五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)奧數(shù)專題系列-容斥原理 抽屜原理 滬教版（2015秋）（含答案）

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1、課程主題： 容斥原理+抽屜原理 學(xué)習(xí)目標(biāo) 課前熱身： 在一些計(jì)數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算。求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡(jiǎn)單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)，用式子可表示成： (其中符號(hào)“”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號(hào)“”讀作“交”，相當(dāng)于中文“且"的意思。)，則稱這一公式為包含與排除原理，簡(jiǎn)稱容斥原理。 圖示如下: 表示小圓部分，表示大圓部分，表示大圓與小圓的公共部分，記為：，即陰影面積。 1、先包含—— 重疊部分計(jì)算了次，多加了次； 2、再排除—— 把

2、多加了次的重疊部分減去。 包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合的并集的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行： 第一步：分別計(jì)算集合的元素個(gè)數(shù)，然后加起來，即先求（意思是把的一切元素都“包含”進(jìn)來，加在一起）； 第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去（意思是“排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)）。 類、類與類元素個(gè)數(shù)的總和類元素的個(gè)數(shù)類元素個(gè)數(shù)類元素個(gè)數(shù)既是類又是類的元素個(gè)數(shù)既是類又是類的元素個(gè)數(shù)既是類又是類的元素個(gè)數(shù)同時(shí)是類、類、類的元素個(gè)數(shù)。 　　用符號(hào)表示為： 圖示如下： 圖中小圓表示的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示的元素的個(gè)數(shù)，大圓表示的元素的個(gè)數(shù)。 1. 先包含—— 、、

3、重疊了次，多加了次。 2. 再排除—— 重疊部分重疊了次，但是在進(jìn)行計(jì)算時(shí)都被減掉了。 3。再包含—— 最不利原則 所謂“最不利原則”是指完成某一項(xiàng)工作先從最不利的情況下考慮，然后研究任意情況下可能的結(jié)果。由此得到充分可靠的結(jié)論。 抽屜原理 又稱鴿巢原理或Dirichlet原理 抽屜原理有時(shí)也被稱為鴿籠原理，它由德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確提出來并用來證明一些數(shù)論中的問題，因此，也被稱為狄利克雷原則。抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要而又基本的數(shù)學(xué)原理，利用它可以解決許多有趣的問題，并且常常能夠起到令人驚奇的作用。許多看起來相當(dāng)復(fù)雜，甚至無從下手的問題，在利用抽屜原理后，能很

4、快使問題得到解決。 第一抽屜原理： 一、將多于件的物品任意放到個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于件； 二、將多于件的物品任意放到個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于件。 第二抽屜原理： 一、將少于件的物品任意放到個(gè)抽屜中，其中必有一個(gè)抽屜中沒有物體。 二、把個(gè)物體放入個(gè)抽屜，其中必有一個(gè)抽屜中至多有個(gè)物體。 平均值原理：如果個(gè)數(shù)的平均值為，那么其中至少有一個(gè)數(shù)不大于，也至少有一個(gè)不小于。 運(yùn)用抽屜原理求解的較為復(fù)雜的組合計(jì)算與證明問題．這里不僅“抽屜”與“蘋果”需要恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)與選取，而且有時(shí)還應(yīng)構(gòu)造出達(dá)到最佳狀態(tài)的例子． 抽屜原理的解題方案 （一）、利

5、用公式進(jìn)行解題 蘋果÷抽屜＝商……余數(shù) 余數(shù)：（1）余數(shù)＝1， 結(jié)論：至少有（商＋1）個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里 （2）余數(shù)＝， 結(jié)論：至少有（商＋1）個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里 （3）余數(shù)＝0， 結(jié)論：至少有“商”個(gè)蘋果在同一個(gè)抽屜里 （二）、利用最值原理解題 將題目中沒有闡明的量進(jìn)行極限討論，將復(fù)雜的題目變得非常簡(jiǎn)單，也就是常說的極限思想“任我意”方法、特殊值方法． 知識(shí)精講： 兩者容斥： 【例 1】 兩張長(zhǎng)厘米，寬厘米的長(zhǎng)方形紙擺放成如圖形狀。把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方厘米？

