7、)＝－2，則f(x)有最大值M，不符合題意．
綜上，若f(x)無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)．
法二：整體考慮，正難則反
記g(x)＝x3－3x，h(x)＝－2x，由解法一知h(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)和g(x)變化如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
極大值
極小值
由于h(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞減，無(wú)最大值，若f(x)有最大值，也只可能在x＝－1或x＝a處取得，同時(shí)作出函數(shù)g(x)與h(x)的圖象，如圖所示
8、，容易求得它們的交點(diǎn)分別是(－1,2)，(0,0)和(1，－2)．注意到g(－1)＝h(－1)＝2，由圖象可見(jiàn)，若f(x)在x＝－1處取得最大值，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1,2]，若f(x)在x＝a處取得最大值，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，＋∞)．綜上，若f(x)有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1，＋∞)，從而，若f(x)無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)．
法三：平移直線x＝a，直接秒殺
根據(jù)題意，將函數(shù)f(x)＝采用分離的方式，記g(x)＝x3－3x，h(x)＝－2x，同時(shí)在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)與h(x)的圖象，將直線x＝a在圖象中沿著x軸左右平移，觀察直線x＝
9、a與函數(shù)g(x)，h(x)的圖象的交點(diǎn)(曲線點(diǎn)實(shí)，直線點(diǎn)虛)變化，如圖所示，當(dāng)直線x＝a在直線x＝－1左邊時(shí)滿足條件“f(x)無(wú)最大值”，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)．
[答案] (－∞，－1)
[系統(tǒng)歸納]
“三招”破解分段函數(shù)最值問(wèn)題
分類(lèi)討論
研究分段函數(shù)f(x)的單調(diào)性，大多借助分類(lèi)討論f(x)在各個(gè)分段上的最值．如解法一是根據(jù)g(x)的單調(diào)性，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論
整體思想
從函數(shù)的整體性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性和周期性)出發(fā)，研究函數(shù)的最值問(wèn)題．當(dāng)一個(gè)問(wèn)題從正面不好入手時(shí)，也可從反面思考．如解法二就采取正難則反的方法解題
數(shù)形結(jié)合
“以形助數(shù)”，作出函數(shù)或變形后的函
10、數(shù)圖象，結(jié)合條件求解問(wèn)題，解法三是利用數(shù)形結(jié)合的思想直觀得到結(jié)果
[應(yīng)用體驗(yàn)]
1．若函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值為3，則實(shí)數(shù)a的值為( )
A．5或8 B．－1或5
C．－1或－4 D．－4或8
解析：選D 當(dāng)a≥2時(shí)，
f(x)＝
如圖1可知，f(x)min＝f＝－1＝3，可得a＝8；
當(dāng)a<2時(shí)，f(x)＝
如圖2可知，
f(x)min＝f＝－＋1＝3，可得a＝－4.
函數(shù)的含參零點(diǎn)問(wèn)題
[例2] 已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，則a的取值范圍為( )
A．
11、(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
[技法演示]
法一：分類(lèi)討論，各個(gè)擊破
分類(lèi)討論就是將數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)，然后對(duì)劃分的每一類(lèi)分別進(jìn)行研究，最后整合獲解，其基本思路是化整為零，各個(gè)擊破．
由已知得a≠0，f′(x)＝3ax2－6x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
當(dāng)a>0時(shí)，x∈(－∞，0)，f′(x)>0；
x∈，f′(x)<0；x∈，f′(x)>0.
所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)和上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，且f(0)＝1>0，
故f(x)有小于零的零點(diǎn)，不符合題意．
當(dāng)a<0時(shí)，x∈，f′(x)<0；
12、
x∈，f′(x)>0；
x∈(0，＋∞)，f′(x)<0.
所以函數(shù)f(x)在和(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以要使f(x)有唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，
只需f>0，即a2>4，解得a<－2.
法二：數(shù)形結(jié)合，曲曲與共
函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，亦即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，因此用圖象來(lái)揭開(kāi)函數(shù)零點(diǎn)的神秘面紗成為我們解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常用而最有效的策略．
令f(x)＝0，得ax3＝3x2－1.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x)＝ax3的圖象與h(x)＝3x2－1的圖象存在唯一的交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)大于零．
當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)g(x)的圖象與h(
13、x)的圖象存在兩個(gè)的交點(diǎn)；
當(dāng)a>0時(shí)，如圖(1)所示，不合題意；
當(dāng)a<0時(shí)，由圖(2)知，可先求出函數(shù)g(x)＝ax3與h(x)＝3x2－1的圖象有公切線時(shí)a的值．由g′(x)＝h′(x)，g(x)＝h(x)，得a＝－2.由圖象可知當(dāng)a<－2時(shí)，滿足題意．
法三：參變分離，演繹高效
參變分離法，亦即將原函數(shù)中的參變量進(jìn)行分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決．巧用參數(shù)分離求解零點(diǎn)問(wèn)題，既可以回避對(duì)參數(shù)取值的分類(lèi)討論，又形象直觀，一目了然．
易知x≠0，令f(x)＝0，則a＝－，記g(x)＝－，g′(x)＝－＋＝，可知g(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－1
14、,0)和(0,1)上單調(diào)遞增，且g(－1)＝－2，畫(huà)出函數(shù)大致圖象如圖所示，平移直線y＝a，結(jié)合圖象，可知a<－2.
