【第一方案】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布章末整合練習(xí)
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1、第12章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布章末整合 (理)一、選擇題(6×5分=30分) 1.(2020·廣州模擬)在區(qū)間[-,]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,cosx的值介于0到之間的概率為( ) A. B. C. D. 解析:當(dāng)x∈[-,-]∪[,]時(shí),cosx∈[0,], ∴P==.故選A. 答案:A 2.(2020·深圳模擬)將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班,每個(gè)班至少分到一名學(xué)生,且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班,則不同分法的種數(shù)為( ) A.18 B.24 C.30 D.36 解析:由四名學(xué)生分到三個(gè)班,每個(gè)班至少分到一名學(xué)生可知,有
2、一個(gè)班有2個(gè)人,另外兩個(gè)班各1人,故共有C42A33種不同分法,其中甲、乙兩名學(xué)生分到同一個(gè)班有A33種不同分法,所以滿足題意的不同分法為C42A33-A33=30種. 答案:C 3.如圖,三行三列的方陣有9個(gè)數(shù)aij(i=1,2,3;j=1,2,3),從中任取三個(gè)數(shù),則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是( ) A. B. C. D. 解析:從中任取三個(gè)數(shù)共有C93=84種取法,沒有同行、同列的取法有C31C21C11=6,至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是1-=. 答案:D 4.(2020·撫順模擬
3、)國慶節(jié)放假,甲去北京旅游的概率為,乙、丙去北京旅游的概率分別為,.假定三人的行動(dòng)相互之間沒有影響,那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為( ) A. B. C. D. 解析:因甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為,,.因此,他們不去北京旅游的概率分別為,,,所以,至少有1人去北京旅游的概率為P=1-××=. 答案:B 5.(2020·西寧模擬)用三種不同的顏色填涂右圖3×3方格中的9個(gè)區(qū)域,要求每行、每列的三個(gè)區(qū)域都不同色,則不同的填涂方法種數(shù)共有( ) A.48 B.24 C.12 D.6 解析:可將9個(gè)區(qū)域標(biāo)號(hào)如圖:用三種不同顏色為9個(gè)區(qū)域涂色,可分步解決
4、:第一步,為第一行涂色,有A33=6種方法;第二步,用與1號(hào)區(qū)域不同色的兩種顏色為4、7兩個(gè)區(qū)域涂色,有A22=2種方法;剩余區(qū)域只有一種涂法,綜上由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有6×2=12種涂法. 答案:C 6.(2020·威海模擬)某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子,得到點(diǎn)數(shù)分別為a、b,則橢圓+=1的離心率e>的概率是( ) A. B. C. D. 解析:當(dāng)a>b時(shí),e=>?2b,符合a>2b的情況有:當(dāng)b=1時(shí),有a=3,4,5,6四種情況; 當(dāng)b=2時(shí),有a=5,6兩種情況,總共有6種情況, 則概率為=. 同理當(dāng)a的概率也為, 綜上可知e>的概率為.
5、答案:D 二、填空題(3×5分=15分) 7.(2020·遼寧高考)三張卡片上分別寫上字母E,E,B,將三張卡片隨機(jī)地排成一行,恰好排成英文單詞BEE的概率為________. 解析:三張卡片的排列方法有EEB,EBE,BEE共3種,則恰好排成英文單詞BEE的概率為. 答案: 8.若書架上有中文書5本,英文書3本,日文書2本,則隨機(jī)抽取一本恰為外文書的概率為________. 解析:P==. 答案: 9.(2020·南平模擬)“好運(yùn)”出租車公司按月將某輛車出租給司機(jī),按照規(guī)定:無論是否出租,該公司每月都要負(fù)擔(dān)這輛車的各種管理費(fèi)100元,如果在一個(gè)月內(nèi)該車被租的概率是0.8,租金
6、是2 600元,那么公司每月對(duì)這輛車收入的期望值為________元. 解析:設(shè)公司每月對(duì)這輛車收入為X元,則其分布列為: X -100 2 500 P 0.2 0.8 故E(X)=(-100)×0.2+2 500×0.8=1 980元. 答案:1 980 三、解答題(共37分) 10.(12分)在某電視臺(tái)的一次有獎(jiǎng)競(jìng)猜活動(dòng)中,主持人準(zhǔn)備了A、B兩個(gè)相互獨(dú)立的問題,并且宣布:幸運(yùn)觀眾答對(duì)問題A可獲100分,答對(duì)問題B可獲200分,先答哪個(gè)題由觀眾自由選擇,但只有第一個(gè)問題答對(duì),才能再答第二題,否則終止答題.答題終止后,獲得的總分將決定獲獎(jiǎng)的檔次.若你被選為幸運(yùn)觀眾,且假設(shè)