6、【分析】被覆蓋面積=長(zhǎng)方形面積之和重疊部分。 被覆蓋面積（平方厘米）。 【例 2】 一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)厘米，寬厘米，另一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)厘米，寬厘米，它們中間重疊的部分是一個(gè)邊長(zhǎng)厘米的正方形，求這個(gè)組合圖形的面積。 【分析】組合圖形的面積=長(zhǎng)方形面積之和重疊部分。 組合圖形的面積（平方厘米）。 【例 3】 某班組織象棋和軍棋比賽，參加象棋比賽的有人，參加軍棋比賽的有人，有人兩項(xiàng)比賽都參加了，這個(gè)班參加棋類比賽的共有多少人？ 【分析】根據(jù)包含排除法直接得：（人）。 【例 4】 （第二屆小學(xué)迎春杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽）有位旅客，其中有人既不懂英語(yǔ)又不懂俄語(yǔ)，有 人懂英語(yǔ)，人懂俄語(yǔ)。問既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)

7、的有多少人？ 【分析】（法）在人中懂英語(yǔ)或俄語(yǔ)的有：（人）。 又因?yàn)橛腥硕⒄Z(yǔ)，所以只懂俄語(yǔ)的有：（人）。 從位懂俄語(yǔ)的旅客中除去只懂俄語(yǔ)的人，剩下的人就是既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的旅客。 （法）在人中懂英語(yǔ)或俄語(yǔ)的有：（人） 學(xué)會(huì)把公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)米儞Q，由包含與排除原理，得：（人） 【例 5】 五一小學(xué)一共六個(gè)年級(jí)，舉行各年級(jí)學(xué)生畫展，其中幅不是六年級(jí)的，幅不是五年級(jí)的?，F(xiàn)在知道五、六年級(jí)共展出幅畫，問：其它年級(jí)共展出多少幅畫？ 【分析】（方法一）其中幅不是六年級(jí)的，則年級(jí)共展出幅， 幅不是五年級(jí)的，則年級(jí)與年級(jí)共展出幅， 五、六年級(jí)共展出幅畫， 令年級(jí)展出的共有幅，則，解得

8、，其它年級(jí)共展出幅畫。 （方法二）人。 【例 6】 在前個(gè)非零自然數(shù)中，能被或整除的數(shù)有多少個(gè)？ 【分析】如圖所示，圓內(nèi)是前個(gè)自然數(shù)中所有能被整除的數(shù)， 圓內(nèi)是前個(gè)自然數(shù)中所有能被整除的數(shù)， 為前個(gè)自然數(shù)中既能被整除也能被整除的數(shù)。 前個(gè)自然數(shù)中能被整除的數(shù)有：(個(gè))。 由知，前個(gè)自然數(shù)中能被整除的數(shù)有：個(gè)。 由知，前個(gè)自然數(shù)中既能被整除也能被整除的數(shù)有個(gè)。 所以中有個(gè)數(shù)，中有個(gè)數(shù)，中有個(gè)數(shù)。 因?yàn)?，都包含，根?jù)包含排除法得到，能被或整除的數(shù)有：(個(gè))。 【例 7】 求這個(gè)自然數(shù)既不能被整除又不能被整除的自然數(shù)有多少個(gè)？ 【分析】容斥原理。 因?yàn)椋?/p>

9、所以在自然數(shù)中，能被整除的自然數(shù)有個(gè)； 因?yàn)椋栽谧匀粩?shù)中，能被整除的自然數(shù)有個(gè)； 因?yàn)椋栽谧匀粩?shù)中，既能被整除又能被整除的自然數(shù)有個(gè)； 由容斥原理，在自然數(shù)中，能被整除或能被整除的自然數(shù)有個(gè)； 在自然數(shù)中，既不能被整除又不能被整除的自然數(shù)有個(gè)。 三者容斥： 【例 8】 學(xué)而思組織棋類比賽，分成圍棋、中國(guó)象棋和國(guó)際象棋三個(gè)組進(jìn)行，參加圍棋比賽的有人，參加中國(guó)象棋比賽的有人，參加國(guó)際象棋比賽的有人，同時(shí)參加了圍棋和中國(guó)象棋比賽的有人，同時(shí)參加了圍棋和國(guó)際象棋比賽的有人，同時(shí)參加了中國(guó)象棋和國(guó)際象棋比賽的有人，其中三種棋賽都參加的有人，問參加棋類比賽的共有多少人？ 【分析】