[答案] B
[系統(tǒng)歸納]
“三招”破解含參零點(diǎn)問(wèn)題
帶參討論
若無(wú)法通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想將原問(wèn)題化歸為相對(duì)容易的問(wèn)題，此時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)要求合理地對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)，并逐一求解．利用該策略求解時(shí)一般要求我們明確討論的標(biāo)準(zhǔn)，必須做到不重不漏．如解法一中就要考慮到a的正負(fù)對(duì)根“0”與“”大小的影響
數(shù)形結(jié)合
由兩個(gè)基本初等函數(shù)組合而得的函數(shù)f(x)＝g(x)－h(huán)(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于方程g(x)－h(huán)(x)＝0的解的個(gè)數(shù)，亦即g(x)＝h(x)的解的個(gè)數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為
15、基本初等函數(shù)y＝g(x)與y＝h(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)
參變分離
通過(guò)將原函數(shù)中的參變量進(jìn)行分離后變形成g(x)＝l(a)，則原函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題化歸為與x軸平行的直線y＝l(a)和函數(shù)g(x)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題
[應(yīng)用體驗(yàn)]
2．已知函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|(x∈R)．若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．
解析：法一：畫(huà)出函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|的大致圖象，如圖，令g(x)＝a|x－1|，則函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象有且僅有4個(gè)不同的交點(diǎn)，顯然a>0.聯(lián)立消去y，得x2＋(3－a)x＋a＝0，
由Δ>0，解
16、得a<1或a>9；聯(lián)立消去y，得x2＋(3＋a)x－a＝0，由Δ>0，解得a>－1或a<－9.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1)∪(9，＋∞)．
法二：易知a>0，且x＝1不是方程的根．
故有a＝
＝x－1＋＋5.
設(shè)h(x)＝，
則問(wèn)題等價(jià)于曲線y＝h(x)與直線y＝a有4個(gè)不同交點(diǎn)．作出圖象如圖所示．
顯然y＝9，y＝1是y＝h(x)的兩條切線，此時(shí)都只有3個(gè)交點(diǎn)．
于是，結(jié)合圖形知，當(dāng)09時(shí)，
直線y＝a與曲線y＝h(x)均有4個(gè)交點(diǎn)．
所以a的取值范圍為(0,1)∪(9，＋∞)．
答案：(0,1)∪(9，＋∞)
抽象函數(shù)問(wèn)題
[例3
17、] 設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)＝0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)－f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
[技法演示]
法一：構(gòu)造抽象函數(shù)法
觀察xf′(x)－f(x)<0這個(gè)式子的特征，不難想到商的求導(dǎo)公式，設(shè)F(x)＝.因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，故F(x)是偶函數(shù)，F(xiàn)′(x)＝，易知當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)′(x)<0，所以函數(shù)F(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．又f(－1)＝0，則f(1)＝0，于是F(
18、－1)＝F(1)＝0，f(x)＝xF(x)，解不等式f(x)>0，即找到x與F(x)的符號(hào)相同的區(qū)間，易知當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(0,1)時(shí)，f(x)>0，故選A.
法二：構(gòu)造具體函數(shù)法
題目中沒(méi)有給出具體的函數(shù)，但可以根據(jù)已知條件構(gòu)造一個(gè)具體函數(shù)，越簡(jiǎn)單越好，因此考慮簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)．設(shè)f(x)是多項(xiàng)式函數(shù)，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以它只含x的奇次項(xiàng)．又f(1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)能被x2－1整除．因此可取f(x)＝x－x3，檢驗(yàn)知f(x)滿足題設(shè)條件．解不等式f(x)>0，得x∈(－∞，－1)∪(0,1)，故選A.
[答案] A
[系統(tǒng)歸納]
1．利用和差函數(shù)求導(dǎo)法
19、則構(gòu)造函數(shù)
(1)對(duì)于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)＋g(x)；
(2)對(duì)于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)；
特別地，對(duì)于不等式f′(x)>k(或0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)g(x)；
(2)對(duì)于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝(g(x)≠0)；
(3)對(duì)于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或
20、<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xf(x)；
(4)對(duì)于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝(x≠0)；
(5)對(duì)于不等式xf′(x)－nf(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝(x≠0)；
(6)對(duì)于不等式f′(x)＋f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝exf(x)；
(7)對(duì)于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝.
[應(yīng)用體驗(yàn)]
3．定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 019為奇函數(shù)，則不等式f(x)＋2 019ex<0的解集是( )
A．(－∞
21、，0) B．(0，＋∞)
C. D.
解析：選B 設(shè)g(x)＝，則g′(x)＝<0，所以g(x)是R上的減函數(shù)，由于f(x)＋2 019為奇函數(shù)，所以f(0)＝－2 019，g(0)＝－2 019，因?yàn)閒(x)＋2 019ex<0?<－2 019，即g(x)
22、積問(wèn)題．解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化與化歸思想的靈活運(yùn)用．
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
[例1] 已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤，x＝－為f(x)的零點(diǎn)，x＝為y＝f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，且f(x)在上單調(diào)，則ω的最大值為( )
A．11 B．9
C．7 D．5
[技法演示]
法一：綜合法
由f＝0，得－ω＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝kπ＋ω，
則f(x)＝sin
＝(n∈Z)．
由f＝±1，即sin＝sin ω＝±1，
可知ω為正奇數(shù)(ω>0)．
由得
又由于ω>0，所以k只能取0，－1，－2，－3.
