（全國版）2019版高考數學一輪復習 第2章 函數、導數及其應用 第8講 函數與方程學案

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1、 第8講　函數與方程 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　函數零點 1．定義：對于函數y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實數x叫做函數y＝f(x)(x∈D)的零點． 2．三個等價關系 3．存在性定理 考點2　二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點的關系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象 與x軸的交點 (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無交點 零點 x1，x2 x1 無 考點3　二分法 對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數

2、y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法． [必會結論] 1．若函數y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，則函數y＝f(x)一定有零點． 2.由函數y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如圖所示．所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件．事實上，只有當函數圖象通過零點(不是偶個零點)時，函數值才變號，即相鄰兩個零點之間的函數值同號． 3．若函數f(x)在[a，b]上單調

3、，且f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，則f(a)·f(b)＜0?函數f(x)在[a，b]上只有一個零點． [考點自測] 1．判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數的零點就是函數的圖象與x軸的交點．(　　) (2)二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在當b2－4ac<0時沒有零點．(　　) (3)函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點(函數圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)＜0.(　　) (4)若f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且f(a)·f(b)＞0，則f(x)在(a，b)內沒有零點．(　　) (5)函數f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零

4、點，則－1≤k≤－.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．[課本改編]函數f(x)＝x－的零點個數是(　　) A．0 B．1 C．2 D．無數個 答案　C 解析　令f(x)＝0，解x－＝0，即x2－4＝0，且x≠0，則x＝±2. 3．[課本改編]方程2－x＋x2＝3的實數解的個數為(　　) A．2 B．3 C．1 D．4 答案　A 解析　構造函數y＝2－x與y＝3－x2，在同一坐標系中作出它們的圖象，可知有兩個交點，故方程2－x＋x2＝3的實數解的個數為2.故選A. 4．[2018·西安模擬]設f(x)＝ln

5、x＋x－2，則函數f(x)的零點所在的區(qū)間為(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 答案　B 解析　函數f(x)的零點所在的區(qū)間轉化為函數g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2圖象交點的橫坐標所在的范圍．作出圖象如圖，可知f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2)．故選B. 5．[2018·安徽模擬]在平面直角坐標系xOy中，若直線y＝2a與函數y＝|x－a|－1的圖象只有一個交點，則a的值為________． 答案?。? 解析　函數y＝|x－a|－1的大致圖象如圖所示，∴若直線y＝2a與函數y＝|x－a|－1的圖象只有一個交點，只需

6、2a＝－1，可得a＝－. 6．[2018·貴陽監(jiān)測]用二分法求圖象連續(xù)不斷的函數f(x)在(1,5)上的近似解(精確度為0.1)，求解的部分過程如下：f(1)·f(5)<0，取(1,5)的中點x1＝＝3，計算得f(1)·f(x1)<0，f(x1)·f(5)>0，則此時能判斷函數f(x)一定有零點的區(qū)間為________． 答案　(1,3) 解析　因為函數f(x)為連續(xù)函數且f(1)·f(3)<0，所以函數f(x) 在(1,3)內一定有零點． 板塊二　典例探究·考向突破 考向　確定函數零點所在區(qū)間 例　1　[2018·德州模擬]函數f(x)＝ln (x＋1)－的零點所在的區(qū)間是(　　

7、) A. B．(1，e－1) C．(e－1,2) D．(2，e) 答案　C 解析　因為f＝ln －4<0，f(1)＝ln 2－2<0，f(e－1)＝1－<0，f(2)＝ln 3－1>0，所以f(e－1)f(2)<0，故函數的零點所在的區(qū)間是(e－1,2)． 【變式訓練1】　函數f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區(qū)間為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　易知函數f(x)＝ex＋4x－3在R上為增函數，故f(x)＝ex＋4x－3至多有一個零點．∵f＝e＋1－3＝e－2<0，f＝e＋2－3＝e－1>0，∴函數f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區(qū)

