2022年高考數(shù)學(xué)40個(gè)考點(diǎn)總動(dòng)員 考點(diǎn)25 幾何體的體積和表面積（學(xué)生版） 新課標(biāo)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)40個(gè)考點(diǎn)總動(dòng)員 考點(diǎn)25 幾何體的體積和表面積（學(xué)生版） 新課標(biāo) 【高考再現(xiàn)】 熱點(diǎn)一 幾何體的體積 1.(xx年高考湖北卷理科10)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑，“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個(gè)近似公式.人們還用過(guò)一些類似的近似公式。根據(jù)x=3.14159…..判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是( ) A． B． C． D． 2.(xx年高考新課標(biāo)全國(guó)卷理科7)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖

2、，則此幾何體的體積為（ ） 3.(xx年高考新課標(biāo)全國(guó)卷理科11)已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體積為（ ） 4.(xx年高考江西卷理科10)如右圖，已知正四棱錐所有棱長(zhǎng)都為1，點(diǎn)E是側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)垂直于的截面將正四棱錐分成上、下兩部分，記截面下面部分的體積為則函數(shù)的圖像大致為（ ） 5.（xx年高考新課標(biāo)全國(guó)卷文科8）平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積

3、為 （A）π （B）4π （C）4π （D）6π 6.（xx年高考江蘇卷7）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，則四棱錐的體積為 cm3. 7.(xx年高考天津卷理科10)―個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：)，則該幾何體的體積為 . 8.(xx年高考山東卷理科14)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E,F分別為線段AA1,B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1-EDF的體積為____________。 【答案】 【解析】. 9.(xx年高考上海卷理科8)若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為

4、 . 【方法總結(jié)】 1．計(jì)算柱、錐、臺(tái)體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解． 2．注意求體積的一些特殊方法：分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算常用的方法，應(yīng)熟練掌握． 3．等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面．①求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方式來(lái)計(jì)算；②利用“等積法”可求“點(diǎn)到面的距離”. 熱點(diǎn)二 幾何體的表面積 10.(xx年高考遼寧卷理科13)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為______________。 【方法總結(jié)】 1．在

5、求多面體的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一側(cè)面分別求解后再相加，對(duì)于組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理． 2．以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系． 3．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和. 熱點(diǎn)三 與體積相關(guān)的最值問(wèn)題 11.(xx年高考上海卷理科14)如圖，與是四面體中互相垂直的棱，，若，且，其中、為常數(shù)，則四面體的體積的最大值是 . 【答案】 【解析】據(jù)題，也就是說(shuō)，線段的長(zhǎng)度是定值，因?yàn)槔馀c棱互相垂直，當(dāng)時(shí)，此時(shí)

6、有最大值，此時(shí)最大值為：. 12.(xx年高考湖北卷理科19)（本小題滿分12分） 如圖1，∠ACB=45°，BC=3，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示）， （1）當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大； （2）當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)E，M分別為棱BC，AC的中點(diǎn)，試在棱CD上確定一點(diǎn)N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大小 13.(xx年高考湖南卷理科18)（本小題滿分12分） 如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，A

7、D=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn). （Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE； （Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積. 　　　　　　　 14．（xx年高考新課標(biāo)全國(guó)卷文科19）如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn) (Ｉ)證明：平面BDC1⊥平面BDC （Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比. 【考點(diǎn)剖析】 一．明確要求 會(huì)計(jì)算球、柱、錐臺(tái)的表面積和體積(不要求記憶公式) 二．命題方向 1.空間幾何體的表面積、體積

8、是高考的熱點(diǎn)，多與三視圖相結(jié)合命題． 2.主要考查由三視圖還原幾何體并求表面積或體積，同時(shí)考查空間想象能力及運(yùn)算能力．題型多為選擇、填空題. 三．規(guī)律總結(jié) 　(1)解與球有關(guān)的組合體問(wèn)題的方法，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進(jìn)行解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖． (2)等積法：等積

