2020年高考數(shù)學(xué)試題解析分項版 專題12 概率 理

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1、2020年高考試題解析數(shù)學(xué)（理科）分項版12 概率 一、選擇題: 1.(2020年高考浙江卷理科9)有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本.若將其隨機的并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率] （A） （B） （C） （D ） 解析：因為甲乙兩位同學(xué)參加同一個小組有3種方法，兩位同學(xué)個參加一個小組共有種方法；所以，甲乙兩位同學(xué)參加同一個小組的概率為 點評：本題考查排列組合、概率的概念及其運算和分析問題、解決問題的能力。 4. (2020年高考廣東卷理科6)甲、乙兩隊進行排球決賽．現(xiàn)在的情形是甲隊

2、只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為（ ） A. B. C. D. 【解析】D.由題得甲隊獲得冠軍有兩種情況，第一局勝或第一局輸?shù)诙謩?，所以甲隊獲得冠軍的概率所以選D. 5．(2020年高考湖北卷理科7)如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連成一個系統(tǒng).當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為 A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 答案：B 解析：系統(tǒng)正常工作概

3、率為，所以選B. 6．(2020年高考陜西卷理科10)甲乙兩人一起去“2020西安世園會”，他們約定，各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽，每個景點參觀1小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是 （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】：各自獨立地從1到6號景點中任選4個進行游覽有種，且等可能，最后一小時他們同在一個景點有種，則最后一小時他們同在一個景點的概率是，故選D 7. (2020年高考四川卷理科12)在集合中任取一個偶數(shù)和一個奇數(shù)構(gòu)成以原點為起點的向量a=（a,b）.從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形.記所有作成

4、的平行四邊形的個數(shù)為，其中面積不超過的平行四邊形的個數(shù)為，則( ) （A） （B） （C） （D） 答案：B 解析：基本事件：.其中面積為2的平行四邊形的個數(shù)；其中面積為4的平行四邊形的為； m=3+2=5故. 8．(2011年高考福建卷理科4)如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于 A． B． C． D． 【答案】C 二、填空題: 1.(2020年高考浙江卷理科15)某畢業(yè)生參加人

5、才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷，假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率為，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的。記為該畢業(yè)生得到面試得公司個數(shù)。若，則隨機變量的數(shù)學(xué)期望 【答案】 【解析】：，的取值為0，1，2，3 ， ， 故 2. (2020年高考江西卷理科12)小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書，則小波周末不在家看書的概率為 【答案】 【解析】小波周末不在家看書包含兩種情況:一是去看

6、電影;二是去打籃球;所以小波周末不在家看書的概率為. 3. (2020年高考湖南卷理科15)如圖4，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內(nèi)”，則（1） ;（2） . 答案：; 解析：（1）是幾何概型：；（2）是條件概率：. 評析：本小題主要考查幾何概型與條件概率的計算. 4. (2020年高考湖北卷理科12)在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質(zhì)期，從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過保質(zhì)期的概率為

7、 （結(jié)果用最簡分數(shù)表示） 答案： 解析：因為30瓶飲料中未過期飲料有30-3=27瓶，故其概率為. 5.(2011年高考重慶卷理科13)將一枚均勻的硬幣投擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為 解析： 。硬幣投擲6次，有三類情況，①正面次數(shù)比反面次數(shù)多；②反面次數(shù)比正面次數(shù)多；③正面次數(shù)而后反面次數(shù)一樣多；，③概率為，①②的概率顯然相同，故①的概率為 6.(2020年高考安徽卷江蘇5)從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率是______ 【答案】 【解析】從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)，所有可能的

8、取法有6種, 滿足“其中一個數(shù)是另一個的兩倍”的所有可能的結(jié)果有(1,2),(2,4)共2種取法,所以其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率是. 7．(2020年高考福建卷理科13)盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個。若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于_______。 【答案】 8．(2020年高考上海卷理科9)馬老師從課本上抄錄一個隨機變量的概率分布律如下表 請小牛同學(xué)計算的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處無法完全看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能肯 定這兩個“？”處的數(shù)值相同。據(jù)此，小牛給出了正確答案 。 【

9、答案】 9．(2020年高考上海卷理科12)隨機抽取9個同學(xué)中，至少有2個同學(xué)在同一月出生的概率是 （默認每月天數(shù)相同，結(jié)果精確到）。 【答案】 三、解答題: 1. (2020年高考山東卷理科18)（本小題滿分12分） 紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立。 （Ⅰ）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率； （Ⅱ）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解析】（Ⅰ）紅隊至少兩名隊員獲勝的概率為=0.55. （Ⅱ）取的可能

10、結(jié)果為0,1,2,3,則 =0.1; ++=0.35; =0.4; =0.15. 所以的分布列為 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 數(shù)學(xué)期望=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6. 2. (2020年高考遼寧卷理科19)（本小題滿分12分） 某農(nóng)場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種甲和品種乙）進行田間試驗.選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙. （I）假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的