7、你答對(duì)問題A、B的概率分別為、. (1)記先回答問題A的得分為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望; (2)你覺得應(yīng)先回答哪個(gè)問題才能使你得分更高?請(qǐng)說明理由. 解析:(1)X的分布列為: X 0 100 300 P ∴E(X)=0×+100×+300×=75. (2)設(shè)先答問題B的得分為隨機(jī)變量Y,則Y的分布列為 X 0 200 300 P ∴E(Y)=0×+200×+300×=62.5. ∴E(X)>E(Y). ∴應(yīng)先回答問題A所得的分較高. 11.(12分)(2020·東北六校聯(lián)考)檢測(cè)部門決定對(duì)某市學(xué)校教室的空氣質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè),
8、空氣質(zhì)量分為A、B、C三級(jí).每間教室的檢測(cè)方式如下:分別在同一天的上、下午各進(jìn)行一次檢測(cè),若兩次檢測(cè)中有C級(jí)或兩次都是B級(jí),則該教室的空氣質(zhì)量不合格.設(shè)各教室的空氣質(zhì)量相互獨(dú)立,且每次檢測(cè)的結(jié)果也相互獨(dú)立.根據(jù)多次抽檢結(jié)果,一間教室一次檢測(cè)空氣質(zhì)量為A、B、C三級(jí)的頻率依次為,,. (1)在該市的教室中任取一間,估計(jì)該間教室空氣質(zhì)量合格的概率; (2)如果對(duì)該市某中學(xué)的4間教室進(jìn)行檢測(cè),記在上午檢測(cè)空氣質(zhì)量為A級(jí)的教室間數(shù)為X,并以空氣質(zhì)量為A級(jí)的頻率作為空氣質(zhì)量為A級(jí)的概率,求X的分布列及期望值. 解析:(1)該間教室兩次檢測(cè)中,空氣質(zhì)量均為A級(jí)的概率為×=, 該間教室兩次檢測(cè)中,空
9、氣質(zhì)量一次為A級(jí),另一次為B級(jí)的概率為2××=, 設(shè)“該間教室的空氣質(zhì)量合格”為事件E,則 P(E)=×+2××=. 故估計(jì)該間教室的空氣質(zhì)量合格的概率為. (2)法一:由題意可知,X的取值0,1,2,3,4. P(X=i)=C4i()i(1-)4-i(i=0,1,2,3,4). 隨機(jī)變量X的分布列為: X 0 1 2 3 4 P ∴E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=3. 法二:∵X~B(4,),∴E(X)=4×=3. 12.(13分)(2020·揚(yáng)州模擬)已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病,需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物.血液化驗(yàn)結(jié)果
10、呈陽性的即為患病動(dòng)物,呈陰性即沒患?。旅媸莾煞N化驗(yàn)方案: 方案甲:逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定患病動(dòng)物為止. 方案乙:先任取3只,將它們的血液混在一起化驗(yàn).若結(jié)果呈陽性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只,然后再逐個(gè)化驗(yàn),直到能確定患病動(dòng)物為止;若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn). (1)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率; (2)X表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù),求X的期望. 解析:記A1、A2分別表示依方案甲需化驗(yàn)1次、2次,B1、B2分別表示依方案乙需化驗(yàn)2次、3次, A表示依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù). 依題意知A2與B2獨(dú)立. (1)=A1+A
11、2B2. P(A1)==, P(A2)==, P(B2)==. P()=P(A1+A2B2)=P(A1)+P(A2B2) =P(A1)+P(A2)P(B2)=+×=. 所以P(A)=1-P()==0.72. (2)X的可能取值為2,3. P(B1)=+=, P(B2)=, P(X=2)=P(B1)=, P(X=3)=P(B2)=, 所以E(X)=2×+3×==2.4. (文)一、選擇題(6×5=30分) 1.從12個(gè)同類產(chǎn)品中(其中有10個(gè)正品,2個(gè)次品),任意抽取3個(gè),下列事件是必然事件的是( ) A.3個(gè)都是正品 B.至少有一個(gè)是次品 C.3個(gè)都是次
12、品 D.至少有一個(gè)是正品
解析:在基本事件空間中,每一個(gè)事件中正品的個(gè)數(shù)可能是1,2,3個(gè),而不可能沒有.
答案:D
2.在20件產(chǎn)品中有3件次品,從中任取一件,取到正品的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:從20件產(chǎn)品中任取一件共有20個(gè)基本事件,任取一件取到正品的基本事件數(shù)為17,所以概率為.
答案:B
3.在區(qū)間(15,25]內(nèi)的所有實(shí)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a,則這個(gè)實(shí)數(shù)滿足17
13、
污染指數(shù)T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指數(shù)T≤50時(shí),空氣質(zhì)量為優(yōu);50 14、
解析:基本事件有“下雨帳篷到”“不下雨帳篷到”“下雨帳篷未到”“不下雨帳篷未到”4種情況,而只有“下雨帳篷未到”時(shí)會(huì)淋雨,故淋雨的可能性為.
