人教版八年級數(shù)學(xué) 第14章 圖說平方差公式

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1、 圖說平方差公式 山東沂源縣徐家莊中心學(xué)校 256116 左效平 劉婷婷 平方差公式是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要公式,正確理解公式的意義是靈活應(yīng)用公式的基礎(chǔ),為此我們利用幾何圖形,借助圖形面積的相等來幫助同學(xué)們加深對公式的理解. 一、圖說公式 1、把陰影圖形拼接成長方形解釋公式 例1 如圖1,邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形. 1.請用a,b表示出圖1中陰影部分的面積. 2、小穎將圖1中陰影部分的圖形適當(dāng)剪隔拼成如圖2所示的長方形,請問這個長方形的長為 ,寬為 ,面積為 . 3、比較(1),(2)

2、中的結(jié)果,你能驗證哪一個重要的數(shù)學(xué)公式?寫下來. 分析:圖1中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積即-;圖2中陰影部分構(gòu)成了一個長方形,且長方形的長是(a+b),寬為(a-b),這樣長方形的面積等于(a+b)(a-b),利用變化前后陰影部分的面積是相等的,就可以得到:-=(a+b)(a-b),這就是我們熟悉的平方差公式. 解:1.用a,b表示出圖1中陰影部分的面積為:-. 2、這個長方形的長為(a+b),寬為(a-b),面積為(a+b)(a-b); 3、比較(1),(2)中的結(jié)果,能驗證平方差公式:-=(a+b)(a-b). 點(diǎn)評:準(zhǔn)確判斷圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),利

3、用圖形的面積公式表示圖形的差或和是解題的關(guān)鍵,其次,圖形變化前后陰影面積相同是建立起等式的關(guān)鍵. 2、把陰影圖形拼接成等腰梯形解釋公式 例2 如圖3,邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形. 1.請用a,b表示出圖3中陰影部分的面積. 2、小穎將圖3中陰影部分的圖形適當(dāng)剪隔拼成如圖4所示的梯形,請問這個梯形的上底為 ,下底為 ,高為 ,面積為 . 3、比較(3),(4)中的結(jié)果,你能驗證哪一個重要的數(shù)學(xué)公式?寫下來. 分析:圖3中陰影部分的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積即-;圖4

4、中陰影部分構(gòu)成了一個等腰梯形,且梯形的上底長是(b+b),下底的長為(a+a),梯形的高是(a-b),這樣梯形的面積等于=(a+b)(a-b),利用變化前后陰影部分的面積是相等的,就可以得到:-=(a+b)(a-b),這也是我們熟悉的平方差公式. 解:1.用a,b表示出圖1中陰影部分的面積為:-. 2、梯形的上底長是(b+b),下底的長為(a+a),梯形的高是(a-b),梯形的面積為:=(a+b)(a-b); 3、比較(1),(2)中的結(jié)果,能驗證平方差公式:-=(a+b)(a-b). 點(diǎn)評:準(zhǔn)確確定出等腰梯形的上底長,下底長,高是解題的關(guān)鍵. 3、把陰影圖形剪下拼成新的圖形解釋

5、公式 例3 將圖5中陰影部分的小長方形變換到圖6中所示的位置,你能根據(jù)兩個圖形的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是 . 分析:圖5中陰影部分和空白部分構(gòu)成一個長是(a+b),寬為(a-b)的長方形,且長方形的面積等于(a+b)(a-b);仔細(xì)觀察圖6,補(bǔ)形完整后,不難發(fā)現(xiàn),整個圖5中的面積與虛線框內(nèi)的小正方形構(gòu)成了一個邊長為a的正方形,虛線框內(nèi)的四邊形也是一個小的正方形,大正方形的面積減去小正方形的面積即-恰好是圖5中面積,利用變化前后陰影部分的面積是相等的,就可以得到:(a+b)(a-b)=-,這也是我們熟悉的平方差公式. 解:根據(jù)兩個圖形

6、的面積關(guān)系得到的數(shù)學(xué)公式是:(a+b)(a-b)=-. 二、圖說公式的應(yīng)用 例4如圖7邊長為(a+3)的正方形紙片剪出一個邊長為a的正方形后,剩余部分可剪拼成一個矩形(不重疊無縫隙),若拼成長方形的一邊長為3,則另一邊長為 ( ) A. 2a+3 B. 2a+6 C. a+3 D. a+6 分析:變形前圖形的面積為,這個面積就是后來拼成的長方形的面積,且長方形的寬為3,所以長方形的長為(2a+3). 解:選A. 點(diǎn)評:逆用公式(a+b)(a-b)=-,求得圖形的面積,根據(jù)變化前后圖形的面積相等即可得到答案. 例5 (2014?山東棗莊)如圖8,在邊長為2a的正方形中央剪去一邊長為(a+2)的小正方形(a>2),將剩余部分剪開密鋪成一個平行四邊形,則該平行四邊形的面積為( ) A. +4 B. 2+4a C. 3-4a-4 D. 4-a-2 分析:根據(jù)拼成的平行四邊形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積,列式整理即可得解. 解:, 所以選:C. 點(diǎn)評:根據(jù)拼接前后的圖形的面積相等列式是解題的關(guān)鍵.

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