《高中數(shù)學(xué)函數(shù)與方程 知識探討 北師大版 必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)函數(shù)與方程 知識探討 北師大版 必修1（4頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、函數(shù)與方程 知識探討
本節(jié)包含利用函數(shù)性質(zhì)判斷方程解的存在和利用二分法求方程的近似解兩部分內(nèi)容．這是方程理論中的兩個問題．
代數(shù)方程理論有下列幾個主要問題：
?。?）根式解問題；
?。?）根的分布及近似計算；
（3）根的存在問題；
?。?）根的性質(zhì)的研究．
根式解問題就是如何把方程的根用公式表達出來．但是五次以上的代數(shù)方程和許多超越方程（如課本第132頁例2）并不存在根式解或一般的公式．很多方程問題往往要回答根的存在性問題，某些問題雖然不要求得到精確的解，但往往要求得到滿足一定條件的近似解．
本節(jié)是在前面學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)上，以函數(shù)為工具，利用方程與函數(shù)的
2、關(guān)系來判定和求解方程的近似解．
1．關(guān)于利用函數(shù)性質(zhì)判定方程解的存在性問題，教材首先提出問題，通過實例分析（例1），抽象概括出函數(shù)的零點概念，并給出了零點個數(shù)與方程的實數(shù)解的關(guān)系．這就是說，方程f（x）＝0的解是否存在等價于函數(shù)f（x）的零點是否存在，也就等價于f（x）的圖象與x軸是否有公共點的問題．課本中“若f（a）·f（b）＜0，則在區(qū)間（a，b）內(nèi)，方程f（x）＝0至少有一個實數(shù)解”的結(jié)論是建立在連續(xù)函數(shù)基礎(chǔ)上的，特別需要指出的是，連續(xù)函數(shù)的概念不要給學(xué)生介紹，讓學(xué)生通過實例直觀了解什么是連續(xù)曲線就可以了．要讓學(xué)生
知道，初等函數(shù)的圖象在其定義域內(nèi)的區(qū)間上都是連續(xù)曲線．
使學(xué)生
3、理解方程與函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是學(xué)好本部分內(nèi)容的關(guān)鍵．
例1是一個二次代數(shù)方程在（－∞，＋∞）內(nèi)解的存在性問題，例2是一個超越方程在區(qū)間［－1，0］內(nèi)解的存在性問題．例3首先需將一個方程轉(zhuǎn)化構(gòu)造出一個函數(shù)，再進行證明，難點是區(qū)間端點的選取以及對“f（a）·f（b）＜0”的本質(zhì)理解“在區(qū)間（a，b）內(nèi)有曲線穿過x軸”．
2．關(guān)于利用二分法求方程的近似解問題，課本采用了二分法．二分法的優(yōu)點是思想方法非常簡明，缺點是為了提高解的精確度，求解的過程比較長，有些計算不用計算工具甚至無法實施，往往需要借助于科學(xué)計算器．
二分法是求實根的近似計算中行之有效的最簡單的方法，它只要求函數(shù)是連續(xù)的
4、，因此它的使用范圍很廣，并便于在計算機上實現(xiàn)，但是它不能求重根，也不能求虛根．
二分法的一般過程是：假設(shè)f（x）在［a，b］上連續(xù)，且f（a）·f（b）＜0．（不
妨設(shè)f（a）＜0，f（b）＞0）
取區(qū)間［a，b］的中點，若，則f（x）＝0的根是；
若，則令a1＝a，；若，則令，b1＝b．
于是形成新區(qū)間［a1，b1］，它包含f（x）＝0的根．（圖（3）和圖（4））
圖（3） 圖（4）
再?。踑1，b1］的中點，若，則．若，則令a2＝a1，；若，則令，b2＝b1．于是又形成新區(qū)間［a2，b2］，其長度等于，它包含方程f（x）＝0的根．……，若允許
5、誤差，則按這個過程作出區(qū)間［a1，b1］，［a2，b2］，…，［an，bn］，（［x］表示x的整數(shù)部分），于是是方程f（x）＝0的近似根，誤差不超過．
3．建議講解本節(jié)內(nèi)容時，適當(dāng)補充相關(guān)史料，但對實根的近似計算不必介紹更多的方法．有些方法今后還會學(xué)到．對學(xué)有余力的學(xué)生可指導(dǎo)其上網(wǎng)查閱一些其他簡單方法，如：秦九韶法（亦稱和納法）、迭代法以及0.618法等．
0.618法
0．618法也稱黃金分割法，它是批次不限定，每批做一個試驗的最優(yōu)方法．
試驗點的選取可以用下公式計算：
第一個試驗點：；
其余試驗：．
注意，這里是指中間已經(jīng)做過的試驗點，而不是中點．
6、 課本第138頁問題3給出了一個函數(shù)：
f（x）＝|x|＋|x－b|＋|x－c|＋|x－d|＋|x－e|＋|x－f|．
怎樣求出這個函數(shù)的最小值呢？下面給出一個此類問題的一般的結(jié)論．
函數(shù)（a1＜a2＜…＜an）有最小值：
（1）當(dāng)n為奇數(shù)時，最小值為；
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，最小值為或．
如果ai＝aj（i，j＝1，2，…n，i≠j），問題將轉(zhuǎn)化為（pi為正整數(shù)，i＝1，2，…，n）型函數(shù)的最值問題．當(dāng)pi（i＝1，2，…，n）為正實數(shù)的一般情況時有以下結(jié)果：
定理：設(shè)，函數(shù)（a1＜a2＜…＜an，p1，p2，…，pn為正實數(shù)）有最小值：
?。?