9、法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過(guò)已知條件可以得到，利用等積法可以用來(lái)求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高．這一方法回避了具體通過(guò)作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過(guò)直接計(jì)算得到高的數(shù)值． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．(人教A版教材習(xí)題改編)圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是(　　)． A．4πS B．2πS C．πS D.πS 3．(經(jīng)典習(xí)題)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是 (　　)． A．8 B．6 C．10 D．8

10、5．(教材習(xí)題改編)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，若使△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為________． 【名校模擬】 一．基礎(chǔ)扎實(shí) 1.(湖北武漢xx畢業(yè)生五月供題訓(xùn)練（三）文)已知S,A，B，C是球O表面上的點(diǎn)，SA⊥平面ABC，AB⊥BC,SA=AB=l，BC=，則球O的表面積等于 A．4 B．3 C．2 D． 3.(xx東城區(qū)普通高中示范校高三綜合練習(xí)（二）理) 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是 （ ） A． B.

11、 C. D. 5.(xx年河南豫東、豫北十所名校階段性測(cè)試(三）理)在矩形從CD中，從=,BC =，且矩形從CD的頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上，若四棱錐O -ABCD的體積為8，則球O的半徑R= (A)3 (B) (C) (D)4 7.(湖北文科數(shù)學(xué)沖刺試卷（二）) 二．能力拔高 9.(xx洛陽(yáng)示范高中聯(lián)考高三理)三棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，且，則該球的體積為 A． B． C． D． 11.(唐山市xx高三年級(jí)第一次模擬考試文) 點(diǎn)A、B、C、D均在同一球面上

12、，其中是正三角形，AD平面ABC,AD=2AB=6,則該球的體積為 (A) (B) (C) (D) 12.（xx年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二)文）已知正三棱柱內(nèi)接于一個(gè)半徑為2的球，則正三棱柱的側(cè)面積取得最大值時(shí)，其底面邊長(zhǎng)為 A． B． C． D．2 13.(山西省xx年高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練理)一個(gè)底面為正三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，則該棱柱體積的最大值為（ ） A． B． C． D． 16. (中原六校聯(lián)誼xx年高三第一次聯(lián)考理)正三棱錐S-

13、ABC中，M、N分別是SC．BC中點(diǎn)，且MN⊥AM，若SA=2．則正三棱錐S - ABC的外接球的體積為 。 17. (浙江省xx屆重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三第二學(xué)期4月聯(lián)考試題理 )一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的表面積與其外接球面積之比為________． 19(河北唐山市xx屆高三第三次模擬文)（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2。 （1）求證：平面PBC⊥平面PAB； （2）若∠PDC=120°，求四棱錐P—ABCD的體積。 三．提

14、升自我 22.(xx年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二) 理)若棱長(zhǎng)均為2的正三棱柱內(nèi)接于一個(gè)球，則該球的半徑為 A． B． C． D． 23. (xx年石家莊市高中畢業(yè)班第一次模擬考試?yán)? 三棱錐的三組相對(duì)的棱（相對(duì)的棱是指三棱錐中成異面直線的一組棱）分別相等，且長(zhǎng)各為、m、n，其中m2+n2=6，則該三棱錐體積的最大值為 A. B. C. D. 25(河南省鄭州市xx屆高三第二次質(zhì)量預(yù)測(cè)文) (本小題滿分12分）如圖，棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，側(cè)棱，棱AA1與底面所成的角為，點(diǎn)F為DC1的中點(diǎn). (I)證明：OF//平面； (II)求三棱錐的體積. 【原創(chuàng)預(yù)測(cè)】 1.如圖，平面四邊形中，，，將其沿對(duì)角線 折成四面體，使平面平面，若四面體頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的體積為 A. B. C. D. 3．如圖，已知平行四邊形和矩形所在的平面互相垂直，，是線段的中點(diǎn). （Ⅰ）求二面角的正弦值； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)從出發(fā)，沿棱按照的路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，求這一過(guò)程中形成的三棱錐的體積的最小值.