當(dāng)k＝0時(shí)，ω
23、∈(－2,2)；當(dāng)k＝－1時(shí)，ω∈(2,6)；
當(dāng)k＝－2時(shí)，ω∈(6,10)；當(dāng)k＝－3時(shí)，ω∈(10,14)．
因?yàn)棣厥钦鏀?shù)(不超過(guò)12)，所以ω∈{1,3,5,7,9,11}．
當(dāng)ω＝11時(shí)，x∈，ωx＋ω＝11x＋∈，里面含有，則f(x)在上不可能單調(diào)，不符合題意．
當(dāng)ω＝9時(shí)，x∈，ωx＋ω＝9x＋∈，里面不含π(n∈Z)中的任何一個(gè)，
即f(x)在上單調(diào)，符合題意．
綜上，ω的最大值為9.故選B.
法二：分類(lèi)討論
由題意－≤?T≥，
即≥?0<ω≤12.①
又由題意可得(n，k∈Z)，
所以φ＝＋π(n，k∈Z)．
又|φ|≤，所以－≤k＋n≤.
24、(1)當(dāng)k＋n＝0時(shí)，φ＝，ω＝1－4k.②
由①②可得，當(dāng)k＝－2時(shí)，ω＝9，
此時(shí)函數(shù)f(x)＝sin在上單調(diào)遞減，符合題意；
當(dāng)k＝－1時(shí)，ω＝5，此時(shí)函數(shù)f(x)＝sin在上單調(diào)遞減，符合題意；
當(dāng)k＝0時(shí)，ω＝1，此時(shí)f(x)＝sin在上單調(diào)遞增，符合題意；
(2)當(dāng)k＋n＝－1時(shí)，φ＝－，ω＝－1－4k.③
由①③可得，當(dāng)k＝－1時(shí)，ω＝3，
此時(shí)函數(shù)f(x)＝sin在上單調(diào)遞增，符合題意；
當(dāng)k＝－2時(shí)，ω＝7，此時(shí)函數(shù)f(x)＝sin在上不單調(diào)，舍去；
當(dāng)k＝－3時(shí)，ω＝11，此時(shí)f(x)＝sin在上不單調(diào)，舍去．
綜上，ω＝1,3,5,9，此法求出了ω的所
25、有可能值．
[答案] B
[系統(tǒng)歸納]
三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問(wèn)題的解題策略
(1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的圖象的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、周期、零點(diǎn)等問(wèn)題中涉及的結(jié)論：
①若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有兩條對(duì)稱(chēng)軸x＝a，x＝b，則有|a－b|＝＋(k∈Z)；
②若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心M(a,0)，N(b,0)，則有|a－b|＝＋(k∈Z)；
③若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)有一條對(duì)稱(chēng)軸x＝a，一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心M(b,0)，則有|a－b|＝＋(k∈Z)．
(2)研究函數(shù)在某一特定區(qū)間的單調(diào)性，若
26、函數(shù)僅含有一個(gè)參數(shù)的時(shí)候，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)比較容易控制，但對(duì)于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)含多個(gè)參數(shù)，并且具有周期性，很難解決，所以必須有合理的等價(jià)轉(zhuǎn)化方式才能解決．解法一嘗試正面求解ω的可能值，但因單調(diào)區(qū)間的條件不好使用，仍然采取代入驗(yàn)證的方法解決．
[應(yīng)用體驗(yàn)]
1．若函數(shù)f(x)＝cos 2x＋asin x在區(qū)間上是減函數(shù)，則a的取值范圍是________．
解析：法一：導(dǎo)數(shù)法
對(duì)f(x)＝cos 2x＋asin x求導(dǎo)，得f′(x)＝－2sin 2x＋acos x．因?yàn)閒(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以f′(x)≤0在上恒成立，即acos x≤2sin 2x＝4si
27、n xcos x，而cos x>0，所以a≤4sin x．在區(qū)間上，
28、
由正弦定理知(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可化為(2＋b)(a－b)＝c(c－b)，
將a＝2代入整理，得b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝，故A＝，
則△ABC的面積S＝bcsin A＝bc.
而b2＋c2－a2＝bc≥2bc－a2?bc≤4，
所以S＝bc≤，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時(shí)取到等號(hào)，
故△ABC的面積的最大值為.
法二：正、余弦定理與數(shù)形結(jié)合
由法一得A＝，可知△ABC的邊a＝2為定長(zhǎng)，A＝為定值，作出示意圖如圖所示，滿足條件的點(diǎn)A在圓周上的運(yùn)動(dòng)軌跡為優(yōu)弧BC(不包括兩個(gè)端點(diǎn)B，C)，易知當(dāng)點(diǎn)A位于優(yōu)弧中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)△ABC
29、的面積最大，由于A＝，則此時(shí)的△ABC是等邊三角形，面積為.
法三：正、余弦函數(shù)的有界性
由法一知A＝，則由正弦定理得，
b＝·sin B＝sin B，c＝sin C，
則S△ABC＝bcsin A＝bc
＝sin B·sin C＝·[cos(B－C)－cos(B＋C)]
＝cos(B－C)＋≤·＝，
當(dāng)且僅當(dāng)cos(B－C)＝1，即B＝C時(shí)，△ABC的面積取得最大值.
法四：函數(shù)思想
由法三得S△ABC＝sin B·sin C＝sin B·sin－B，令g(B)＝sin B·sin＝sin Bcos B＋sin B＝sin＋.
由0
30、x＝，當(dāng)且僅當(dāng)B＝時(shí)取等號(hào)，所以△ABC的面積的最大值為.