8、間為. 考向　判斷函數零點的個數 例　2　函數f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　函數f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數即為函數 y＝|log0.5x|與y＝圖象的交點個數. 在同一直角坐標系中作出函數y＝|log0.5x|與y＝的圖象如圖． 由圖象易知有兩個交點． 觸類旁通 判斷函數零點個數的方法 (1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點． (2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<

9、0，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數有多少個零點或零點值所具有的性質． (3)數形結合法：轉化為兩個函數的圖象的交點個數問題，先畫出兩個函數的圖象，看其交點個數，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點． 【變式訓練2】　函數f(x)＝的零點個數是________． 答案　2 解析　當x≤0時，由x2－2＝0得x＝－；當x>0時，f(x)＝2x－6＋ln x在(0，＋∞)上為增函數，且f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且只有一個零點．綜上可知，f(x)的零點個數為2. 考向　與函數零點

10、有關的求參問題 例3　(1)[2018·嘉興模擬]設函數y＝x3與y＝x－2的圖象的交點為(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，則x0所在的區(qū)間是________． 答案　(1,2) 解析　設f(x)＝x3－x－2，則x0是函數f(x)的零點，在同一坐標系下畫出函數y＝x3與y＝x－2的圖象如圖所示． 因為f(1)＝1－－1＝－1＜0， f(2)＝8－0＝7＞0，所以f(1)f(2)＜0， 所以x0∈(1,2)． (2)[2016·山東高考]已知函數f(x)＝ 其中m>0.若存在實數b，使得關于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，則m的取值范圍是________．

11、 答案　(3，＋∞) 解析　函數f(x)的大致圖象如圖所示，根據題意知只要m>4m－m2即可，又m>0，解得m>3，故實數m的取值范圍是(3，＋∞)． 觸類旁通 已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法 (1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍． (2)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解． 【變式訓練3】　(1)[2018·啟東檢測]若函數f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)在區(qū)間(2,3)上有零點，則k＝________. 答案　4 解析　函數f(x)＝log2x＋x－k在(2,3)

12、上單調遞增，所以f(2)f(3)<0，即(log22＋2－k)·(log23＋3－k)<0，整理得(3－k)(log23＋3－k)<0，解得3

13、a≥2；當a<1時，要使f(x)恰有2個零點，需滿足解得≤a<1. 綜上，實數a的取值范圍為∪[2，＋∞)． 核心規(guī)律 1.判定函數零點的常用方法 (1)零點存在性定理；(2)數形結合；(3)解方程f(x)＝0. 2.研究方程f(x)＝g(x)的解，實質就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零點． 3.轉化思想：方程解的個數問題可轉化為兩個函數圖象交點的個數問題；已知方程有解求參數范圍問題可轉化為函數值域問題． 滿分策略 1.函數f(x)的零點不是點，是一個實數，是方程f(x)＝0的根，也是函數y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標． 2.函數零點存在性定理是零點存在的一個

14、充分條件，而不是必要條件；判斷零點個數還要根據函數的單調性、對稱性或結合函數圖象來分析. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 題型技法系列4——利用函數的零點比較大小 [2018·武漢調研]已知x0是函數f(x)＝2x＋的一個零點．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則(　　) A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 解題視點　構造函數y＝2x和函數y＝，并畫出函數的圖象，可根據函數的圖象進行判斷． 解析　在同一平面直角坐標系中畫出函數y＝2x和函數y＝的圖象

15、，如圖所示． 由圖可知函數y＝2x和函數y＝的圖象只有一個交點，即函數f(x)＝2x＋只有一個零點x0，且x0>1. 因為x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，則由函數圖象可知，f(x1)<0，f(x2)>0. 答案　B 答題啟示　借助函數零點比較大小.要比較f(a)與f(b)的大小，通常先比較f(a)、f(b)與0的大小. 跟蹤訓練 [2018·廣東七校聯考]已知函數f(x)＝x－log3x，若實數x0是方程f(x)＝0的解，且x0

16、log3x在定義域內是減函數，于是，若f(x0)＝0，當x0

17、案　C 解析　因為f(x)在(0，＋∞)上是增函數，則由題意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)<0，解得0

