2、故m的值為１，．
類型二：求解存在性問題．
例2 已知函數(shù)，設函數(shù)，問是否存在實數(shù)q（q<0），使得g（x）在區(qū)間（－∞，－4］上是減函數(shù)，且在區(qū)間（－4，0）上是增函數(shù)？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由．
分析：判斷函數(shù)的單調(diào)性時，可以利用定義，也可結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行判斷，但要注意問題中符號的確定，要依賴于自變量的取值區(qū)間．
解：∵，則．
假設存在實數(shù)q（q<0），使得g（x）滿足題設條件，
設任意且，則
．
若∈（－∞，－４]，易知，要使在（－∞，－4］上是減函數(shù)，則應有恒成立．∵，
∴．而，∴．
從而要使恒成立，則有，即．
3、
若∈（－4，0），易知，要使f（x）在（－4，0）上是增函數(shù)，則應有恒成立．∵，
∴，而，∴．
要使恒成立，則必有，即．
綜上可知，存在實數(shù)，使得在（－∞，－4］上是減函數(shù)，且在（－4，0）上是增函數(shù)．
類型三：類比冪函數(shù)性質(zhì)，討論函數(shù)值的變化情況.
例3 討論函數(shù)在時，隨著x的增大其函數(shù)值的變化情況．
分析：首先應判定函數(shù)是否為常數(shù)函數(shù)，再看冪指數(shù)，并參照冪函數(shù)的性質(zhì)討論．
解：（１）當，即或時，為常函數(shù)；
?。ǎ玻┊敚椿驎r，此時函數(shù)為常函數(shù)；
（３）當，即時，函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而減小；
（４）當，即或時，函數(shù)
4、為增函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而增大；
（５）當，即時，函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而增大；
?。ǎ叮┊敚磿r，函數(shù)為減函數(shù)，函數(shù)值隨x的增大而減?。?
借冪函數(shù)比較大小
比較大小問題是冪函數(shù)中的一種常見題型．下面介紹幾種方法，供同學們學習時參考．
一、直接法
當冪指數(shù)相同時，可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性來比較．
例１ 比較下列各組中兩個值的大?。?
（1）；
（2），．
解析：題中兩組值都是冪運算的結(jié)果，且指數(shù)相同，因此可以利用冪函數(shù)的性質(zhì)來判斷它們的大小．
（1）∵冪函數(shù)在［０，＋∞）上為增函數(shù)，又0.7＞0.6，
∴；
（2）∵冪函數(shù)在（０，＋∞）上為減函
5、數(shù)，又2.2＞1.8，
∴>．
例2 函數(shù)是冪函數(shù)，比較與的大小．
解析：∵是冪函數(shù)，
∴，解得
∴．
∵函數(shù)在（0，＋∞）上是增函數(shù)，且a＞b＞0，
∴．
二、轉(zhuǎn)化法
當冪指數(shù)不同時可先轉(zhuǎn)化為相同冪指數(shù)，再運用單調(diào)性比較大?。?
例３ 比較的大小．
解析：，．
∵冪函數(shù)在（０，＋∞）上單調(diào)遞減，且0.7＜＜1.21，
∴．
∴．
三、中間值法
當?shù)讛?shù)不同且冪指數(shù)也不同，不能運用單調(diào)性比較大小時，可選取適當?shù)闹虚g值與比較大小的兩數(shù)分別比較，從而達到比較大小的目的．
例４ 比較0.8與0.9的大?。?
