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1、第三十講 數(shù)列求和
班級________ 姓名________ 考號________ 日期________ 得分________
一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內(nèi)．)
1．數(shù)列{an}的通項公式為an＝(－1)n－1·(4n－3)，則它的前100項之和S100等于( )
A．200 B．－200
C．400 D．－400
解析：S100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200.
答案：B
2．數(shù)列1，，，…，的前n項和為( )
A. B.
C. D.
2、
解析：該數(shù)列的通項為an＝，分裂為兩項差的形式為an＝2，令n＝1,2,3，…，則Sn＝
2.
∴Sn＝2＝.
答案：B
3．設f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋10(n∈N)，則f(n)等于( )
A.(8n－1) B.(8n＋1－1)
C.(8n＋3－1) D.(8n＋4－1)
解析：f(n)為等比數(shù)列{23n－2}的前n＋4項的和，首項為2，公比為8，故f(n)＝＝(8n＋4－1)．
答案：D
4．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝an－3，則數(shù)列{an}的前n項和Sn等于( )
A．3n＋1－3 B．3n－3
C．3n＋1＋3
3、D．3n＋3
解析：∵Sn＝an－3，∴Sn＋1＝an＋1－3，兩式相減得：Sn＋1－Sn＝(an＋1－an)．
即an＋1＝(an＋1－an)，∴＝3.
又∵S1＝a1－3，即a1＝a1－3，
∴a1＝6.
∴an＝a1·qn－1＝6×3n－1＝2×3n.
∴Sn＝an－3＝×2×3n－3＝3n＋1－3，故應選A.
答案：A
5．數(shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項和Sn的值等于( )
A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－
C．n2＋1－ D．n2－n＋1－
解析：該數(shù)列的通項公式為an＝(2n－1)＋，
則Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋
4、＝n2＋1－.故選A.
答案：A
6．數(shù)列an＝，其前n項之和為，則在平面直角坐標系中，直線(n＋1)x＋y＋n＝0在y軸上的截距為( )
A．－10 B．－9
C．10 D．9
解析：設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn＝a1＋a2＋…＋an，
又∵an＝－，
∴Sn＝1－＋－＋…＋－＝，
又∵＝，∴n＝9，
∴原題變?yōu)榍?0x＋y＋9＝0在y軸上的截距，令x＝0，得y＝－9，
∴直線在y軸上的截距為－9.故選B.
答案：B
二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)
7．已知函數(shù)f(x)對任意x∈R，都有f(x)＝1
5、－f(1－x)，則f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝________.
解析：由條件可知：f(x)＋f(1－x)＝1.
而x＋(1－x)＝1，
∴f(－2)＋f(3)＝1，f(－1)＋f(2)＝1，
f(0)＋f(1)＝1，
∴f(－2)＋f(－1)＋…＋f(2)＋f(3)＝3.
答案：3
8.＋＋＋＋…＋－2等于________．
解析：設S＝＋＋＋…＋，
則S＝＋＋…＋＋.
相減，得S＝＋＋…＋－
＝－.
∴S＝2－－.
∴原式＝－－.
答案：－－
9．數(shù)列，，，…的前n項和等于________．
解析：an＝＝，
∴Sn＝
6、
＝
＝－.
答案：－
10．函數(shù)f(n)＝，且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋…＋a1000＝__________.
解析：a2n＝f(2n)＋f(2n＋1)＝－4n2＋(2n＋1)2
＝4n＋1，a2n－1＝f(2n－1)＋f(2n)
＝－(2n)2＋(2n－1)2
＝－4n＋1
所以數(shù)列的前1000項和可分為兩部分：
(a1＋a3＋a5＋…＋a999)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a1000)＝1000.
答案：1000
三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)
11．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，當n≥2
7、時，其前n項和Sn滿足S＝an.
(1)求Sn的表達式；
(2)設bn＝，求{bn}的前n項和Tn.
解：(1)∵S＝an，
an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
∴S＝(Sn－Sn－1)，
即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn①
由題意Sn－1·Sn≠0，
故①式兩邊同除以Sn－1·Sn，得－＝2.
∴數(shù)列{}是首項為＝＝1，公差為2的等差數(shù)列，
∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，
∴Sn＝.
(2)∵bn＝＝
＝，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
12．等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，前n項和為Sn，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，S5＝a.
(1)求數(shù)列{a
8、n}的通項公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝，求數(shù)列{bn}的前99項的和．
解：(1)設數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，
∵a1，a3，a9成等比數(shù)列，∴a＝a1a9，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d，
∵d>0，∴a1＝d，①
∵S5＝a，
∴5a1＋·d＝(a1＋4d)2②
由①②得a1＝，d＝，
∴an＝＋(n－1)×＝n(n∈N*)．
(2)bn＝
＝·
＝，
∴b1＋b2＋b3＋…＋b99
＝×＝×
＝275＋2.75＝277.75.
13．(2020·沈陽市模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝1，
2an＋1＝2·an(n∈N*)．
(1)證明：數(shù)列{}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)令bn＝an＋1－an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
解：(1)證明：由條件得＝·，
又n＝1時，＝1，
故數(shù)列{}構(gòu)成首項為1，公比為的等比數(shù)列．
從而＝，即an＝.
(2)由bn＝－＝得
Sn＝＋＋…＋
?Sn＝＋＋…＋＋，
兩式相減得Sn＝＋2－，
所以Sn＝5－.
2020高考數(shù)學總復習 第三十講 數(shù)列求和 新人教版