10、根據(jù)公式：， 參加棋類比賽的總?cè)藬?shù)為：（人）。 【例 9】 有三個(gè)面積各為平方厘米的圓，兩兩重疊的面積分別為平方厘米、平方厘米、平方厘米，三個(gè)圓共同重疊的面積為平方厘米 （如圖）。三個(gè)圓共蓋住多大面積？ 【分析】三個(gè)圓共蓋住面積：平方厘米 【例 10】 如圖，已知甲乙丙三個(gè)圓的面積都是，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為，，，三個(gè)圓覆蓋的總面積為，求空白部分的面積. 【分析】由圖中關(guān)系可得：三個(gè)圓的公共部分面積應(yīng)該為， 所以陰影部分面積為， 空白部分面積為。 【例 11】 在至的自然數(shù)中，不能被整除，又不能被整除，還不能被整除的數(shù)有多少個(gè)？，

11、 【分析】在至的自然數(shù)中，或能被整除，或能被整除，或能被整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)是 。 所以，在至的自然數(shù)中，不能被整除，又不能被整除，還不能被整除的數(shù)有 （個(gè)）。 【例 12】 有三個(gè)面積各為平方厘米的圓紙片放在桌面上。三個(gè)紙片共同重疊的面積是平方厘米，三個(gè)紙片蓋住桌面的總面積是平方厘米。問：圖中陰影部分的面積之和是多少？ 【分析】設(shè)陰影部分為，則，解得。 或者平方厘米 至多與至少： 【例 13】 （第六屆“中環(huán)杯”五年級(jí)初賽）甲、乙、丙三人澆花，甲澆了盆，乙澆了盆，丙澆了盆。已知共有花盆，則三人都澆了的花至少有多少盆？ 【分析】甲乙丙一共澆花次

12、若要三人都澆的花盡可能的少，那么每盆花澆次 三人都澆的花至少有盆 【例 14】 一個(gè)班有若干個(gè)學(xué)生，其中會(huì)游泳的有人，會(huì)打乒乓的有人，會(huì)下象棋的有人，三樣都會(huì)的有人，那么只會(huì)兩樣的至多有幾人？ 【分析】一共人次 只會(huì)兩樣的至多人 【例 15】 某班有人,其中人會(huì)騎自行車,人打乒乓,人會(huì)打羽毛球,人會(huì)游泳,這個(gè)班上以上四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)至少有多少人？ 【分析】一共次 若要四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)盡可能的少，那么每人會(huì)項(xiàng)運(yùn)動(dòng) 四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)的至少有人 抽屜原理： 【例1】 數(shù)學(xué)興趣小組共人，有一個(gè)同學(xué)在某一天對(duì)大家宣布一個(gè)猜想：“我們

13、中間必定有兩個(gè)人生日處在同一個(gè)月份”，你知道他是怎么知道的嗎？ 【分析】 因?yàn)閿?shù)學(xué)興趣小組的人數(shù)超過了個(gè)人，而一年中只有個(gè)月份，根據(jù)抽屜原理一，他就可以得出以上結(jié)論了。 【例2】 某小學(xué)有名學(xué)生，證明其中必定有兩名學(xué)生是同一天的生日。 【分析】 一年至多是天，把這些不同日期看作是抽屜，將名同學(xué)看作是物體，把個(gè)物體放在不超過個(gè)抽屜里面，至少有一個(gè)抽屜的物品不少于個(gè)，也就是說這兩個(gè)物體所代表的同學(xué)就是同一天的生日。 【例3】 有個(gè)小朋友特別勤奮，在暑假里每天都會(huì)做奧數(shù)題，已知他一共做了道，媽媽說假期中他過生日那天不止做了一道數(shù)學(xué)題。問他這個(gè)假期最多有多少天？ 【分析】 根據(jù)抽屜原理，如果

