2、式及前n項(xiàng)和的公式
(1)an＝a1＋(n－1)d；
(2)Sn＝na1＋＝.
5．等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}是等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.
(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}(p，q∈N*)也是等差數(shù)列．
(5)若{an}是等差數(shù)列，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)組成公差為md的等差數(shù)列．
(6)若{an}是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列
3、，其首項(xiàng)與{an}首項(xiàng)相同，公差是{an}公差的.
(7)若{an}是等差數(shù)列，Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項(xiàng)，前2m項(xiàng)，前3m項(xiàng)的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列．
(8)S2n－1＝(2n－1)·an.
(9)兩個(gè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和Sn，Tn之間的關(guān)系為＝.
6．等比數(shù)列的相關(guān)公式
(1)通項(xiàng)公式
通項(xiàng)公式
通項(xiàng)公式的推廣
an＝a1qn－1
(揭示首末兩項(xiàng)的關(guān)系)
an＝amqn－m
(揭示任意兩項(xiàng)之間的關(guān)系)
(2)前n項(xiàng)和公式
Sn＝或Sn＝
7．等比數(shù)列的性質(zhì)
若{an}為等比數(shù)列，則
(1){a}，
4、，{c·an}(c≠0)都是等比數(shù)列．
(2)各項(xiàng)及公比都不為0.
8．等比數(shù)列項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am·an＝ap·aq.
(1)特別地，當(dāng)m＋n＝2k(m，n，k∈N*)時(shí)，am·an＝a.
(2)對(duì)有窮等比數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
9．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
若Sn是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則當(dāng)q≠－1時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比數(shù)列．
■自測(cè)自評(píng)——————————————
1．[2019·全國卷Ⅰ]記Sn為等差數(shù)列{an}的前
5、n項(xiàng)和．已知S4＝0，a5＝5，則( )
A．a(chǎn)n＝2n－5 B．a(chǎn)n＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
解析：解法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
∵∴解得
∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故選A.
解法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵
∴解得選項(xiàng)A，a1＝2×1－5＝－3；選項(xiàng)B，a1＝3×1－10＝－7，排除B；選項(xiàng)C，S1＝2－8＝－6，排除C；選項(xiàng)D，S1＝－2＝－，排除D.故選A.
答案：A
2．[2019·全國卷Ⅲ]已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且
6、a5＝3a3＋4a1，則a3＝( )
A．16 B．8
C．4 D．2
解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.
答案：C
3．[2019·太原一模]已知等比數(shù)列{an}滿足a5＋a8＝2，a6·a7＝－8，則a2＋a11＝( )
A．5 B．－5
C．7 D．－7
解析：設(shè){an}的公比為q，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a5·a8＝a6·a7＝－8，所以a5，a8是方
7、程y2－2y－8＝0的兩根，得或.若，則＝q3＝－，所以q6＝2＝，q9＝3＝－.由a5＋a8＝a1q4＋a1q7＝a1q(q3＋q6)＝a1q＝2，得a1q＝－8，故a2＋a11＝a1q(1＋q9)＝a1q＝(－8)×＝－7.若，則＝q3＝－2，所以q6＝(－2)2＝4，q9＝(－2)3＝－8.由a5＋a8＝a1q4＋a1q7＝a1q(q3＋q6)＝a1q(－2＋4)＝2，得a1q＝1，故a2＋a11＝a1q(1＋q9)＝a1q(1－8)＝1×(－7)＝－7.故選D.
答案：D
4．[2019·福州質(zhì)檢]等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.若a3＝4，a2a6＝64，則S
8、5＝( )
A．32 B．31
C．64 D．63
解析：通解：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，因?yàn)閍n>0，所以q>0，由條件得，解得，所以S5＝31，故選B.
優(yōu)解：設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，因?yàn)閍n>0，所以q>0，由a2a6＝a＝64，a3＝4，得q＝2，a1＝1，所以S5＝31，故選B.
答案：B
5．[2019·廣州綜合測(cè)試一]設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若m為大于1的正整數(shù)，且am－1－a＋am＋1＝1，S2m－1＝11，則m＝( )
A．11 B．10
C．6 D．5
解析：由am－1－a＋am＋1＝1可得2am－a＝1，即a－2am＋1＝0，解得am＝1，
9、由S2m－1＝＝am×(2m－1)＝11，可得2m－1＝11，得m＝6，選C.
答案：C
6．[2019·惠州調(diào)研]已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝1,2a3，a5,3a4成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝( )
A．2n－1 B．2n－1－1
C．2n－1 D．2n
解析：通解：設(shè){an}的公比為q(q>0)，由題意知2a5＝2a3＋3a4，∴2a3q2＝2a3＋3a3q，∴2q2＝2＋3q，∴q＝2或q＝－(舍去)，所以an＝2n－1，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1.
優(yōu)解：當(dāng)n＝1時(shí)，21－1－1＝0≠a1,21＝2≠a
10、1，排除B，D；若Sn＝2n－1，則S2＝22－1＝2，得到a2＝2－1＝1，這時(shí)a1＝a2＝a3＝a4＝a5＝1，不滿足2a3，a5,3a4成等差數(shù)列，排除C，選A.
