高二數(shù)學(xué) 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

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1、會(huì)計(jì)學(xué)1高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算空間向量的數(shù)量積運(yùn)算S FW= |F| |s| cos 根據(jù)功的計(jì)算根據(jù)功的計(jì)算,我們定義了平面兩向量的我們定義了平面兩向量的數(shù)量積運(yùn)算數(shù)量積運(yùn)算.一旦定義出來(lái)一旦定義出來(lái),我們我們發(fā)現(xiàn)這種運(yùn)發(fā)現(xiàn)這種運(yùn)算非常有用算非常有用,它能解決有關(guān)它能解決有關(guān)長(zhǎng)度和角度長(zhǎng)度和角度問題問題.回回 顧顧第1頁(yè)/共27頁(yè)1)1)兩個(gè)向量的夾角的定義兩個(gè)向量的夾角的定義: :O OA AB Ba a b b 知知 新新類似地，可以定義空間向量類似地，可以定義空間向量的的數(shù)量積數(shù)量積兩個(gè)向量的夾角是惟一確定的！兩個(gè)向量的夾角是惟一確定的！第2頁(yè)/共27頁(yè)2 2）兩個(gè)向量

2、的數(shù)量積）兩個(gè)向量的數(shù)量積注注: :兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量; ; 規(guī)定規(guī)定: :零向量與任意向量的數(shù)量積等于零零向量與任意向量的數(shù)量積等于零.abA1 1B1 1BA第3頁(yè)/共27頁(yè)abA1 1B1 1BA數(shù)量積數(shù)量積 等于等于 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度 與與 在在 的方向上的投影的方向上的投影 的乘積的乘積.baaabacosb第4頁(yè)/共27頁(yè)3)3)空間兩個(gè)向量的數(shù)量積性質(zhì)空間兩個(gè)向量的數(shù)量積性質(zhì)注：注：性質(zhì)是證明兩向量垂直的依據(jù)；性質(zhì)是證明兩向量垂直的依據(jù)；性質(zhì)性質(zhì)是求向量的長(zhǎng)度（模）的依據(jù)是求向量的長(zhǎng)度（模）的依據(jù). .第5頁(yè)/共27頁(yè)4)4)空間向量

3、的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律注：注： 向量的數(shù)量積運(yùn)算類似于多項(xiàng)式運(yùn)算向量的數(shù)量積運(yùn)算類似于多項(xiàng)式運(yùn)算, ,平方平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。第6頁(yè)/共27頁(yè)如如果不能，請(qǐng)舉出反例果不能，請(qǐng)舉出反例能能得到得到嗎？嗎？由由, ,對(duì)于三個(gè)均不為對(duì)于三個(gè)均不為0 0 的的數(shù)數(shù)a, ,b, ,c, ,若若ab = =ac, ,則則b= =c. .對(duì)于向量對(duì)于向量, , , ,abcbacacb. .不能，例如向量不能，例如向量 與向量與向量 都垂都垂直時(shí)，有直時(shí)，有 而未必有而未必有acb, caba. cb第7頁(yè)/共27頁(yè)對(duì)

4、于三個(gè)均不為對(duì)于三個(gè)均不為0的數(shù)的數(shù) 若若 則則 對(duì)于向量對(duì)于向量 若若 能否能否寫成寫成 也就是說也就是說向量有除法嗎？向量有除法嗎？,cba, cab).(acbbca或,bakba?)(akbbka或第8頁(yè)/共27頁(yè)對(duì)于三個(gè)均不為對(duì)于三個(gè)均不為0的數(shù)的數(shù) 對(duì)于向量對(duì)于向量 成立嗎？也就成立嗎？也就是說，向量的數(shù)量積滿足是說，向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律嗎？結(jié)合律嗎？,cba).()(bcacab若,cba)()(cbacba第9頁(yè)/共27頁(yè)222222)()()( )3)()( )4)( )a bcab cpqp qpqpqpq 135 第10頁(yè)/共27頁(yè)第11頁(yè)/共27頁(yè)ADFCBE1(2)

5、(3)(4) 圖間邊條邊對(duì)線長(zhǎng)點(diǎn)別點(diǎn)計(jì)（）3. 如3. 如：已已知知空空四四形形的的每每和和角角都都等等于于1，1，、 分分是是、的的中中。算算：ABCDEFABADEF BAEF BDEF DCEF AC4.第12頁(yè)/共27頁(yè)DCBDABCA解：解：ACABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85.ACABADAAABADAAAB ADAB AAAD AA |85.AC ABCDA B C D 4AB 3 ,5 ,90 ,60ADAABADBAADAA AC P92.2第13頁(yè)/共27頁(yè)5.5.已知線段已知線段 、在平面、在平面 內(nèi)，線段內(nèi)，線段 如果，求、之間的

