOMB0.當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以O(shè)MAOMB.當l與x軸不重合也不垂直時，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x20)和定點M(0,1)，設(shè)過點M的動直線交拋物線C于A，B兩點，拋物線C在A，B處的切線的交點為N.(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；(2)若ABN的面積的最小值為4，求拋物線C的方程解：設(shè)直線AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線AB的方程代入拋物線C的方程得x22pkx2p0，則x1x22pk，x1x22p.(1)由x22py得y，則A，B處的切線斜率的乘積為，點

37、N在以AB為直徑的圓上，ANBN，1，p2.(2)易得直線AN：yy1(xx1)，直線BN：yy2(xx2)，聯(lián)立結(jié)合式，解得即N(pk，1)所以|AB|x2x1|，點N到直線AB的距離d，則SABN|AB|d2，當k0時，取等號，ABN的面積的最小值為4，24，p2，故拋物線C的方程為x24y.2(2019屆高三河北“五個一名校聯(lián)盟”模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：y21，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)是橢圓C上兩個動點，直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，若m，n，mn0.(1)求證：k1k2；(2)試探求POQ的面積S是否為定值，并說明理由解：(1)證明：k1，k2存

38、在，x1x20，mn0，y1y20，k1k2.(2)當直線PQ的斜率不存在，即x1x2，y1y2時，由，得y0，又由P(x1，y1)在橢圓上，得y1，|x1|，|y1|，SPOQ|x1|y1y2|1.當直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為ykxb(b0)由得(4k21)x28kbx4b240，64k2b24(4k21)(4b24)16(4k21b2)0，x1x2，x1x2.y1y20，(kx1b)(kx2b)0，得2b24k21，滿足0.SPOQ|PQ|b|2|b|1.POQ的面積S為定值3.(2018長春質(zhì)檢)如圖，在矩形ABCD中，|AB|4，|AD|2，O為AB的中點，P，Q分別是A

39、D和CD上的點，且滿足，直線AQ與BP的交點在橢圓E：1(ab0)上(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)R為橢圓E的右頂點，M為橢圓E第一象限部分上一點，作MN垂直于y軸，垂足為N，求梯形ORMN面積的最大值解：(1)設(shè)AQ與BP的交點為G(x，y)，P(2，y1)，Q(x1,2)，由題可知，.kAGkAQ，kBGkBP，從而有，整理得y21，即橢圓E的方程為y21.(2)由(1)知R(2,0)，設(shè)M(x0，y0)，則y0，從而梯形ORMN的面積S(2x0)y0，令t2x0，則2t0，u4t3t4單調(diào)遞增，當t(3,4)時，u0)，直線xmy3與E交于A，B兩點，且6，其中O為坐標原點(1)求拋物線

40、E的方程；(2)已知點C的坐標為(3,0)，記直線CA，CB的斜率分別為k1，k2，證明：2m2為定值解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去x，整理得y22pmy6p0，則y1y22pm，y1y26p，x1x29，由x1x2y1y296p6，解得p，所以y2x.(2)證明：由題意得k1，k2，所以m，m，所以2m2222m22m212m362m212m36.由(1)可知：y1y22pmm，y1y26p3，所以2m212m3624，所以2m2為定值5(2018惠州調(diào)研)已知C為圓(x1)2y28的圓心，P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP上，且有點A(1,0)和AP上的點M，滿足

41、0，2.(1)當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程；(2)若斜率為k的直線l與圓x2y21相切，與(1)中所求點Q的軌跡交于不同的兩點F，H，O是坐標原點，且，求k的取值范圍解：(1)由題意知MQ是線段AP的垂直平分線，所以|CP|QC|QP|QC|QA|2|CA|2，所以點Q的軌跡是以點C，A為焦點，焦距為2，長軸長為2的橢圓，所以a，c1，b1，故點Q的軌跡方程是y21.(2)設(shè)直線l：ykxt，F(xiàn)(x1，y1)，H(x2，y2)，直線l與圓x2y21相切1t2k21.聯(lián)立(12k2)x24ktx2t220，則16k2t24(12k2)(2t22)8(2k2t21)8k20k0，x1x2，

42、x1x2，所以x1x2y1y2(1k2)x1x2kt(x1x2)t2ktt2k21，所以k2|k|，所以k或k.故k的取值范圍是.6.如圖所示，設(shè)橢圓M：1(ab0)的左頂點為A，中心為O，若橢圓M過點P，且APOP.(1)求橢圓M的方程；(2)若APQ的頂點Q也在橢圓M上，試求APQ面積的最大值；(3)過點A作兩條斜率分別為k1，k2的直線交橢圓M于D，E兩點，且k1k21，求證：直線DE過定點解：(1)由APOP，可知kAPkOP1.又點A的坐標為(a,0)，所以1，解得a1.又因為橢圓M過點P，所以1，解得b2，所以橢圓M的方程為x21.(2)由題意易求直線AP的方程為，即xy10.因為

43、點Q在橢圓M上，故可設(shè)Q，又|AP|，所以SAPQ cos1 .當2k(kZ)，即2k(kZ)時，SAPQ取得最大值.(3)證明：法一：由題意易得，直線AD的方程為yk1(x1)，代入x23y21，消去y，得(3k1)x26kx3k10.設(shè)D(xD，yD)，則(1)xD，即xD，yDk1.設(shè)E(xE，yE)，同理可得xE，yE.又k1k21且k1k2，可得k2且k11，所以xE，yE，所以kDE，故直線DE的方程為y.令y0，可得x2.故直線DE過定點(2,0)法二：設(shè)D(xD，yD)，E(xE，yE)若直線DE垂直于y軸，則xExD，yEyD，此時k1k2與題設(shè)矛盾，若DE不垂直于y軸，可設(shè)

44、直線DE的方程為xtys，將其代入x23y21，消去x，得(t23)y22tsys210，則yDyE，yDyE.又k1k21，可得(t21)yDyEt(s1)(yDyE)(s1)20，所以(t21)t(s1)(s1)20，可得s2或s1.又DE不過點A，即s1，所以s2.所以DE的方程為xty2.故直線DE過定點(2,0)7(2018南昌模擬)如圖，已知直線l：ykx1(k0)關(guān)于直線yx1對稱的直線為l1，直線l，l1與橢圓E：y21分別交于點A，M和A，N，記直線l1的斜率為k1. (1)求kk1的值；(2)當k變化時，試問直線MN是否恒過定點？若恒過定點，求出該定點坐標；若不恒過定點，請說明理由解：(1)設(shè)直線l上任意一點P(x，y)關(guān)于直線yx1對稱的點為P0