7、）時，最小值為f（a1）；
?。?）當(dāng)p1＋p2＋…＋Pi－1≤且p1＋P2＋…pi＞（i＝1，…，n）時，最小值為f（ai）．函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：
p1＋p2＋…＋pi－1＜且p1＋p2＋…＋pi－1＝時，p1＋p2＋…＋pi＞時，從圖象容易看出，方程f（x）＝m的解只可能有無解、一解、兩解，無數(shù)個解四種情況且一解與無數(shù)解的情況均在m等于f（x）的最小值時得到．
【例】（車站選址問題）下圖是一個工廠區(qū)的地圖，若干個工廠分布在公路兩側(cè)，由一些小路與公路相連，由小路經(jīng)各路口的工廠數(shù)目分別為p1，p2，…，pn，現(xiàn)要在公路上設(shè)一個長途汽車站，車站到各工廠（沿公路、小路
8、走）的距離總和越小越好．問：這個車站設(shè)在什么地方最好？
分析：問題可抽象為求一點x，使函數(shù)有最小值．其中a1，a2，…，an是各路口的位置坐標(biāo)．很明顯，最佳位置的選定僅與p1，p2，…，pn的大小及順序有關(guān)．而與a1，a2，…an無關(guān)．由本文所給定理容易求解車站最佳位置．
代數(shù)方程（algebraic equation）
代數(shù)方程指多項式方程，其一般形式為anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝0，是代數(shù)學(xué)中最基本的研究對象之一．
在20世紀(jì)以前，解方程一直是代數(shù)學(xué)的一個中心問題．二次方程的求解問題歷史久遠(yuǎn)．在巴比倫泥板中（公元前18世紀(jì)）就載有二次方程的問題．古
9、希臘人也解出了某些二次方程．中國古代數(shù)學(xué)家趙爽（公元3世紀(jì)）在求解一個有關(guān)面積的問題時，相當(dāng)于給出二次方程－x2＋kx＝A的一個根．7世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多給出方程x2＋px－q＝0的一個求根的公式．
一元二次方程的一般解法是9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米建立的．
對三次方程自古以來也有很多研究．在巴比倫泥板中，就有相當(dāng)于三次方程的問題．阿基米德也曾討論過方程x3＋a＝cx2的幾何解法．11世紀(jì)波斯數(shù)學(xué)家奧馬·海亞姆創(chuàng)立了用圓錐曲線解三次方程的幾何方法，他的工作可以看作是代數(shù)與幾何相結(jié)合的最早嘗試．但是三次、四次方程的一般解法（即給出求根公式），直到15世紀(jì)末也還沒有被發(fā)現(xiàn)．意大利數(shù)
10、學(xué)家帕喬利在1494年出版的著作中還說：“x3＋mx＝n，x3＋n＝mx（m，n為正數(shù)）現(xiàn)在之不可解，正像化圓為方問題一樣．”但到16世紀(jì)上半葉，三次方程的一般解法就由意大利數(shù)學(xué)家費羅、塔爾塔利亞和卡爾達諾等得到．三次方程的求根公式最早出現(xiàn)在卡爾達諾的《大術(shù)》（1545）之中；四次方程的求根公式由卡爾達諾的學(xué)生費拉里首先得到，也記載于卡爾達諾的《大術(shù)》中．
在16世紀(jì)末到17世紀(jì)上半葉，數(shù)學(xué)家們還探討如何判定方程的正根、負(fù)根和復(fù)根的個數(shù)．卡爾達諾曾指出一個實系數(shù)方程的復(fù)根是成對出現(xiàn)的，牛頓在他的《廣義算術(shù)》中證明了這一事實．笛卡兒在他的《幾何學(xué)》中給出了正負(fù)號法則（通稱笛卡兒法則），即多
11、項式方程f（x）＝0的正根的最多數(shù)目等于系數(shù)變號的次數(shù)，而負(fù)根的最多數(shù)目等于兩個正號和兩個負(fù)號連續(xù)出現(xiàn)的次數(shù)．但笛卡兒本人沒有給出證明，這個法則是18世紀(jì)的幾個數(shù)學(xué)家證明的．牛頓在《廣義算術(shù)》中給出確定正負(fù)根數(shù)目上限的另一法則，并由此推出至少能有多少個復(fù)數(shù)根．
研究代數(shù)方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，也是這一時期代數(shù)學(xué)的重要課題．卡爾達諾發(fā)現(xiàn)方程所有根的和等于xn－1的系數(shù)取負(fù)值，每兩個根的乘積之和等于xn－2的系數(shù)，等等．韋達和牛頓也都在他們的著作中分別敘述了方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，現(xiàn)在稱這個結(jié)果為韋達定理．這些工作在18世紀(jì)發(fā)展為關(guān)于根的對稱函數(shù)的研究．