[答案]
[系統(tǒng)歸納]
三角形面積最值問(wèn)題的解題策略
(1)借助正、余弦定理，把三角形面積這個(gè)目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為邊或角的形式，然后借助基本不等式或函數(shù)性質(zhì)來(lái)解決；
(2)結(jié)合問(wèn)題特征，構(gòu)造幾何圖形來(lái)求得最值，直觀迅速；
(3)利用結(jié)論：已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若a＝m(m>0)，且∠A＝θ，θ∈(0，π)，則△ABC的面積的最大值是，當(dāng)且僅當(dāng)另外兩個(gè)角相等時(shí)取等號(hào)．
[應(yīng)用體驗(yàn)]
2．(2018·濰坊統(tǒng)一考試)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，外接圓的半徑為1，且＝，則△A
31、BC面積的最大值為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)椋剑?
所以＝(2c－b)，
由正弦定理得
sin Bsin Acos B＝(2sin C－sin B)sin Bcos A，
又sin B≠0，所以sin Acos B＝(2sin C－sin B)cos A，
所以sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A，
sin(A＋B)＝2sin Ccos A，
即sin C＝2sin Ccos A，
又sin C≠0，所以cos A＝，sin A＝，
設(shè)外接圓的半徑為r，則r＝1，
由余弦定理得bc＝＝b2＋c2－a2＝b2＋c2－(2rsin A)2＝b2
32、＋c2－3≥2bc－3(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)，等號(hào)成立)，所以bc≤3，
所以S△ABC＝bcsin A＝bc≤.
答案：
平面向量數(shù)量積問(wèn)題
[例3] 在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且＝λ，＝，則·的最小值為_(kāi)_______．
[技法演示]
法一：基底法
選取{，}為一組基底，由題意易求DC＝1，||＝2，||＝1，·＝2×1×cos 120°＝－1，＝＋＝＋λ，＝＋＋＝＋－＝＋.
于是·＝(＋λ)·＋ ＝×4－1－＋λ＝＋＋≥＋2 ＝(λ>0)，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即λ＝時(shí)等號(hào)成立，故·的最小值為.
33、
法二：坐標(biāo)法
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳B∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，所以DC＝1，即B(2,0)，D，C.
因?yàn)椋溅?，＝?
所以E，F(xiàn)，
＝，＝.
所以·＝＋λ＝＋＋≥＋2＝.
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即λ＝時(shí)等號(hào)成立，
故·的最小值為.
[答案]
[系統(tǒng)歸納]
向量數(shù)量積問(wèn)題的解題策略
基底法
根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合圖形的結(jié)構(gòu)特征選擇一組基底，將有關(guān)的向量用基底表示，進(jìn)行求解
坐標(biāo)法
分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，建立平面直角坐標(biāo)系，將所涉及的向量坐標(biāo)化，利用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行解答
[應(yīng)用體驗(yàn)]
3．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1
34、，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·＝________；·的最大值為_(kāi)_______．
解析：法一：如圖，以射線AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，則E(t,0)，t∈[0,1]，＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因?yàn)椋?1,0)，所以·＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故· 的最大值為1.
法二：由圖知，無(wú)論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，在方向上的投影都是||＝1，所以·＝||·1＝1，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影最大即為||＝1，所以(·)max＝||·1＝1.
答案：1 1
命題區(qū)域(
35、三) 立體幾何
此類(lèi)壓軸題主要考查以立體幾何為背景的新穎問(wèn)題．以立體幾何為背景的新穎問(wèn)題常見(jiàn)的有折疊問(wèn)題、與函數(shù)圖象相結(jié)合問(wèn)題、最值問(wèn)題、探索性問(wèn)題等．(1)對(duì)探索、開(kāi)放、存在型問(wèn)題的考查：探索性試題使問(wèn)題具有不確定性、探究性和開(kāi)放性，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，有利于考查學(xué)生的探究能力以及思維的創(chuàng)造性，是新課程高考命題改革的重要方向之一；開(kāi)放性問(wèn)題，一般將平面幾何問(wèn)題類(lèi)比推廣到立體幾何中．(2)對(duì)折疊、展開(kāi)問(wèn)題的考查：圖形的折疊與展開(kāi)問(wèn)題(三視圖問(wèn)題可看作是特殊的圖形變換)蘊(yùn)涵了“二維——三維——二維”的維數(shù)升降變化，求解時(shí)須對(duì)變化前后的圖形作“同中求異、異中求同”的思辨，考查空間想象能力和分析
36、辨別能力，是立體幾何中的重要題型．
空間中線面位置關(guān)系與計(jì)算
[例1] 平面α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面α∥平面CB1D1，平面α∩平面ABCD＝m，平面α∩平面ABB1A1＝n，則直線m，n所成角的正弦值為( )
A. B.
C. D.
[技法演示]
法一：割補(bǔ)法
我們先嘗試把m，n這兩條直線都作出來(lái)，易知這個(gè)平面α一定在正方體外，所以要往上補(bǔ)形，如圖所示，過(guò)點(diǎn)A在正方體ABCD-A1B1C1D1的上方補(bǔ)作一個(gè)與正方體ABCD-A1B1C1D1相同棱長(zhǎng)的正方體ABCD-A2B2C2D2，可證平面AB2D2就是平面α，n就是A
37、B2.因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A2B2C2D2，所以B2D2∥m，說(shuō)明m應(yīng)該是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且在平面ABCD內(nèi)與B2D2平行的直線，則直線m，n所成的角就是∠AB2D2，因?yàn)椤鰽B2D2為等邊三角形，所以sin∠AB2D2＝sin＝，故選A.
