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1、導數的背景教學目標理解函數的增量與自變量的增量的比的極限的具體意義教學重點瞬時速度、切線的斜率、邊際成本教學難點極限思想教學過程一、導入新課1.瞬時速度問題1：一個小球自由下落，它在下落3秒時的速度是多少？析：大家知道，自由落體的運動公式是（其中g是重力加速度）.當時間增量很小時，從3秒到（3）秒這段時間內，小球下落的快慢變化不大.因此，可以用這段時間內的平均速度近似地反映小球在下落3秒時的速度.從3秒到（3）秒這段時間內位移的增量：從而，.從上式可以看出，越小，越接近29.4米/秒；當無限趨近于0時，無限趨近于29.4米/秒.此時我們說，當趨向于0時，的極限是29.4.當趨向于0時，平均速度
2、的極限就是小球下降3秒時的速度，也叫做瞬時速度.一般地，設物體的運動規(guī)律是ss（t），則物體在t到（t）這段時間內的平均速度為.如果無限趨近于0時，無限趨近于某個常數a，就說當趨向于0時，的極限為a，這時a就是物體在時刻t的瞬時速度.2.切線的斜率問題2：P（1,1）是曲線上的一點，Q是曲線上點P附近的一個點，當點Q沿曲線逐漸向點P趨近時割線PQ的斜率的變化情況.析：設點Q的橫坐標為1，則點Q的縱坐標為（1）2，點Q對于點P的縱坐標的增量（即函數的增量），所以，割線PQ的斜率.由此可知，當點Q沿曲線逐漸向點P接近時，變得越來越小，越來越接近2；當點Q無限接近于點P時，即無限趨近于0時，無限趨近
3、于2.這表明，割線PQ無限趨近于過點P且斜率為2的直線.我們把這條直線叫做曲線在點P處的切線.由點斜式，這條切線的方程為：.一般地，已知函數的圖象是曲線C，P（），Q（）是曲線C上的兩點，當點Q沿曲線逐漸向點P接近時，割線PQ繞著點P轉動.當點Q沿著曲線無限接近點P，即趨向于0時，如果割線PQ無限趨近于一個極限位置PT，那么直線PT叫做曲線在點P處的切線.此時，割線PQ的斜率無限趨近于切線PT的斜率k，也就是說，當趨向于0時，割線PQ的斜率的極限為k.3.邊際成本問題3：設成本為C，產量為q，成本與產量的函數關系式為，我們來研究當q50時，產量變化對成本的影響.在本問題中，成本的增量為：.產量
4、變化對成本的影響可用：來刻劃，越小，越接近300；當無限趨近于0時，無限趨近于300，我們就說當趨向于0時，的極限是300.我們把的極限300叫做當q50時的邊際成本.一般地，設C是成本，q是產量，成本與產量的函數關系式為CC（q），當產量為時，產量變化對成本的影響可用增量比刻劃.如果無限趨近于0時，無限趨近于常數A，經濟學上稱A為邊際成本.它表明當產量為時，增加單位產量需付出成本A（這是實際付出成本的一個近似值）.二、小結瞬時速度是平均速度當趨近于0時的極限；切線是割線的極限位置，切線的斜率是割線斜率當趨近于0時的極限；邊際成本是平均成本當趨近于0時的極限.三、練習與作業(yè)：1.某物體的運動方程為（位移單位：m，時間單位：s）求它在t2s時的速度.2.判斷曲線在點P（1,2）處是否有切線，如果有，求出切線的方程.3.已知成本C與產量q的函數關系式為，求當產量q80時的邊際成本.4.一球沿某一斜面自由滾下，測得滾下的垂直距離h（單位：m）與時間t（單位：s）之間的函數關系為，求t4s時此球在垂直方向的瞬時速度.5.判斷曲線在（1，）處是否有切線，如果有，求出切線的方程.6.已知成本C與產量q的函數關系為，求當產量q30時的邊際成本.
江蘇省白蒲中學2020高二數學 極限與導數 導數的背景教案 蘇教版