另一個重要課題是今天所謂的
12、因子定理．笛卡兒在他的《幾何學(xué)》中指出：f（x）能為（x－a）整除，當(dāng)且僅當(dāng)a是f（x）＝0的一個根．由此及其他結(jié)果，笛卡兒建立了求多項式方程有理根的現(xiàn)代方法．他通過簡單的代換，把方程的首項系數(shù)化為1，并使所有系數(shù)都變?yōu)檎麛?shù)，這時他判斷，原方程的各有理根必定是新方程常數(shù)項的整數(shù)因子．牛頓還發(fā)現(xiàn)了方程的根與其判別式之間的關(guān)系，他在《廣義算術(shù)》中還給出了確定方程根的上界的一些定理．此外，數(shù)學(xué)歸納法也在18世紀(jì)末開始明確地用于代數(shù)學(xué)中．
18世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)家們的注意力開始轉(zhuǎn)向?qū)で笪宕我陨戏匠痰母浇猓?jīng)過兩個多世紀(jì)的努力，在歐拉、旺德蒙德、拉格朗日、魯菲尼等人工作的基礎(chǔ)上，19世紀(jì)上半葉，阿貝
13、爾和伽羅瓦幾乎同時證明了五次以上的方程不能用公式求解．他們的工作開創(chuàng)了用群論的方法來研究代數(shù)方程的解的理論，為抽象代數(shù)學(xué)的建立開辟了道路（見置換群和伽羅瓦理論）．
代數(shù)方程理論的另一個問題是“一個方程能有多少個根”．中世紀(jì)阿拉伯和印度的數(shù)學(xué)家們都已認(rèn)識到二次方程有兩個根．到了16世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達諾引入了復(fù)數(shù)根，并認(rèn)識到一個三次方程有3個根，一個四次方程有4個根，等等．荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾在1629年曾推測并斷言：任意一個n次方程，如果把復(fù)根算在內(nèi)并且是重根算作k個根的話，那么它就有n個根，這就是代數(shù)基本定理．這個定理在18世紀(jì)被許多著名的數(shù)學(xué)家認(rèn)識到并試圖證明之，直到1799年高斯才
14、給出第一個實質(zhì)性的證明．
對代數(shù)方程理論的研究，使數(shù)學(xué)家們引進了在近世代數(shù)中具有頭等重要意義的新概念，這些新概念很快被發(fā)展成為廣泛應(yīng)用的代數(shù)理論．
規(guī)律總結(jié)
函數(shù)是一條紐帶，它把中學(xué)數(shù)學(xué)各個分支的知識緊密地聯(lián)系在一起．函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系．一個函數(shù)若有表達式，那么這個表達式就可以看成一個方程．一個一元方程，把它的兩邊分別看成一個函數(shù)時，方程的解就是這兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)．同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)注重溝通函數(shù)與方程二者之間的聯(lián)系，初步感受數(shù)學(xué)的整體性，提高解決問題的能力．
本節(jié)主要是函數(shù)在求方程近似解中的一個應(yīng)用．為了求出方程f（x）＝0
15、解的近似值，首先必須判定方程f（x）＝0的實數(shù)解的存在性，這就要用到函數(shù)的一些性質(zhì)．一經(jīng)判定方程存在實數(shù)解，就能夠用二分法求方程解的近似值，只要增加二分的次數(shù)，即可求出滿足一定精度要求的解．用二分法選定初始區(qū)間時，往往通過分析函數(shù)圖象的變化趨勢，并通過實驗確定端點．
用二分法求方程解的近似值的基本步驟是：
?。?）選定初始區(qū)間（a，b），并著手實施二分；
（2）取有根區(qū)間（a，b）的中點x0作為近似根；
?。?）確定二分后新的有根區(qū)間（a1，b1），再取其中點x1作為近似根，…，如此反復(fù)二分下去，得到一系列有根區(qū)間（a，b），（a1，b1），（a2，b2），…，（ak，bk），…和近似根序列x0，x1，x2，…，xk，…直到滿足精度要求為止；
?。?）檢查近似根是否滿足精度要求．
高中數(shù)學(xué)函數(shù)與方程 知識探討 北師大版 必修1
