2020屆高中數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 綜合訓(xùn)練（四） 理 新課標(biāo)(湖南專用)

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1、2020屆高中數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 綜合訓(xùn)練（四） 理 新課標(biāo)(湖南專用) 時(shí)量：50分鐘　　　滿分：50分 解答題：本大題共4小題，第1,2,3小題各12分，第4小題14分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 　1.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若tanA＝3，cosC＝. (1)求角B的大??； (2)若c＝4，求△ABC的面積． 解析：(1)由cosC＝，所以sinC＝，所以tanC＝2. 因?yàn)閠anB＝－tan(A＋C)＝－＝1， 又0

2、(＋C)，得sinA＝，　　所以△ABC的面積S△ABC＝bcsinA＝6. 　2.某班甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行羽毛球比賽．第一局由甲、乙兩人比賽，而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時(shí)停止．設(shè)在每局中甲、乙、丙獲勝的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立．求： (1)打滿3局比賽還未停止的概率； (2)比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)X的分布列與期望EX. 解： 令A(yù)k，Bk，Ck分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝． (1)由題設(shè)，所求事件的概率P＝P(A1C2B3)＋P(B1C2A3)＝＋＝. (2)X的所有可能

3、取值為2,3,4,5,6， P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝＋＝， P(X＝3)＝P(A1C2C3)＋P(B1C2C3)＝＋＝， P(X＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4)＝＋＝， P(X＝5)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4B5)＝＋＝， P(X＝6)＝P(A1C2B3A4C5)＋P(B1C2A3B4C5)＝＋＝. 故X的分布列如下表： X 2 3 4 5 6 P 從而EX＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝. 　3.如圖，AC是圓O的直徑，點(diǎn)B在圓O上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交AC于點(diǎn)M，

4、EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，AC＝4，EA＝3，F(xiàn)C＝1. (1)證明：EM⊥BF； (2)求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值． 解析：(1)證明：因?yàn)镋A⊥平面ABC， BM?平面ABC， 所以EA⊥BM. 又因?yàn)锽M⊥AC，EA∩AC＝A， 所以BM⊥平面ACFE. 而EM?平面ACFE，所以BM⊥EM. 因?yàn)锳C是圓O的直徑，所以∠ABC＝90°. 又因?yàn)椤螧AC＝30°，AC＝4， 所以AB＝2，BC＝2. 在Rt△ABM中，AM＝3，所以CM＝1，BM＝. 如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于AC，AC，AE所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角

5、坐標(biāo)系． 由已知條件得A(0,0,0)，M(0,3,0)，E(0,0,3)，B(，3,0)，F(xiàn)(0,4,1)， 所以＝(0，－3,3)，＝(－，1,1)． ·＝(0，－3,3)·(－，1,1)＝0， 得⊥，所以EM⊥BF. (2)由(1)知＝(－，－3,3)，＝(－，1,1)． 設(shè)平面BEF的法向量為n＝(x，y，z)， 由，得. 令x＝，得y＝1，z＝2，所以n＝(，1,2)． 由已知EA⊥平面ABC， 所以取平面ABC的法向量為＝(0,0,3)， 設(shè)平面BEF與平面ABC所成的銳二面角為θ， 則cosθ＝|cos〈n，〉|＝||＝， 所以平面BEF與平面ABC

6、所成的銳二面角的余弦值為. 　4.某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m)，如圖所示，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β. (1)該小組已經(jīng)測得一組α、β的值，tanα＝1.24，tanβ＝1.20，請據(jù)此算出H的值； (2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位：m)，使α與β之差較大，可以提高測量精確度．若電視塔的實(shí)際高度為125 m，試問d為多少時(shí)， α－β最大？ 解析：(1)＝tanβ?AD＝， 同理：AB＝，BD＝. AD－AB＝DB，故得－＝， 解得H＝＝＝124. 因此，算出的電視塔的高度H是124 m. (2)由題設(shè)知d＝AB， 得tanα＝，tanβ＝＝＝， tan(α－β)＝＝ ＝＝. d＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)d＝＝＝55時(shí)，取等號)， 故當(dāng)d＝55時(shí)，tan(α－β)最大． 因?yàn)?<β<α<，則0<α－β<，所以當(dāng)d＝55時(shí)，α－β最大． 故所求的d是55 m.