答案:D
6.(2020·銀川模擬)把一顆骰子投擲兩次,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為m,第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為n,向量p=(m,n),q=(-2,1),則向量p⊥q的概率為( )
A. B.
C. D.
解析:∵向量p⊥q,∴p·q=-2m+n=0,
∴n=2m,滿足條件的(m、n)有3個(gè):(1,2),(2,4),(3,6),
∴P==.
答案:B
二、填空題(3×5=15分)
7.某家庭電話,打進(jìn)的電話響第一聲時(shí)被接 15、的概率為,響第二聲時(shí)被接的概率為,響第三聲時(shí)被接的概率為,響第四聲時(shí)被接的概率為,則電話在響前四聲內(nèi)被接的概率為________.
解析:設(shè)響n聲時(shí)被接的概率為Pn,則P1=,P2=,P3=,P4=.故前四聲內(nèi)被接的概率為P1+P2+P3+P4=.
答案:
8.在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P落在單位圓x2+y2=1內(nèi)的概率為________.
解析:區(qū)域?yàn)椤鰽BC內(nèi)部(含邊界),
則概率為
P===.
答案:
9.3粒種子種在甲坑內(nèi),每粒種子發(fā)芽的概率為.若坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽,則不需要補(bǔ)種,若坑內(nèi)的種子都沒有發(fā)芽,則需要補(bǔ)種,則甲坑不需要補(bǔ)種的概率為________.
解析: 16、因?yàn)榉N子發(fā)芽的概率為,種子發(fā)芽與不發(fā)芽的可能性是均等的.若甲坑中種子發(fā)芽記為1,不發(fā)芽記為0,每粒種子發(fā)芽與否彼此互不影響,故其基本事件為(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0),共8種.而都不發(fā)芽的情況只有1種,即(0,0,0),所以需要補(bǔ)種的概率是,故甲坑不需要補(bǔ)種的概率是1-=.
答案:
三、解答題(共37分)
10.(12分)(2020·福建高考)袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個(gè),現(xiàn)依次有放回地隨機(jī)摸取3次,每次摸取一個(gè)球.
(1)試問:一共有多少種不同的結(jié)果?請(qǐng)列出所有可能的結(jié)果;
( 17、2)若摸到紅球時(shí)得2分,摸到黑球時(shí)得1分,求3次摸球所得總分為5的概率.
解析:(1)一共有8種不同的結(jié)果,列舉如下:
(紅、紅、紅)、(紅、紅、黑)、(紅、黑、紅)、(紅、黑、黑)、(黑、紅、紅)、(黑、紅、黑)、(黑、黑、紅)、(黑、黑、黑).
(2)記“3次摸球所得總分為5”為事件A.
事件A包含的基本事件為:(紅、紅、黑)、(紅、黑、紅)、(黑、紅、紅),事件A包含的基本事件數(shù)為3.
由(1)可知,基本事件總數(shù)為8,
所以事件A的概率為P(A)=.
11.(12分)甲、乙兩人共同拋擲一枚硬幣,規(guī)定硬幣正面朝上甲得1分,否則乙得1分,先積得3分者獲勝,并結(jié)束游戲.
(1) 18、求在前3次拋擲中甲得2分、乙得1分的概率;
(2)若甲已經(jīng)積得2分,乙已經(jīng)積得1分,求甲最終獲勝的概率.
解析:(1)擲一枚硬幣三次,列出所有可能情況共8種:
(上上上),(上上下),(上下上),(下上上),(上下下),(下上下),(下下上),(下下下);
其中甲得2分、乙得1分的情況有3種,
故所求概率p=.
(2)在題設(shè)條件下,至多還要2局,
情形一:在第四局,硬幣正面朝上,則甲積3分、乙積1分,甲獲勝,概率為;
情形二:在第四局,硬幣正面朝下,第五局硬幣正面朝上,則甲積3分、乙積2分,甲獲勝,概率為.
由概率的加法公式,甲獲勝的概率為+=.
12.(13分)(2020 19、·普寧模擬)一個(gè)科研小組有6名成員,其中4名工程師,2名技術(shù)員,現(xiàn)要選派2人參加一個(gè)學(xué)術(shù)會(huì)議.
(1)選出的2人都是工程師的概率是多少?
(2)若工程師甲必須參加,則有技術(shù)員參加這個(gè)會(huì)議的概率是多少?
解析:把4名工程師編號(hào)為1、2、3、4,其中工程師甲編號(hào)為1;2名技術(shù)員編號(hào)為5、6,從中任選2人的所有可能結(jié)果如下:(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(3,4)、(3,5)、(3,6)、(4,5)、(4,6)、(5,6)共15種.
(1)從6人中選出的2人都是工程師,所包含的基本事件為(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)共6種.
∴選出的2人都是工程師的概率是P1==.
(2)若工程師甲必須參加,且有技術(shù)員參加這個(gè)會(huì)議包括的基本事件是(1,5)、(1,6),
則工程師甲必須參加,且有技術(shù)員參加這個(gè)會(huì)議的概率是P2=.
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