2020年全國高考數(shù)學第二輪復習 專題升級訓練8 三角恒等變換及解三角形 理

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1、專題升級訓練8　三角恒等變換及解三角形 (時間：60分鐘　滿分：100分) 一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分，共36分) 1．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝∶4∶，則△ABC是(　　)． A．直角三角形 　　　　　 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 　　　　　 D．不能確定 2．在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60°，則sin A的值是(　　)． A． 　　　　 B． 　　　　 C．　　　　 D． 3．若滿足條件C＝60°，AB＝，BC＝a的△ABC有兩個，那么a的取值范圍是(　　)． A．(1，) 　

2、　　　　 B．(，) C．(，2) 　　　　　 D．(1,2) 4．已知sin θ＝，cos θ＝，則tan等于(　　)． A． 　　　　 B． 　　　　 C． 　　　　 D．5 5．已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，則log2等于(　　)． A．2 　　　　 B．3 　　　　 C．4 　　　　 D．6 6．若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，則cos＝(　　)． A． 　　　　 B．－ 　　　　 C． 　　　　 D．－ 二、填空題(本大題共3小題，每小題6分，共18分) 7．在△ABC中，C為鈍角，＝，sin A＝，則角C＝__________，sin

3、 B＝__________. 8．已知tan＝2，則的值為________． 9．已知sin α＝＋cos α，且α∈，則的值為__________． 三、解答題(本大題共3小題，共46分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 10．(本小題滿分15分)已知函數(shù)f(x)＝cos＋2cos2x－. (1)若x∈，求函數(shù)f(x)的值域； (2)在△ABC中，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C所對的邊，其中a＝1，c＝，且銳角B滿足f(B)＝1，求b的值． 11．(本小題滿分15分)如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時的速

4、度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上． (1)求漁船甲的速度； (2)求sin α的值． 12．(本小題滿分16分)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知m＝(2sin(A＋C)，)，n＝，且m∥n. (1)求角B的大小； (2)若b＝1，求△ABC面積的最大值． 參考答案 一、選擇題 1．C　解析：依題意，由正弦定理得a∶b∶c＝∶4∶，令a＝，則最大角為C，cos C＝＜0，所以△ABC是鈍角三角形，選擇C. 2．D　解析：根據(jù)余弦定理得b＝＝7，根據(jù)正弦定理＝，解得sin A＝.

5、3．C　解析：由三角形有兩解的充要條件得asin 60°＜＜a，解得＜a＜2.故選C. 4．D　解析：由于受條件sin2θ＋cos2θ＝1的制約，故m為一確定的值，于是sin θ，cos θ的值應與m的值無關，進而推知tan的值與m無關，又＜θ＜π，＜＜， ∴tan＞1，故選D. 5．C　解析：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝， ∴sin αcos β＝，cos αsin β＝， ∴＝＝×12＝5. ∴原式. 6．C　解析：根據(jù)條件可得α＋∈，－∈， 所以sin＝，sin＝，

6、所以cos ＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋×＝. 二、填空題 7．150°　　解析：由正弦定理知＝＝， 故sin C＝. 又C為鈍角，所以C＝150°.sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 8．　解析：∵tan＝2， ∴＝2，∴tan x＝. ∴＝＝＝＝. 9．－　解析：∵sin α－cos α＝， ∴(sin α－cos α)2＝，即2sin αcos α＝. ∴(sin α＋cos α)2＝1＋＝. ∵α∈，∴sin α＋cos α＞0， ∴sin α＋cos α＝. 則＝＝＝＝－. 三、解答

7、題 10．解：(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin. ∵x∈，∴2x＋∈. ∴當2x＋＝，即x＝時，f(x)max＝2； 當2x＋＝，即x＝時，f(x)min＝－. ∴函數(shù)f(x)的值域為[－，2]． (2)f(B)＝1?2sin＝1，∴B＝. ∴b2＝a2＋c2－2accos＝1.∴b＝1. 11．解：(1)依題意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28. 28÷

8、2＝14(海里/時)，所以漁船甲的速度為14海里/時． (2)方法1：在△ABC中，因為AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α， 由正弦定理，得＝， 即sin α＝＝＝. 方法2：在△ABC中，AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α， 由余弦定理，得cos α＝， 即cos α＝＝. 因為α為銳角， 所以sin α＝＝. 12．解：(1)∵m∥n， ∴2sin(A＋C)＝cos 2B， 2sin Bcos B＝cos 2B.易知sin 2B＝cos 2B，cos 2B≠0， ∴tan 2B＝. ∵0＜B＜，則0＜2B＜π，∴2B＝.∴B＝. (2)∵b2＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2＝1＋ac. ∵a2＋c2≥2ac，∴1＋ac≥2ac. ∴ac≤＝2＋，當且僅當a＝c取等號． ∴S＝acsin B＝ac≤，即△ABC面積的最大值為.