6、距離如果，求、之間的距離. .ABBD BDAB AC ,ABaBDbACcCDcab CABD解：解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabcP92.3第14頁(yè)/共27頁(yè)第15頁(yè)/共27頁(yè)例例1、已知棱長(zhǎng)為1的正三棱錐O-ABC，E，F(xiàn)分別是AB，OC的中點(diǎn)，試求 所成角的余弦值.BFOE,OABCEF第16頁(yè)/共27頁(yè)第17頁(yè)/共27頁(yè)P(yáng)92.1.如圖，在三棱柱 中，若 則 所成角的大小 為多少？111CBAABC ,21BBAB BCAB11與ABC1A1B1CD第18頁(yè)/共27頁(yè) 另外另外, ,空間向量的運(yùn)用還經(jīng)常用來(lái)判定空間垂直關(guān)系空間向量的運(yùn)用還

7、經(jīng)常用來(lái)判定空間垂直關(guān)系, ,證兩直證兩直線垂直線?？赊D(zhuǎn)化為證明以這兩條線段對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為零線垂直線?？赊D(zhuǎn)化為證明以這兩條線段對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為零. . P O A la 第19頁(yè)/共27頁(yè)證明：證明：如圖如圖,已知已知:,POAOllOA射射影影且且求證：求證：lPA 在直線在直線l上取向量上取向量 ,只要證只要證a 0a PA ()0.a PAaPOOAa POa OA ,aPAlPA 即即. .為為 P O A la 0,0,a POa OA 逆命題成立嗎?第20頁(yè)/共27頁(yè) P O A la 分析分析:同樣可用向量同樣可用向量,證明思路幾乎一樣證明思路幾乎一樣,只只不過其中的加

8、法運(yùn)算不過其中的加法運(yùn)算用減法運(yùn)算來(lái)分析用減法運(yùn)算來(lái)分析.第21頁(yè)/共27頁(yè)分析：要證明一條直線與一個(gè)平面分析：要證明一條直線與一個(gè)平面垂直垂直, ,由直線與平面垂直的定義可由直線與平面垂直的定義可知知, ,就是要證明這條直線與平面內(nèi)就是要證明這條直線與平面內(nèi)的的任意一條直線任意一條直線都垂直都垂直. .例例3(試用試用向量方法證明直線與平面垂直的判定定理向量方法證明直線與平面垂直的判定定理) 已知直線已知直線m ,n是平面是平面 內(nèi)的兩條相交直線內(nèi)的兩條相交直線,如果如果 m, n,求證求證: . lll lmngm g m l 取已知平面內(nèi)的任一條直線取已知平面內(nèi)的任一條直線 g ,拿相關(guān)

9、直線的方拿相關(guān)直線的方向向量來(lái)分析向向量來(lái)分析,看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么條件看條件可以轉(zhuǎn)化為向量的什么條件?要要證的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目標(biāo)證的目標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為向量的什么目標(biāo)?怎樣建立向量怎樣建立向量的條件與向量的目標(biāo)的聯(lián)系的條件與向量的目標(biāo)的聯(lián)系? 共面向量定理共面向量定理, ,有了有了! !第22頁(yè)/共27頁(yè)lmngn g m l ,gxmyn ,l gxl myl n 0,0 ,l ml m 0,.l glg 即即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 內(nèi)內(nèi)任任一一直直線線.證證: 在在 內(nèi)作不與內(nèi)作不與m ,n重合的任一直線重合的任一直線g,在在 , ,l m n g 上取非零向量

10、上取非零向量 因因m與與n相交相交,故向量故向量m ,n, ,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一實(shí)數(shù)存在唯一實(shí)數(shù) ,使使 ( , )x y第23頁(yè)/共27頁(yè)OACB()| |cos| |cos| |cos證證明明：因因?yàn)闉镺A BCOA OCOBOA OCOA OBOAOCOAOBOAOB | |cos0OAOB OABCOABCOBOCAOBAOCOABC 7 7、已已知知空空間間四四邊邊形形，求求證證：6、第24頁(yè)/共27頁(yè)NMABDC證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)镸NMAADDN 22()111()2220AB MNAB MAADDNAB MAAB ABAB DNaaAB BCBD MNAB同理，同理，MNCD ABCDaMNABCDMNABMNCD8 8、已已知知空空間間四四邊邊形形的的每每條條邊邊和和對(duì)對(duì)角角線線的的長(zhǎng)長(zhǎng)都都等等于于 ，點(diǎn)點(diǎn)、分分別別是是邊邊、的的中中點(diǎn)點(diǎn)。求求證證：，。7、第25頁(yè)/共27頁(yè)a b a b , a b 第26頁(yè)/共27頁(yè)