解析：由于這兩個數(shù)的底數(shù)不同，指數(shù)也不同，所以可利用中間
6、值來間接比較它們的大?。⒁獾竭@兩個數(shù)的特點，中間值應選0.9或0.8．
∵＞0，∴冪函數(shù)在（０，＋∞）上是增函數(shù)．
又0.8＜0.9，∴0.8＜0.9．
又0＜0.9＜1，指數(shù)函數(shù)在（0，＋∞）上是減函數(shù)，且＞，∴0.9＜0.9．
綜上可得0.8＜0.9．
四、模型函數(shù)法
若函數(shù)滿足性質(zhì)：等，則可以認為其模型函數(shù)為冪函數(shù)．對于此類抽象函數(shù)的大小比較問題，我們常通過尋找、發(fā)現(xiàn)基本原型函數(shù)來求解．
例５ 已知函數(shù)滿足，且f（8）=4，則_________（填“＞、=、＜”）．
解析：的原型函數(shù)是（為常數(shù)），
又f（8）=4，
∴，∴．
于是，顯然該函數(shù)是偶函數(shù)，且在區(qū)間（０
7、，＋∞）上是增函數(shù)，在（－∞，０）上是減函數(shù)，．
冪函數(shù)解析式的求法
對某些冪函數(shù)問題來說，能否順利解答，往往取決于是不是能夠求出其解析式．本文就常見的冪函數(shù)解析式的求法歸類例析如下：
一、利用冪函數(shù)的定義
例１ 已知函數(shù)是冪函數(shù)，求此函數(shù)的解析式．
解：∵是冪函數(shù)，
∴y可以寫成如下形式（是常數(shù)）．
∴，解得．
當時，有（2為常數(shù)），（－1為常數(shù)）．
∴函數(shù)的解析式為或．
評注：冪函數(shù)（x為自變量，是常數(shù)）的定義強調(diào)：系數(shù)為１，冪指數(shù)為常數(shù).求出參數(shù)m后要注意檢驗冪指數(shù)是否為常數(shù)．
二、利用冪函數(shù)的圖象
例２ 若函數(shù)是冪函數(shù)，且圖象不經(jīng)過原點，求函數(shù)的解析式．
8、分析：對于冪函數(shù)（是常數(shù)）而言，要使冪函數(shù)的圖象不過原點，則指數(shù)≤0．
解：∵函數(shù)是冪函數(shù)，且圖象不經(jīng)過原點，
∴，且．
∴或6．
∴函數(shù)解析式為或．
例３ 已知冪函數(shù)（m∈Z）的圖象與x軸、y軸都無交點，且關于原點對稱．求函數(shù)的解析式．
解：∵函數(shù)的圖象與x軸、y軸都無交點，
∴，解得．
又圖象關于原點對稱，且m∈Z，
∴m＝0．
∴．
評注：解決與冪函數(shù)有關的綜合問題時，應抓住突破口，此兩例的突破口是圖象的特征，只要抓住圖象特征，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，就能順利解題．
三、利用冪函數(shù)的性質(zhì)
例４ 已知冪函數(shù)（）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上為增函數(shù)，求函數(shù)的解析式．
9、解：∵是冪函數(shù)，∴，解得t＝－1，t＝0或t＝1，
∴當t＝０時，，是非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．當t＝1時，是偶函數(shù)，但在（0，+∞）上為減函數(shù)，不滿足條件．當時，滿足題設．
綜上所述，實數(shù)t的值為－1，所求解析式為．
評注：涉及求與冪函數(shù)有關的參數(shù)問題，掌握冪函數(shù)的概念和性質(zhì)是解題的關鍵．解含參問題有時還應注意分類討論．
冪的十位數(shù)
“求一個自然數(shù)的高次冪的個位數(shù)，應該說是不難的”，布魯斯博士接著說，“比方說求20022002的個位數(shù)．順便說一下，如果有哪位孩子說他準備用計算機把這個冪算出來，然后看一下個位數(shù)是什么，那我只能對他表示敬意．但我在
10、這里說的不是‘算’出來，而是‘求’出來．那位舉手的孩子，你想問什么？”
“我想知道‘算’與‘求’有什么區(qū)別？”一個胖嘟嘟的男孩站起來問道．