14、假期里面的每天看作是抽屜，把道題看作是物品，因?yàn)橹烂總€(gè)抽屜都有物品并且某個(gè)抽屜中放的物品不少于件，所以抽屜數(shù)一定小于，所以抽屜數(shù)至多是，也就是說假期最多有天。 【例4】 （第九屆“中環(huán)杯”小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動(dòng)五年級(jí)初賽動(dòng)手動(dòng)腦題第3題）能否在行列的方格表的每個(gè)空格中分別填入這三個(gè)數(shù)中的任何一個(gè)，使得每行、每列及對(duì)角線上的各個(gè)數(shù)的和互不相同？為什么？ 【分析】 不可能。因?yàn)槊啃忻苛忻繉?duì)角線上的和最小為，和最大為,共有個(gè)互不相同的數(shù)，而行、列和兩條對(duì)角線上共有個(gè)和，根據(jù)抽屜原理，必定有兩個(gè)和是相等的。 【例5】 一副撲克牌，共張，問至少?gòu)闹忻龆嗌購(gòu)埮撇拍鼙ＷC有張牌的花色相同？ 【分

15、析】 從最壞的情況考慮：先摸出兩張牌，分別是大王和小王，然后再把四種花色各摸出四張，此時(shí)一共摸出張牌，如果再摸一張就會(huì)出現(xiàn)至少有張牌的花色相同，即至少需要摸出張牌才可以保證至少有張牌的花色相同。 【例6】 一副張的撲克牌，至少需要摸出多少?gòu)?，才可以保證所有花色的牌都有？ 【分析】 從最壞的情況考慮：先摸出兩張王牌，然后挑選三種花色摸光，此時(shí)一共摸了張牌，再摸一張就可以保證所有花色的牌都有。 【例7】 一副張的撲克牌，至少需要摸出多少?gòu)?，才可以保證有張梅花和張紅桃？ 【分析】 從最壞的情況考慮：先摸出兩張王牌，然后摸出所有的方塊和黑桃，共計(jì)張牌，接著就是最關(guān)鍵也是

16、最容易出錯(cuò)的地方，那就是什么是最壞的情況。因?yàn)橐ＷC有張梅花和張紅桃，所以我們只需要不符合其中一個(gè)即可，比如摸到了張梅花和張紅桃就是不符合要求的（想想看為什么張紅桃和張梅花為什么不是最壞的情況？），但是如果再摸一張就必定符合要求了，所以至少需要摸出張。 復(fù)雜的抽屜原理： 【例1】 幼兒園買來許多牛、馬、羊、狗塑料玩具，每個(gè)小朋友任意選擇兩件，但不能是同樣的，問：至少有多少個(gè)小朋友去拿，才能保證有兩人所拿玩具相同？ 【分析】 從四種玩具中挑選不同的兩件，所有的搭配有以下組：牛、馬；牛、羊；牛、狗；馬、羊；馬、狗；羊、狗．個(gè)。把每一組搭配看作一個(gè)“抽屜”，共個(gè)抽屜．根據(jù)抽屜原理，至少要有

17、個(gè)小朋友去拿，才能保證有兩人所拿玩具相同。 【例2】 體育用品的倉(cāng)庫(kù)里有許多的足球、籃球和排球，有個(gè)同學(xué)來倉(cāng)庫(kù)拿球，要求每個(gè)人至少拿一個(gè)，最多拿兩個(gè)球，問至少有多少名同學(xué)所拿球的種類完全一樣？ 【分析】 以拿球配組的方式為抽屜，每人拿一個(gè)或者兩個(gè)球，所以抽屜有：足，籃，排，足足，籃籃，排排，足籃，足排，籃排共種情況，即有個(gè)抽屜，則：，于是至少有個(gè)同學(xué)所拿球的種類是一樣的。 【例3】 在邊長(zhǎng)為米的正方形中，任意放個(gè)點(diǎn)，求證：必定有四個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形的面積不超過平方米。 【分析】 將大正方形分成個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，則把個(gè)小正方形看作是抽屜，有 ，從而必定有個(gè)點(diǎn)處于同一個(gè)抽屜

18、，也就是這四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)小正方形里面，由于每個(gè)小正方形面積都不超過平方米，所以這四個(gè)點(diǎn)組成的四邊形的面積也必定不超過平方米。 【例4】 從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能選出幾個(gè)數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的2倍? 【分析】 （方法一）直接從1開始選1，3，4，5，7，9，11，12，這樣可以選出8個(gè)數(shù)； 而從2開始選2，3，5，7，8，9，11，12，這樣也是可以選出8個(gè)數(shù)． 3包含在組內(nèi)，因此只用考慮這兩種情況即可． 所以，在滿足題意情況下，最多可以選出8個(gè)數(shù)． （ 方法二）我們知道選多少個(gè)奇數(shù)均滿足，有1，3，5，7，9，11均為奇數(shù)，并