法二：平移法1
事實(shí)上對(duì)法一可進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，無(wú)須補(bǔ)形也可以．設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m′，因?yàn)槠矫姒痢善矫鍭BCD＝m，平面α∥平面CB1D1，所以m∥m′.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥m′，所以B1D1∥m.同理可得CD1∥n，故直線m，n所成角即為直線B1D1，CD1所成的
38、角∠CD1B1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1C＝B1D1＝CD1，所以∠CD1B1＝，所以sin∠CD1B1＝，故選A.
法三：平移法2
與法二類(lèi)似，我們嘗試在正方體內(nèi)部構(gòu)造一個(gè)平面與平面α平行，也即與平面CB1D1平行．
如圖所示，讓點(diǎn)A在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，不妨讓點(diǎn)A在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，易知平面BA1D與平面CB1D1平行，則直線m，n所成的角就是∠DBA1，其正弦值為，故選A.
法四：向量法
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，易求得平面CB1D1的一個(gè)法向量s＝(1，－1，1)．因?yàn)槠矫姒痢善矫鍭BCD＝m，所以直線m的方向向量m＝x＋y＝(－y，
39、x,0)．又平面α∥平面CB1D1，所以m·s＝0，即－y－x＝0，故m＝(x，x,0)；同理，因?yàn)槠矫姒痢善矫鍭BB1A1＝n，所以直線n的方向向量n＝λ＋μ＝(0，λ，－μ)．又平面α∥平面CB1D1，所以n·s＝0，即λ＋μ＝0，故n＝(0，λ，λ)．記異面直線m，n所成角為θ，所以cos θ＝＝＝，故直線m，n所成角的正弦值為，選A.
[答案] A
[系統(tǒng)歸納]
異面直線所成角問(wèn)題的解題策略
(1)平移化歸是關(guān)鍵：求異面直線所成角，關(guān)鍵是將兩條異面的直線平移到相交狀態(tài)，作出等價(jià)的平面角，再解三角形即可，常規(guī)步驟是“一作二證三計(jì)算”，而第一步最為關(guān)鍵，平移誰(shuí)，怎么平移都要視題目條
40、件而定；
(2)向量計(jì)算要快要準(zhǔn)：空間向量方法的最大好處是降低了對(duì)空間想象能力的要求，但相應(yīng)地對(duì)計(jì)算能力要求就高了，要求我們熟練地求解空間的點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，計(jì)算要準(zhǔn)確．
[應(yīng)用體驗(yàn)]
1．已知四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，AB＝AC＝5，BC＝8，AD⊥底面ABC，G為△ABC的重心，且直線DG與底面ABC所成角的正切值為，則球O的表面積為_(kāi)_______．
解析：在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，重心G為AE的三等分點(diǎn)，AE＝＝3，AG＝2，由于AD⊥底面ABC，直線DG與底面ABC所成角的正切值為，所以tan∠DGA＝＝，DA＝1，在
41、等腰△ABC中，cos∠ACB＝＝，sin∠ACB＝，所以△ABC的外接圓直徑2r＝＝＝，r＝，設(shè)△ABC的外接圓圓心為O1，四面體ABCD的球心為O，在Rt△AOO1中，R2＝OA2＝AO＋2＝2＋2＝，球的表面積為S＝4πR2＝π.
答案：π
空間最值問(wèn)題
[例2] 如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD＝DA，PB＝BA，則四面體P-BCD的體積的最大值是________．
[技法演示]
法一：平面幾何法
由題意可知四面體P-BCD的體積最大時(shí)，應(yīng)有平面PBD⊥平面BCD.如圖，過(guò)點(diǎn)P
42、作PF⊥BD，垂足為F，則PF⊥平面BCD，則VP-BCD＝S△BCD·PF.由翻折過(guò)程可知AF＝PF，則VP-BCD＝S△BCD·AF，這樣就將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為△ABC內(nèi)的問(wèn)題．等腰△ABC的底邊AC邊上的高h(yuǎn)＝AB·sin 30°＝1，VP-BCD＝××DC×h×AF＝DC·AF.
DC與AF不在同一個(gè)三角形中，用哪個(gè)變量能表示兩者呢？注意到當(dāng)點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADB也是在變化的，因此可以取∠ADB為自變量，產(chǎn)生下面的解法．
如圖，因?yàn)镾△ABD＝BD·AF＝AD·h，則AF＝，得VP-BCD＝DC·.設(shè)∠ADB＝α，由正弦定理得＝2sin(150°－α)，DC＝，則VP-BCD＝×
43、＝－＝，易知函數(shù)f(x)＝x－在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增，于是VP-BCD≤＝.