答案：A
7．[2019·福建寧德模擬]等差數(shù)列{an}中，a4＝9，a7＝15，則數(shù)列{(－1)nan}的前20項(xiàng)和等于( )
A．－10 B．－20
C．10 D．20
解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a4＝9，a7＝15，得a1＋3d＝9，a1＋6d＝15，解得a1＝3，d＝2，則an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，數(shù)列{(－1)nan}的前20項(xiàng)和為－3＋5－7＋9－11＋13－…－39＋41＝2＋2＋
11、…＋2＝2×10＝20.故選D.
答案：D
8．[2019·江蘇卷]已知數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，則S8的值是________．
解析：通解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a2a5＋a8＝(a1＋d)(a1＋4d)＋a1＋7d＝a＋4d2＋5a1d＋a1＋7d＝0，S9＝9a1＋36d＝27，解得a1＝－5，d＝2，則S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16.
優(yōu)解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.S9＝＝9a5＝27，a5＝3，又a2a5＋a8＝0，則3(3－3d)＋3＋3d＝0，得d＝2，則S8＝＝4(a4＋a5)＝4(
12、1＋3)＝16.
答案：16
9．[2019·北京卷]設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a2＝－3，S5＝－10，則a5＝________，Sn的最小值為________．
解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
∵即
∴可得∴a5＝a1＋4d＝0.
∵Sn＝na1＋d＝(n2－9n)，∴當(dāng)n＝4或n＝5時(shí)，Sn取得最小值，最小值為－10.
答案：0?。?0
10．[2019·全國卷Ⅰ]記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝，a＝a6，則S5＝__________.
解析：通解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，
13、又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.
優(yōu)解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所以q＝3，所以S5＝＝＝.
答案：
調(diào)研二 數(shù)列求和
■備考工具——————————————
1．求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法
(1)公式法
①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
Sn＝＝na1＋.
②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
a．當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；
b．當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝.
(2)分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列．
(3)裂項(xiàng)相消：把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)分成兩項(xiàng)差的形式，相加過程中消去中間項(xiàng)，只剩有限項(xiàng)再求和．
(4)錯(cuò)位相減：適用
14、于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和．
(5)倒序相加：把數(shù)列正著寫和倒著寫再相加，例如等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法．
(6)并項(xiàng)求和：將某些具有某種特殊性質(zhì)的項(xiàng)放在一起先求和，再求整體的和．
2．常見的拆項(xiàng)公式
(1)若{an}為各項(xiàng)都不為0的等差數(shù)列，公差為d(d≠0)，則＝；
(2)＝；
(3)＝－；
(4)loga＝loga(n＋1)－logan(a>0且a≠1)．
3．常見數(shù)列的前n項(xiàng)和
(1)1＋2＋3＋…＋n＝；
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n；
(3)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；
(4)12＋22＋32＋…＋n2＝；
(
15、5)13＋23＋33＋…＋n3＝2.
■自測(cè)自評(píng)——————————————
1．[2019·太原一模]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn－(－1)nan＝2n－6＋(n∈N*)，則S100＝( )
A．196 B．200
C．194＋ D．198＋
解析：令n＝102，則S102－a102＝2×102－6＋，所以S102－(S102－S101)＝198＋，得S101＝198＋?、?，
令n＝101，則S101＋a101＝2×101－6＋，所以S101＋(S101－S100)＝196＋，得2S101－S100＝196＋?、?，
將①代入②得S100＝2×－196－＝
16、396＋－196－＝200，選B.
答案：B
2．[2019·南昌一模]楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡(1623～1662)是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，這是我國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就．如圖所示，在“楊輝三角”中，去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5…，則此數(shù)列前135項(xiàng)的和為( )
A．218－53 B．218－52
C．217－53 D．217－52
解析：n次的二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)應(yīng)“楊輝三角”中的第n＋1行．例如
17、(x＋1)2＝x2＋2x＋1，系數(shù)分別為1,2,1，對(duì)應(yīng)“楊輝三角”的第3行．再令二項(xiàng)式中的x＝1，就可以求得該行系數(shù)之和．第1行為20，第2行為21，第3行為22，以此類推，可發(fā)現(xiàn)，每一行數(shù)除1外，第3行和為22－2，第4行和為23－2，第5行和為24－2，…，第18行和為217－2.若去除所有為1的項(xiàng)，則剩下的，從第3行開始，每一行的個(gè)數(shù)為1,2,3,4，…，可以看出構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn＝，可算得當(dāng)n＝16時(shí)，T16＝136，前135項(xiàng)到第18行倒數(shù)第3個(gè)數(shù)，而第18行最后兩個(gè)數(shù)為17,1，所以所求前135項(xiàng)的和為22－2＋23－2＋…＋
18、217－2－17＝－32－17＝218－53，故選A.