19、且有偶數(shù)中4的倍數(shù)，但不是8的倍數(shù)的也滿足，有4，12是這樣的數(shù)．所以，在滿足題意情況下最多可以選出8個(gè)數(shù)． 【例5】 甲、乙二人分別為一個(gè)正方形的條棱涂紅、綠種顏色。首先，甲任選條棱并把它們涂上紅色；然后，乙任選另外條棱并涂上綠色；接著甲將剩下的條棱都涂上紅色。問：甲是否一定能將某一面的條棱全部涂上紅色？ 【分析】 如圖將條棱按照兩兩互相異面垂直的條棱分為一組，共分成組：第一組：（、、）；第二組：（、、）；第三組：（、、）；第四組：（、、）。無論甲第一次將哪條棱涂紅，由抽屜原理知組中必有一組的條棱全未涂紅，而乙只要將這組中的條棱涂綠，甲就無法將某一面的條棱全部涂紅了。

20、 作業(yè)1、 【練習(xí)1】 在人參加的采摘活動(dòng)中，只采了櫻桃的有人，既采了櫻桃又采了杏的有人，既沒采櫻桃又沒采杏的有人，問：只采了杏的有多少人？ 【分析】如圖，用長(zhǎng)方形表示全體采摘人員人，圓表示采了櫻桃的人數(shù)，圓表示采了杏的人數(shù)。 長(zhǎng)方形中陰影部分表示既沒采櫻桃又沒采杏的人數(shù)。 由圖中可以看出，全體人員的人數(shù)是至少采了一種的人數(shù)與兩種都沒采的人數(shù)之和， 至少采了一種的人數(shù)為：（人）， 而至少采了一種的人數(shù)只采了櫻桃的人數(shù)+兩種都采了的人數(shù)+只采了杏的人數(shù)， 所以，只采了杏的人數(shù)為：（人）。

21、 【練習(xí)2】 （年月日第五屆小學(xué)“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽四年級(jí)第試第題）養(yǎng)牛場(chǎng)有頭黃牛和水牛，其中母牛頭，黃牛頭，公水牛頭，那么母黃牛有頭。 【分析】容斥原理。 （方法一）因?yàn)轲B(yǎng)牛場(chǎng)有頭黃牛和水牛，母牛有頭； 所以公牛有頭； 因?yàn)楣Ｓ蓄^； 所以公黃牛有頭； 因?yàn)辄S牛有頭； 所以母黃牛有頭。 （方法二）因?yàn)轲B(yǎng)牛場(chǎng)有頭黃牛和水牛，黃牛有頭； 所以水牛有頭； 因?yàn)楣Ｓ蓄^； 所以母水牛有頭； 因?yàn)槟概Ｓ蓄^； 所以母黃牛有頭。 【練習(xí)3】 （年月號(hào)第九屆中環(huán)杯四年級(jí)決賽第題）某次考試，通過語(yǔ)文考試的有人，通過數(shù)學(xué)考試的有人，通過語(yǔ)文考試但沒有通過數(shù)學(xué)考

22、試的有人，那么通過數(shù)學(xué)考試但沒有通過語(yǔ)文考試的有多少人？ 【分析】通過語(yǔ)文考試且通過數(shù)學(xué)考試的有（人）， 所以通過數(shù)學(xué)考試但沒有通過語(yǔ)文考試的有（人）。 【練習(xí)4】 甲乙丙三個(gè)小組學(xué)雷鋒，為學(xué)校擦玻璃，其中塊玻璃不是甲組擦的，塊玻璃不是乙組擦的，且甲組和乙組一共擦了塊玻璃，那么，甲乙丙三個(gè)小組各擦了多少塊玻璃？ 【分析】塊玻璃不是甲組擦的，說明這塊玻璃是乙丙兩組擦的； 塊玻璃不是乙組擦的，說明這 塊玻璃是甲丙兩組擦的， 如下圖所示，用圓表示乙丙兩組擦的塊玻璃，圓表示甲丙兩組擦的塊玻璃， 因?yàn)榧滓覂山M共擦了塊玻璃，塊，這是兩個(gè)兩組擦的玻璃數(shù)， 因此丙組擦了塊玻璃。乙組擦了塊玻