法二：構(gòu)造法
換個(gè)角度看問(wèn)題，我們把△ABC“立起來(lái)”，如圖，設(shè)BO⊥平面ACP，考慮以B為頂點(diǎn)，△ACP的外接圓⊙O為底面的圓錐，易得AC＝2，則OB＝≤ ＝1.設(shè)∠PDA＝θ，θ∈(0，π)，AD＝x(0
44、系非常方便．
如圖，取AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以AC所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－，0)，B(0，－1)，C(，0)，設(shè)D(t,0)，t∈(－，)，易知直線BD的方程為x－ty－t＝0，則點(diǎn)A到直線BD的距離AF＝，又DC＝－t，于是VP-BCD＝DC·AF＝·，令f(t)＝·＝－，t2∈[0,3)，易知該函數(shù)在[0,3)上單調(diào)遞減，故VP-BCD≤f(0)＝，此時(shí)D在原點(diǎn)．
[答案]
[系統(tǒng)歸納]
空間最值問(wèn)題的解題關(guān)鍵
(1)要善于將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題：這一步要求我們具備較強(qiáng)的空間想象能力，對(duì)幾何體的結(jié)構(gòu)特征要牢牢抓住，如本題一定要分析出“當(dāng)四面體P-BCD的體積
45、取最大值時(shí)，必有平面PBD⊥平面BCD”，要判斷出△PBD與△ABD是翻折關(guān)系(全等)，這樣才能進(jìn)一步將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的問(wèn)題；
(2)轉(zhuǎn)化后的運(yùn)算：因?yàn)橐呀?jīng)是平面內(nèi)的問(wèn)題，那么方法就比較多了，如三角函數(shù)法、均值不等式，甚至導(dǎo)數(shù)都是可以考慮使用的工具．
[應(yīng)用體驗(yàn)]
2．表面積為60π的球面上有四點(diǎn)S，A，B，C且△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為，若平面SAB⊥平面ABC，則棱錐S-ABC體積的最大值為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)榍虻谋砻娣e為60π，所以球的半徑為，設(shè)△ABC的中心為D，則OD＝，所以DA＝2，則AB＝6，棱錐S-ABC的底面積S＝×62＝9為定值
46、，欲使其體積最大，應(yīng)有S到平面ABC的距離取最大值，又平面SAB⊥平面ABC，所以S在平面ABC上的射影落在直線AB上，而SO＝，點(diǎn)D到直線AB的距離為，則S到平面ABC的距離的最大值為3，所以V＝×9×3＝27.
答案：27
命題區(qū)域(四) 解析幾何
本類(lèi)壓軸題主要考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)、特定字母的取值范圍以及圓錐曲線中的最值問(wèn)題．圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容之一．在選擇、填空題中主要考查橢圓和雙曲線的離心率、參數(shù)的值(范圍)、雙曲線的漸近線方程以及拋物線的焦點(diǎn)弦．圓錐曲線中的弦長(zhǎng)是直線與圓錐曲線相交時(shí)產(chǎn)生的，面積也以弦長(zhǎng)的計(jì)算為基礎(chǔ)，高考重點(diǎn)考查直線與圓錐曲線的位置
47、關(guān)系，它是命制壓軸題時(shí)的一個(gè)重要命題方向．
圓錐曲線的幾何性質(zhì)
[例1] 已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則雙曲線E的離心率為( )
A. B.
C. D．2
[技法演示]
法一：定義法
因?yàn)椤鱉F1F2是直角三角形，且sin∠MF2F1＝，
所以|MF1|＝|MF2|sin∠MF2F1＝|MF2|，
即|MF2|＝3|MF1|.①
由雙曲線的定義可知|MF2|－|MF1|＝2a.②
由①和②可求得|MF1|＝a，|MF2|＝3a.
48、
在Rt△MF1F2中，由勾股定理得|MF2|2－|MF1|2＝|F1F2|2，即(3a)2－a2＝(2c)2，化簡(jiǎn)得2a2＝c2，即2＝2，從而可知e＝.故選A.
法二：利用正弦定理
在Rt△MF1F2中，sin ∠F1MF2＝sin(90°－∠MF2F1)＝cos∠MF2F1＝，sin∠MF1F2＝1.由正弦定理得e＝＝＝＝.故選A.
法三：利用直角三角形的三角函數(shù)
設(shè)點(diǎn)M(－c，y0)，則－＝1，
由此解得y＝|MF1|2＝b2＝.
∵△MF1F2是直角三角形，且sin∠MF2F1＝，
∴cos∠MF2F1＝，tan∠MF2F1＝，從而可得＝?＝?＝＝8，即＝8，化簡(jiǎn)整
49、理得2c4－5a2c2＋2a4＝0，兩邊同除以a4，得24－52＋2＝0，
即 ＝0，
∵>1，∴2＝2，即e＝.
[答案] A
[系統(tǒng)歸納]
圓錐曲線離心率問(wèn)題的求解策略
(1)雙曲線(橢圓)的定義可直接建立“焦點(diǎn)三角形”的兩邊關(guān)系．用好這一隱含條件，可為三角形的求解省下不少功夫．法二便充分利用了雙曲線的定義將離心率e寫(xiě)成，轉(zhuǎn)化為“焦點(diǎn)三角形”的三邊關(guān)系，從而利用正弦定理再轉(zhuǎn)化到已知的角上去．
(2)在求解圓錐曲線(主要指的是橢圓和雙曲線)的離心率問(wèn)題時(shí)，要把握一個(gè)基本思想，就是充分利用已知條件和挖掘隱含條件建立起a與c的關(guān)系式．
[注意] 在求離心率的值時(shí)需建立
50、等量關(guān)系式，在求離心率的范圍時(shí)需建立不等量關(guān)系式．
[應(yīng)用體驗(yàn)]
1．已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，拋物線C：y2＝8ax的焦點(diǎn)為F，若在E的漸近線上存在點(diǎn)P，使得PA⊥FP，則E的離心率的取值范圍是( )
A．(1,2) B.
C．(2，＋∞) D.