11、分布列和數(shù)學(xué)期望； （II）試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表： 分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗結(jié)果，你認為應(yīng)該種植哪一品種？ 附：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xa的樣本方差，其中為樣本平均數(shù). 即X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P X的數(shù)學(xué)期望是： . 3.(2020年高考安徽卷理科20)（本小題滿分13分） 工作人員需進入核電站完成某項具有高輻射危險的任務(wù)，每次只派一個人進去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分

12、鐘，如果有一個人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個人?，F(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，假設(shè)互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨立. （Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率。若改變?nèi)齻€人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？ （Ⅱ）若按某指定順序派人，這三個人各自能完成任務(wù)的概率依次為，其中是的一個排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)字期望）； （Ⅲ）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）達到最小。 【命題意圖】：本題考查相互獨立事件的概率計算，考查離散型隨

13、機變量及其分布列，均值等基本知識，考查在復(fù)雜情境下處理問題的能力以及抽象概括能力、合情推理與演繹推理，分類討論思想，應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識。 【解析】：（Ⅰ）無論怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能被完成的概率都是，所以任務(wù)能被完成的概率為= （Ⅱ）當(dāng)依次派出的三個人各自完成任務(wù)的概率分別為時，所需派出人員數(shù)目的分布列為 1 2 3 P 所需派出人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）是 ，若交換前兩人的順序，則變?yōu)椋纱丝梢?，?dāng)時，交換前兩人的順序可減少所需派出人員的數(shù)目的均值。 （ii）也可將（Ⅱ）中改寫為，若交換后兩人的順序則變?yōu)?，由此可見，保持第一個人不變，當(dāng)時，交換后

14、兩人的順序可減少所需派出人員的數(shù)目的均值。 組合（i）（ii）可知，當(dāng)時達到最小，即優(yōu)先派完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出人員的數(shù)目的均值，這一結(jié)論也合乎常理。 【解題指導(dǎo)】：當(dāng)問題的情境很復(fù)雜時，靜下心來讀懂題意是第一要務(wù)，在讀懂題意的前提下抽象概括出數(shù)學(xué)模型。第三問需用合情推理與演繹推理相結(jié)合的辦法解決，同時運用分類討論思想，難度非常大。但這一問很好地體現(xiàn)了《考試說明》的要求“能從大量數(shù)據(jù)中抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷?！薄皠?chuàng)新意識是理性思維的高層次表現(xiàn)，對數(shù)學(xué)問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，對數(shù)學(xué)知識的遷移、組合、融會的程度越高，顯示

15、出的創(chuàng)新意識也就越強?！? 4. (2020年高考全國新課標卷理科19)（本小題滿分12分） 某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，質(zhì)量指標值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測試了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值，得到下面試驗結(jié)果： A配方的頻數(shù)分布表 指標值分組 頻數(shù) 8 20 42 22 8 B配方的頻數(shù)分布表 指標值分組 頻數(shù) 4 12 42 32 8 （Ⅰ）分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的

16、產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率； （Ⅱ）已知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標值t的關(guān)系式為 從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.（以實驗結(jié)果中質(zhì)量指標值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值落入相應(yīng)組的概率） 5. (2020年高考天津卷理科16)（本小題滿分13分） 學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎.（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱） （Ⅰ）求在一次游戲中，（i）摸出

17、3個白球的概率；（ii）獲獎的概率； （Ⅱ）求在兩次游戲中獲獎次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【解析】本小題主要考查古典概型及其概率計算公式、離散型隨機變量的分布列、互斥事件和相互獨立事件等基礎(chǔ)知識,考查運用概率知識解決簡單的實際問題的能力. （Ⅰ）（i）設(shè)“在一次游戲中摸出i個白球”為事件,則 . （ii）設(shè)“在一次游戲中獲獎”為事件B,則B=,又 ,且互斥,所以. （Ⅱ）由題意可知的所有可能取值為0,1,,2, P(=0)=, P(=1)=, P(=2) =, 所以的分布列是 · · 0 1 2 P 的數(shù)學(xué)期望=+=. 6．(2020年高考江西卷理

18、科16)（本小題滿分12分） 某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進行一項測試，以便確定工資級別．公司準備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4 杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料．若4杯都選對，則月工資定為3500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2800元，否則月工資定為2100元，令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)，假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力． （1）求X的分布列； （2）求此員工月工資的期望． 解析：（1）X的所有可能取值為0，1，2，3，4， 則，所以所求的分布列為 X 0 1 2 3 4 P