23、璃，甲組擦了塊玻璃。 【練習(xí)5】 某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為人，在第一次考試中有人及格，在第二次考試中有人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是多少？ 【分析】設(shè)第一次考試中及格的人()，第二次考試中及格的人() 顯然，；， 則根據(jù)公式 那么兩次考試都及格的人數(shù)是人。 【練習(xí)6】 在到所有自然數(shù)中，既不是的倍數(shù)又不是和的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？ 【分析】此題為容斥原理和數(shù)論相結(jié)合的一類典型的題目。 ，的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為；，的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為； ，的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為；再計(jì)算各重復(fù)部分的個(gè)數(shù) ，同時(shí)是和的倍數(shù)，即是的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為； ，同時(shí)是和的倍數(shù)，即是的倍

24、數(shù)的個(gè)數(shù)為； ，同時(shí)是和的倍數(shù)，即是的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為 ，同時(shí)是、、的倍數(shù)，即是的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為 不是、、的倍數(shù)的個(gè)數(shù)為 作業(yè)2、 【練習(xí)1】 （希望杯真題）一個(gè)口袋里分別有紅、黃、黑球、、個(gè)，為使取出的球中有個(gè)同色，則至少要取小球多少個(gè)？ 【分析】 如果要保證取到個(gè)同色的球，至少要取(個(gè))。 【練習(xí)2】 有一個(gè)布袋中有個(gè)相同的小球，其上編上號(hào)碼的各有個(gè)，問：一次至少要取出多少個(gè)小球，才能保證其中至少有個(gè)小球的號(hào)碼相同？ 【分析】 考慮最壞的情況：每種編號(hào)的小球剛好取了個(gè)，那么最多可以取個(gè)小球，如

25、果再取一個(gè)，必定就有個(gè)小球號(hào)碼相同了，因此至少需要取出個(gè)球才可以保證其中至少有個(gè)小球的號(hào)碼相同。 【練習(xí)3】 某班名同學(xué)是在月份出生，能否找到兩個(gè)生日是在同一天的小朋友？ 【分析】 五月份共有天，如果把天看作是個(gè)抽屜，把個(gè)小朋友看作是個(gè)蘋果，把個(gè)蘋果放在個(gè)抽屜，那么根據(jù)抽屜原理一，至少有一個(gè)抽屜里至少放了兩個(gè)蘋果，因此至少有名同學(xué)是同一天出生的。 【練習(xí)4】 學(xué)校買來歷史、文藝、科普三種圖書若干本，每個(gè)學(xué)生從中任意借兩本，那么至少多少個(gè)學(xué)生中一定會(huì)有兩個(gè)學(xué)生所借的圖書屬于同一種？ 【分析】 從三種圖書里面任意借兩本圖書的種類數(shù)是，所以至少個(gè)學(xué)生借書，可以保證至少有兩個(gè)學(xué)生所

26、借的圖書屬于同一種。 【練習(xí)5】 某次選拔考試，共有名同學(xué)參加，小明說：“至少有名同學(xué)來自同一個(gè)學(xué)?！?，如果他的說法是正確的，那么最多有多少個(gè)學(xué)校參加這次選拔考試？ 【分析】 這道題目的難點(diǎn)在于不知道抽屜有多少個(gè)，如果我們采用順向思維，就需要設(shè)有個(gè)抽屜，并且，其中是余數(shù)，并且大于，因?yàn)?，所以?dāng)有個(gè)學(xué)校參加考試的時(shí)候，小明的說法就是正確的。同時(shí)如果學(xué)校數(shù)目超過個(gè)，那么是可以使每個(gè)學(xué)校有不超過名同學(xué)參加考試的，因此是參加學(xué)校的最大數(shù)目。 【練習(xí)6】 老師在黑板上出了兩道題，規(guī)定每道題做對(duì)得分，不做得分，做錯(cuò)得分．老師說：“可以肯定全班同學(xué)中至少有名同學(xué)各題的得分都相同．”那么，這個(gè)班至少有多少名同學(xué)？ 【分析】 以同學(xué)做兩道題的得分情況為“抽屜”，由于兩道題各有三種得分情況，所以共有種得分情況，那么共有個(gè)抽屜，學(xué)生數(shù)量即“蘋果”數(shù)為：(人)。