答案：A
3．[2019·廣東六校聯(lián)考一]已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)·3n.設(shè)bn＝，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，若Sn<λ(λ為常數(shù)，n∈N*)，則λ的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(2n－1)·3n，①
當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(2n－3)·3n－1，②
①－②得，nan＝4n·3n－1，即an＝4·3n－1(n≥2)．
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3≠4，
所以an＝，bn＝.
所以S
19、n＝＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋，③
Sn＝＋＋＋＋…＋＋，④
③－④得，Sn＝＋＋＋＋…＋－＝＋－，
所以Sn＝－<，所以λ的最小值是，故選C.
答案：C
4．[2019·武漢調(diào)研]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1，則a4＝________.
解析：解法一：由Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)可得S2＝3S1＋1＝3a1＋1，即a2＝2a1＋1＝－1.根據(jù)Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)?、?，
知Sn＋1＝3Sn＋2n＋1－3?、?，
②－①可得，an＋1＝3an＋2n(n≥2)．
兩邊同時(shí)除以2n＋1可得＝·＋(n≥2)，
20、令bn＝，可得bn＋1＝·bn＋(n≥2)．∴bn＋1＋1＝(bn＋1)(n≥2)，數(shù)列{bn＋1}是以b2＋1＝為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
∴bn＋1＝n－2·(n≥2)，
∴bn＝·n－1－1(n≥2)．
又b1＝－也滿足上式，
∴bn＝n－1·－1(n∈N*)，又bn＝，
∴an＝2nbn，即an＝3n－1－2n.
∴a4＝33－24＝11.
解法二：由Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1，
知S2＝3S1＋4－3，∴a2＝－1.
S3＝3S2＋8－3，
∴a3＝1.S4＝3S3＋16－3，∴a4＝11.
解法三：設(shè)Sn＋a·2n＋b＝3(Sn－1＋a·
21、2n－1＋b)(b≥2)，則，∴.
∴Sn＋2n＋1－＝3(Sn－1＋2n－)(n≥2)，
∴為等比數(shù)列，首項(xiàng)為S1＋4－＝，公比為3.
∴Sn＋2n＋1－＝·3n－1，
∴Sn＝·3n－1－2n＋1＋，∴a4＝S4－S3＝11.
答案：11
5．[2019·石家莊一模]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋1＋Sn＝(n∈N*)，若a2<－4，則Sn取最小值時(shí)n＝________.
解析：∵Sn＋1＋Sn＝，∴a2＋2a1＝－9，又n≥2時(shí)，Sn＋Sn－1＝，∴an＋1＋an＝n－10，
∴a4＋a3＝－7，a6＋a5＝－5，a8＋a7＝－3，a10＋a9＝－1，a12＋
22、a11＝1，∴n≥11且n為奇數(shù)時(shí)，an＋1＋an>0，且S10＋a1＝－25<0，S2＋a1>S4＋a1>…>S10＋a1，S10＋a1S4>…>S10，S100，S3－a1>S5－a1>…>S9－a1＝S11－a1，S11－a1S5>…>S9＝S11，S11
23、－S10＝2a1＋5，
∵a2<－4，a2＋2a1＝－9，
∴2a1>－5，∴S11－S10>0，∴S11>S10，∴Sn取得最小值時(shí)n＝10.
答案：10
6．[2019·長(zhǎng)沙、南昌聯(lián)考]已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝8，an＋1＝2an＋2n＋3，cn＝，bn＝，且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則使Tn>10的n的最小值為________．
解析：由an＋1＝2an＋2n＋3，得an＋1＝2an＋4·2n＋1，所以＝＋4，即－＝4，即cn＋1－cn＝4，所以數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為c1＝＝4，公差為4的等差數(shù)列，故cn＝4＋4(n－1)＝4n.所以bn＝＝－，于是Tn＝b1
24、＋b2＋…＋bn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.則由－1>10，解得n>120，故使Tn>10的n的最小值為121.
答案：121
7．[2019·安徽五校質(zhì)檢二]設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝5，且對(duì)任意正整數(shù)n，總有(an＋1＋3)(an＋3)＝4an＋4成立，則數(shù)列{an}的前2 018項(xiàng)的和為________．
解析：由(an＋1＋3)(an＋3)＝4an＋4，得an＋1＝－3＝，因?yàn)閍1＝5，所以a2＝0，a3＝－，a4＝－5，a5＝5，則數(shù)列{an}是以4為周期的周期數(shù)列，因?yàn)? 018＝504×4＋2，且a1＋a2＋a3＋a4＝－，即一個(gè)周期的和為－，所以數(shù)列{an}的前2 018項(xiàng)的和為－×504＋5＋0＝－835.
答案：－835
8．[2019·江西五校聯(lián)考]在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)．記Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若Sn＝，則n＝________.
解析：由an＝an－1(n≥2)得，＝＝?、伲頱n＝，則＝bn－1(n≥2)，所以①式變形為bn＝bn－1(n≥2)，即＝(n≥2)，則當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝a1＝1，
當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝b1×××××…×＝1×××××…×＝.所以bn＝，即＝＝2，
所以Sn＝2＝
2＝，解得n＝49.
答案：49
11
（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 講重點(diǎn) 選填題專練 第5講 數(shù)列教學(xué)案 理