18、內(　　) A．(0,1) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2) 答案　D 解析　令f(x)＝2ln x－3＋x，則函數f(x)在(0，＋∞)上遞增，且f(1)＝－2<0，f(2)＝2ln 2－1＝ln 4－1>0，所以函數f(x)在(1,2)上有零點，即a在區(qū)間(1,2)內． 5．用二分法研究函數f(x)＝x5＋8x3－1的零點時，第一次經過計算得f(0)<0，f(0.5)>0，則其中一個零點所在的區(qū)間和第二次應計算的函數值分別為(　　) A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0.5,1)，f(0.875) C．(0.5,1)，f(0.75)

19、 D．(0,0.5)，f(0.25) 答案　D 解析　∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)<0，f(0.5)>0， ∴f(0)·f(0.5)<0，∴其中一個零點所在的區(qū)間為(0,0.5)，第二次應計算的函數值應為f(0.25)．故選D. 6．[2018·昆明模擬]若x0是方程x＝x的解，則x0屬于區(qū)間(　　) A. B. C. D. 答案　B 7．[2018·大連模擬]函數f(x)＝(x＋1)ln x－1的零點有(　　) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 答案　B 解析　由f(x)＝(x＋1)ln x－1＝0，得ln x＝，作出函

20、數y＝ln x，y＝的圖象如圖，由圖象可知交點個數為1，即函數的零點個數為1.選B. 8．[2018·孝感高級中學調考]函數f(x)＝ln x＋2x－6的零點在區(qū)間(a，a＋1)(a∈Z)內，則a＝________. 答案　2 解析　因為函數f(x)＝ln x＋2x－6的定義域為(0，＋∞)，所以a≥0，函數f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上是單調遞增函數，f(1)＝－4<0，f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，所以函數f(x)＝ln x＋2x－6的零點在區(qū)間(2,3)內，故a＝2. 9．g(x)＝x＋－m(x>0，其中e表示自然對數的底數)．若g(x)在(0

21、，＋∞)上有零點，則m的取值范圍是________． 答案　[2e，＋∞) 解析　由g(x)＝0，得x2－mx＋e2＝0，x>0. 由此方程有大于零的根，得 解得故m≥2e. 10．[2018·安慶模擬]已知函數f(x)＝若關于x的方程f(x)＝k有三個不同的實根，則實數k的取值范圍是________． 答案　(－1,0) 解析　關于x的方程f(x)＝k有三個不同的實根，等價于函數f(x)與函數y＝k的圖象有三個不同的交點，作出函數的圖象如圖所示，由圖可知實數k的取值范圍是(－1,0)． [B級　知能提升] 1．[2018·衡陽模擬]函數f(x)＝log3x＋x－2的零點

22、所在的區(qū)間為(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 答案　B 解析　函數f(x)＝log3x＋x－2的定義域為(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，圖象是一條連續(xù)曲線． 又f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根據零點存在性定理，可知函數f(x)＝log3x＋x－2有唯一零點，且零點在區(qū)間(1,2)內． 2．[2018·大連一模]f(x)是R上的偶函數，f(x＋2)＝f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x2，則函數y＝f(x)－|log5x|的零點個數為(　　) A．4 B．5 C．8

23、 D．10 答案　B 解析　由零點的定義可得f(x)＝|log5x|，兩個函數圖象如圖，總共有5個交點，所以共有5個零點． 3.[2017·唐山模擬]當x∈[1,2]時，函數y＝x2與y＝ax(a>0)的圖象有交點，求a的取值范圍________． 答案　 解析　當a＝1時，顯然成立．當a>1時，如圖①所示，使得兩個函數圖象有交點，需滿足×22≥a2，即1

24、式； (2)若方程f(x)＝a恰有3個不同的解，求a的取值范圍． 解　(1)設x<0，則－x>0，∴f(－x)＝x2＋2x. 又∵f(x)是奇函數， ∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x. ∴f(x)＝ (2)方程f(x)＝a恰有3個不同的解，即y＝f(x)與y＝a的圖象有3個不同的交點，作出y＝f(x)與y＝a的圖象如圖所示，故若方程f(x)＝a恰有3個不同的解，只需－1