解析：選B 雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A(a,0)，拋物線C：y2＝8ax的焦點(diǎn)為F(2a,0)，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，可設(shè)P，則有＝，＝，由PA⊥FP，得·＝0，即(m－a)(m－2a)＋m2＝0，整理得m2－3ma＋2a2＝0，由題意可得Δ＝9a2－41＋·2a2≥
51、0，即a2≥8b2＝8(c2－a2)，即8c2≤9a2，則e＝≤.又e>1，所以1b>0)．
過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB，垂足為N，設(shè)M(x，y)．
根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨令y>0，
設(shè)∠AMN＝α，∠BMN＝β，
則tan α＝，tan β＝
52、.
又點(diǎn)M在橢圓上，所以x2＝a2－.
則tan(α＋β)＝＝
＝＝
＝＝.
又y∈[－b，b]，所以當(dāng)y＝b時(shí)，α＋β取最大值，即M為橢圓短軸頂點(diǎn)P時(shí)，∠APB最大．由此，我們可以得到本題的如下解法．
先考慮橢圓的焦點(diǎn)在x軸上的情況，則03時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿足∠AMB＝120°，則≥，解得m≥9.
故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)．
法二：二級(jí)結(jié)論
53、法
橢圓上任意一點(diǎn)與橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)連線的斜率之積為定值－.
這一結(jié)論不難證明：設(shè)M(x，y)為橢圓＋＝1(a>b>0)上任意一點(diǎn)，A，B分別為橢圓的左、右兩個(gè)端點(diǎn)，則kMA·kMB＝·＝.因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以y2＝(a2－x2)，從而kMA·kMB＝＝－.由此可以得到本題的如下解法．
當(dāng)0
54、公式tan(β－α)＝，
可得tan β－tan α＝－，
即k2－k1＝m－.結(jié)合k1·k2＝－，將兩式變形為k2＋(－k1)＝m－，k2·(－k1)＝，故可將k2，－k1看作是關(guān)于t的方程t2－t＋＝0的兩個(gè)根，則Δ＝2－4·＝(m2－10m＋9)≥0，所以m2－10m＋9≥0，解得m≤1或m≥9(舍去)，所以0
55、＝(x－，y)，此時(shí)如果直接應(yīng)用數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算，顯然計(jì)算量較大，這里我們可以考慮利用直線的方向向量來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算．
分別取與，相同方向的向量n1＝(1，k1)，n2＝(1，k2)．又∠AMB＝120°，所以向量n1，n2的夾角為60°，由向量的數(shù)量積公式可得，
cos 60°＝＝
＝，
即＝.
由k1·k2＝－<0，結(jié)合均值不等式a2＋b2≥2ab，可得k＋k＝k＋(－k2)2≥2k1·(－k2)＝m，
所以≤，
即≤，
所以≤1－，
解得m≤1.
又0
56、，m的取值范圍是(0,1]∪[9，＋∞)．
[答案] A
[系統(tǒng)歸納]
圓錐曲線中特定字母的值(范圍)問(wèn)題的解題策略
構(gòu)造
不等式
根據(jù)題設(shè)條件以及曲線的幾何性質(zhì)(如：曲線的范圍、對(duì)稱(chēng)性、位置關(guān)系等)，建立關(guān)于特定字母的不等式(或不等式組)，然后解不等式(或不等式組)，求得特定字母的取值范圍
構(gòu)造
函數(shù)
根據(jù)題設(shè)條件，用其他的變量或參數(shù)表示欲求范圍的特定字母，即建立關(guān)于特定字母的目標(biāo)函數(shù)，然后研究該函數(shù)的值域或最值情況，從而得到特定字母的取值范圍
數(shù)形
結(jié)合
研究特定字母所對(duì)應(yīng)的幾何意義，然后根據(jù)相關(guān)曲線的定義、幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解
[應(yīng)用體驗(yàn)]
2
57、．若過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足＋＝t (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則實(shí)數(shù)t的值為( )
A．± B．±
C．± D．±
解析：選B 由題意知，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2)．
顯然，當(dāng)k＝0時(shí)，|AB|＝2，與已知不符，∴k≠0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，
聯(lián)立消去y，
得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，
則Δ＝(－8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)＝8－16k2>0，
x1＋x2＝，x1·x2＝，
∵|AB|＝，∴ |x1－x2|＝，
58、
即(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，
∴(4k2－1)(14k2＋13)＝0，解得k2＝.
又＋＝t，
即(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，且k≠0，t≠0，
∴x＝＝，
y＝＝[k(x1＋x2)－4k]＝.
∵點(diǎn)P在橢圓上，∴＋2×＝2，
又k2＝，解得t＝±.
圓錐曲線中與面積相關(guān)的問(wèn)題
[例3] 已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，·＝2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△ABO與△AFO面積之和的最小值是( )
A．2 B．3
C. D.
[技法演示]
法一：利用基本不等式
依題意，不妨
59、設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1>0，y2<0.由·＝2，得x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝2，由此解得y1y2＝－2，△ABO與△AFO面積之和等于|x1y2－x2y1|＋×y1＝|yy2－yy1|＋y1＝×2(y1－y2)＋y1＝y(tǒng)1＋(－y2)≥2＝3，當(dāng)且僅當(dāng)y1＝－y2＝時(shí)取等號(hào)，因此△ABO與△AFO面積之和的最小值是3，選B.
該方法中用到這樣一個(gè)公式：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則S△AOB＝|x1y2－x2y1|，證明如下：
設(shè)∠AOB＝θ，則S△AOB＝||·||sin θ
＝
＝
＝
＝ ＝|x1y2－x2y1|.
