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1、選修2-2 1.2.1
一、選擇題
1．函數(shù)f(x)＝－10的導數(shù)是( )
A．0
B．負數(shù)
C．正數(shù)
D．不確定
[答案] A
2．若f(x)＝，則3f′(1)等于( )
A．0
B.
C．1
D.
[答案] C
3．在曲線y＝x2上切線的傾斜角為的點是( )
A.
B．(2,4)
C.
D.
[答案] D
4．若函數(shù)f(x)＝，則f′(1)等于( )
A．0
B．－
C．2
D.
[答案] D
5．直線y＝x5的斜率等于5的切線的方程為( )
A．5x－y＋4＝0
B．x－y－4＝0
C．x－y
2、＋4＝0或x－y－4＝0
D．5x－y＋4＝0或5x－y－4＝0
[答案] D
[解析] ∵y′|x＝x0＝5x＝5，
∴x0＝±1.∴切點坐標為(1,1)，(－1，－1)．
又切線斜率為5，由點斜式得切線方程為5x－y＋4＝0或5x－y－4＝0.故選D.
6．質點沿直線運動的路程和時間的關系是s＝，則質點在t＝4時的速度為( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] ∵s′|t＝4＝t－|t＝4＝ .故選B.
7．已知函數(shù)f(x)＝x3的切線斜率等于1，則切線有( )
A．1條
B．2條
C．3條
D．不確定
[答案] B
[解析] 設切點
3、為(x0，x)，∵f′(x)＝3x2，
∴k＝f′(x0)＝3x，即3x＝1，
∴x0＝±，
即在點和點處有斜率為1的切線，故選B.
8．若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為( )
A．4x－y－3＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
[答案] A
9．(2020·江西文，4)若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)＝( )
A．－1
B．－2
C．2
D．0
[答案] B
[解析] 本題考查函數(shù)知識，求導運算及整體代換的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1
4、)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2，
要善于觀察，故選B.
10．若對任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，則此函數(shù)解析式為( )
A．f(x)＝x4
B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝x4＋1
D．f(x)＝x4－1
[答案] B
[解析] 由f′(x)＝4x3知，f(x)中含有x4項，然后將x＝1代入四個選項中驗證，B正確，故選B.
二、填空題
11．物體的運動方程為s＝t3，則物體在t＝1時的速度為________，在t＝4時的速度為________．
[答案] 3 48
[解析] s′＝
5、3t2，s′|t＝1＝3，s′|t＝4＝48.
12．在曲線y＝上求一點P，使得曲線在該點處的切線的傾斜角為135°，則P點坐標為________．
[答案] (2,1)
[解析] ∵y＝4x－2，∴y′＝－8x－3，
∴－8x－3＝－1，
∴x3＝8，
∴x＝2，
∴P點坐標為(2,1)．
13．函數(shù)y＝x2過點(2,1)的切線方程為________．
[答案] (4＋2)x－y－7－4＝0或(4－2)x－y－7＋4＝0.
[解析] y′＝2x，設切點P(x0，y0)，則y0＝x.
切線斜率為2x0＝，
∴x－4x0＋1＝0，∴x0＝2±，
∴斜率k＝2x0＝4±2
6、，
∴切線方程為y－1＝(4±2)(x－2)．
14．已P(－1,1)，Q(2,4)是曲線f(x)＝x2上的兩點，則與直線PQ平行的曲線y＝x2的切線方程是________．
[答案] 4x－4y－1＝0
[解析] y＝x2的導數(shù)為y′＝2x，設切點M(x0，y0)，
則y′|x＝x0＝2x0.
∵PQ的斜率k＝＝1，又切線平行于PQ，∴k＝y(tǒng)′|x＝x0＝2x0＝1.∴x0＝.
∴切點M.
∴切線方程為y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
三、解答題
15．求曲線y＝x3上過點M(2,8)的切線與坐標軸圍成的三角形面積．
[解析] ∵y′＝(x3)′＝3x2，
∴k＝f
7、′(2)＝3·22＝12，
則切線方程為y－8＝12(x－2)，
即12x－y－16＝0.
令x＝0，得y＝－16，
令y＝0，得x＝，
∴S＝|x|·|y|＝.
即所圍成的三角形的面積為.
16．求曲線y＝在點處的切線方程．
[解析] ∵y′＝′＝－，點在曲線y＝上，
∴曲線y＝在點處的切線斜率為y′|x＝2＝－＝－，
由直線方程的點斜式，得切線方程為y－＝－(x－2)，即y＝－x＋1.
17．求拋物線y＝x2上的點到直線x－y－2＝0的最短距離．
[解析] ∵過拋物線上一點的切線且與直線x－y－2＝0平行的直線與x－y－2＝0的距離最短．
y′＝2x，令2x＝1
∴x＝代入y＝x2得y＝，
∴切點為，則切線方程為y－＝x－，
即x－y－＝0.
∴x－y－＝0與x－y－2＝0的距離為
＝，
∴即為所求的最短距離．
18．過點P(－2,0)作曲線y＝的切線，求切線方程．
[解析] 設切點為Q(x0，)，∵y′＝，
∴過點Q的切線斜率為：＝
∴x0＝2，∴切線方程為：y－＝(x－2)
即：x－2y＋2＝0.
2020版高中數(shù)學 1-2-1同步練習新人教B版選修2-2