19、 （2）設(shè)Y表示該員工的月工資，則Y的所有可能取值為3500，2800，2100， 相對的概率分別為，，， 所以． 所以此員工工資的期望為2280元． 本題考查排列、組合的基礎(chǔ)知識及概率分布、數(shù)學(xué)期望． 7. (2020年高考湖南卷理科18)（本小題滿分12分）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)： 日銷售量（件） 0 1 2 3 頻數(shù) 1 5 9 5 試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變）.設(shè)某天開始營業(yè)時由該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進貨補充至3件，否則不進貨.將頻率視為概率. 求當(dāng)天商店

20、不進貨的概率； 記為第二天開始營業(yè)時該商品視為件數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解：=+ 由題意知，的可能取值為2，3. + + 故的分布列為 所以的數(shù)學(xué)期望為. 評析：本大題主要考查生活中的概率統(tǒng)計知識和方法.求離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的方法，以及互斥事件概率的求法. 8. (2020年高考廣東卷理科17)（本小題滿分13分） 為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)： （1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件，

21、求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量； （2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足≥175且y≥75，該產(chǎn)品為優(yōu)等品，用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量； （3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨即抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）. 【解析】解：（1），即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件。 （2）易見只有編號為2，5的產(chǎn)品為優(yōu)等品，所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的優(yōu)等品 故乙廠生產(chǎn)有大約（件）優(yōu)等品， （3）的取值為0，1，2。 所以的分布列為 0 1 2 P 故 9.(2020年高考陜西卷理科20)（本小題滿分13分） 如圖，A

22、地到火車站共有兩條路徑 和 ，據(jù)統(tǒng)計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內(nèi)的頻率如下表： 時間（分鐘） 的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站。 （Ⅰ）為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？ （Ⅱ）用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對（Ⅰ）的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。 【解析】：（Ⅰ） 表示事件“甲選擇路徑時，40分鐘內(nèi)趕到火車站”， 表示事

23、件“乙選擇路徑時，50分鐘內(nèi)趕到火車站”， 用頻率估計相應(yīng)的概率可得，。甲應(yīng)選擇 ，乙應(yīng)選擇 （Ⅱ）A、B分別表示針對（Ⅰ）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，由（Ⅰ）知 又由題意知，A，B獨立， X的分布列為 X 0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 10.(2020年高考重慶卷理科17)（本小題滿分13分。（Ⅰ）小問5分（Ⅱ）小問8分.） 某市公租房房屋位于A.B.C三個地區(qū)，設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房屋，且申請其中任一個片區(qū)的房屋是等可能的，求該市的任4位申請人中: （Ⅰ）若有2人申請A片區(qū)房屋的概率; （Ⅱ）

24、申請的房屋在片區(qū)的個數(shù)的分布列與期望。 解析：（Ⅰ）所有可能的申請方式有種，恰有2人申請A片區(qū)房源的申請方式有種，從而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為 （Ⅱ）的所有可能值為1,2,3.又 ，， 綜上知，的分布列為： 1 2 3 從而有 （2）設(shè)甲，乙兩個所付的費用之和為，可為 分布列 . 12. (2020年高考全國卷理科18) (本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效) 根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的

25、概率為0．5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0．3,設(shè)各車主購買保險相互獨立 (I)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率； (Ⅱ)X表示該地的l00位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)。求的期望。 【解析】：設(shè)該車主購買乙種保險的概率為，由題：，解得 （Ⅰ）設(shè)所求概率為，則故該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率為0.8. (Ⅱ) 甲乙兩種保險都不購買的概率為1-0.8=0.2.設(shè)甲乙兩種保險都不購買的車主數(shù)為，則B（100，0.2）， 答：該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率為0.8, 的期望值是20。 13．(2020年高考

26、北京卷理科17)本小題共13分 以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學(xué)的植樹棵樹。乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以X表示。 （Ⅰ）如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差； （Ⅱ）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵樹Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。 （注：方差，其中為，，…… 的平均數(shù)） 同理可得 所以隨機變量Y的分布列為： Y 17 18 19 20 21 P EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19

27、×+20×+21×=19. 14．(2020年高考福建卷理科19)（本小題滿分13分） 某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標準A，X≥為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標準 （I）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示： 5 6 7 8 P 0．4 a b 0．1 且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值； （II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組

28、成一個樣本，數(shù)據(jù)如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望． （III）在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由． 注：（1）產(chǎn)品的“性價比”=； （2）“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性． 解析：

29、本小題主要考查概率、統(tǒng)計等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力、應(yīng)用意識，考查函數(shù)與方程思想、必然與或然思想、分類與整合思想，滿分13分。 解：（I）因為 又由X1的概率分布列得 由 （II）由已知得，樣本的頻率分布表如下： 3 4 5 6 7 8 0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1 用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下： 3 4 5 6 7 8 P 0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1 所以 即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8. （III）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下： 因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的期望數(shù)學(xué)等于6，價格為6元/件，所以其性價比為 因為乙廠產(chǎn)呂的等級系數(shù)的期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為 據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性。