60、
法二：雙根法
設(shè)直線AB的方程為x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1y2<0，由得y2－ty－m＝0，y1y2＝－m，又·＝2，因此x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝2，m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.又y1y2＝－m<0，因此y1y2＝－m＝－2，m＝2，直線AB：x＝ty＋2過(guò)定點(diǎn)(2,0)，S△ABO＝×2×|y1－y2|＝，S△AFO＝×|y1|＝|y1|，S△ABO＋S△AFO＝＋|y1|＝|y1|＋≥2＝3，當(dāng)且僅當(dāng)|y1|＝，即|y1|＝時(shí)取等號(hào)，
因此△ABO與△AFO面積之和的最小值是3，選B.
[答案] B
[系統(tǒng)
61、歸納]
圓錐曲線中與面積相關(guān)問(wèn)題的解題規(guī)律
(1)三角形面積的向量公式：若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，則S△ABC＝|x1y2－x2y1|，用此公式便于建立目標(biāo)函數(shù)求最值；
(2)直線方程的選擇：對(duì)于不同的直線方程，其中所含的參數(shù)意義不同，形成不同的解題長(zhǎng)度．為了消元、計(jì)算的方便，可將經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(m,0)的動(dòng)直線設(shè)為x＝ty＋m的形式，避免了對(duì)斜率存在性的討論．如本題法二．
[應(yīng)用體驗(yàn)]
3．已知橢圓E的方程為＋y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，且|OM|＝1，則△AOB面積的最大值為_(kāi)_______．
解析：設(shè)直線l：x＝my＋n，A
62、(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
由整理得(4＋m2)y2＋2mny＋n2－4＝0.①
所以y1＋y2＝－，y1y2＝，x1＋x2＝.
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知x0＝，y0＝，
即M.
因?yàn)閨OM|＝1，所以n2＝.②
設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為D(n,0)，
則△AOB的面積S＝|OD||y1－y2|＝|n||y1－y2|.
S2＝n2(y1－y2)2＝，
設(shè)t＝m2＋4(t≥4)，
則S2＝48×＝
≤＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝12時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)m2＝8，n2＝6，
即S2取得最大值1.
故△AOB的面積的最大值為1.
答案：1
63、
A組——選擇壓軸小題命題點(diǎn)專(zhuān)練
1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，則|a－b|＝( )
A. B.
C. D．1
解析：選B 由cos 2α＝，
得cos2 α－sin2α＝，∴＝，
即＝，∴tan α＝±，
即＝±，∴|a－b|＝.故選B.
2．(2019屆高三·廣州調(diào)研)若將函數(shù)y＝2sinsin的圖象向左平移φ(φ>
64、0)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為奇函數(shù)，則φ的最小值為( )
A. B.
C. D.
解析：選A 由y＝2sinsin，可得y＝2sincos＝sin，該函數(shù)的圖象向左平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)＝sin＝sin，因?yàn)間(x)＝sin為奇函數(shù)，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值為，選A.
3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，若PA＝AD＝AB＝kBC(0
65、D⊥平面PCD
C．?k∈(0,1)，直線PA與底面ABCD都不垂直
D．?k∈(0,1)，使直線PD與直線AC垂直
解析：選A 取PB，PC的中點(diǎn)分別為M，N，連接MN，AM，DN，由平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AM，又M為PB的中點(diǎn)，PA＝AB，∴AM⊥PB，可得AM⊥平面PBC，而AD∥BC且AD＝BC，同時(shí)MN∥BC且MN＝BC，∴AD∥MN且AD＝MN，則四邊形ADNM為平行四邊形，可得AM∥DN，則DN⊥平面BPC，又DN?平面PCD，∴平面BPC⊥平面PCD.其余選項(xiàng)都錯(cuò)誤，故選A.
4．(2019屆高三·西安八校聯(lián)考)已知球的直徑
66、SC＝4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐S-ABC的體積最大為( )
A．2 B.
C. D．2
解析：選A 如圖，因?yàn)榍虻闹睆綖镾C，且SC＝4，∠ASC＝∠BSC＝30°，所以∠SAC＝∠SBC＝90°，AC＝BC＝2，SA＝SB＝2，所以S△SBC＝×2×2＝2，則當(dāng)點(diǎn)A到平面SBC的距離最大時(shí)，棱錐A-SBC，即S-ABC的體積最大，此時(shí)平面SAC⊥平面SBC，點(diǎn)A到平面SBC的距離為2sin 30°＝，所以棱錐S-ABC的體積最大為×2×＝2，故選A.
5．(2019屆高三·蘭州診斷考試)已知圓C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和點(diǎn)M(5，t)，若圓C上存在兩點(diǎn)A，B使得MA⊥MB，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( )
A．[－2,6] B．[－3,5]
C．[2,6] D．[3,5]
解析：選C 法一：當(dāng)MA，MB是圓C的切線時(shí)，∠AMB取得最大值．若圓C上存在兩點(diǎn)A，B使得MA⊥MB，則MA，MB是圓C的切線時(shí)，∠AMB≥90°，∠AMC≥45°，且∠AMC<90°，如圖，則|MC|＝≤＝2，所以16＋(t－4)2≤
（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第三層級(jí) 難點(diǎn)自選 專(zhuān)題一“選填”壓軸小題命題的4大區(qū)域講義 理（普通生含解析）