“很好，等我把20022002的個位數(shù)‘求’出來以后，你就明白了．好，我們繼續(xù)．”
博士在投影儀上放了一張膠片，他身后的墻上映出了一張巨大的表格：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
2
4
8
6
2
4
8
6
2
…
“一個自然數(shù)，若它的個位數(shù)是2，那么它的1次冪的個位數(shù)仍然為2，它的2次冪的個位數(shù)為4，3次冪的個位數(shù)為8，4次冪的個位數(shù)為6，5次冪的個位數(shù)又為2了．”博士說道，“這張表格的第一行是
11、冪的次數(shù)，第二行就是相應次數(shù)的冪的個位數(shù)．我們看到了什么？我們看到這些個位數(shù)以2，4，8，6為基本模塊不斷地循環(huán)，其循環(huán)周期為4．由此我們知道，20022與20024n+2的個位數(shù)都是4．令n=500，即可知20022002的個位數(shù)為４．”
布魯斯博士用得意的眼光掃過全場，一陣熱烈的掌聲隨即響起．
“那么冪的十位數(shù)，比方說，19978，19989，19991073的十位數(shù)，該怎樣‘求’呢？”胖男孩又站起來問道，他有意重讀了那個“求”字．
“唔，唔……，這個問題有點兒麻煩．”博士的額頭出現(xiàn)了一些汗珠，“讓我們來試試看……”
博士絞盡腦汁，使出渾身解數(shù)，想“求”出這三個冪的十位數(shù)……
你
12、能幫他“求”出這三個冪的十位數(shù)嗎？
提示：注意1997，1998，1999都是離2000很近的數(shù)．
冪函數(shù)圖象
要了解和掌握冪函數(shù)（為常數(shù)）性質(zhì)，可結(jié)合冪函數(shù)的圖象，而冪函數(shù)的圖象，只要看其第一象限內(nèi)的函數(shù)圖象即可．這是因為：任何冪函數(shù)在第一象限必有圖象，第四象限必無圖象．如果冪函數(shù)是奇函數(shù)，在第三象限內(nèi)有其中心（坐標原點）對稱部分；如果冪函數(shù)是偶函數(shù)，在第二象限內(nèi)有其軸（y軸）對稱部分；如果冪函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，則其函數(shù)圖象只在第一象限內(nèi)．
那么如何來看冪函數(shù)（為常數(shù)）在第一象限內(nèi)的函數(shù)圖象呢？下面結(jié)合下圖加以分析：
1．冪函數(shù)（為常數(shù)）的圖象均過定點（1，1）（我們
13、稱其為“束點”），即所有冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過束點．
2．兩條相交于束點的直線（y＞0）和y=1（x＞0）把第一象限分成四個區(qū)域：左上區(qū)、左下區(qū)、右上區(qū)、右下區(qū)．那么，冪函數(shù)的圖象的所屬區(qū)域由冪指數(shù)確定：
（１）當＞0時，冪函數(shù)的圖象在左下右上區(qū)；此時函數(shù)圖象呈上升趨勢，在第一象限內(nèi)為增函數(shù)；
（２）當＜0時，冪函數(shù)的圖象在左上右下區(qū)；此時函數(shù)圖象呈下降趨勢，在第一象限內(nèi)為減函數(shù)；
（３）當=0時，冪函數(shù)的圖象為直線y=1（x＞0）；此時函數(shù)圖象為上下區(qū)域的分界線，與x軸平行．
3．當＞0時，冪函數(shù)的圖象除過束點（１，１）外，還過定點（０，０）（即坐標原點）．此時除＝１時冪函數(shù)的圖象為
14、直線外，其他情況下所對應的冪函數(shù)的圖象都屬于“拋物線型”圖象：
（１）當＞1時，冪函數(shù)的圖象呈下凸形狀，與x軸相切；
（２）當0＜＜1時，冪函數(shù)的圖象呈上凸形狀，與y軸相切．
4．當＜0時，冪函數(shù)的圖象只過束點（１，１），不過定點（０，０）．此時所對應的冪函數(shù)的圖象屬于“雙曲線型”圖象，即前面所熟悉的反比例函數(shù)類型：向左上、右下分別逼近于兩坐標軸，并無限接近．
5．冪函數(shù)的圖象與冪指數(shù)大小變化的關系：在右區(qū)（直線x=1的右邊），不同的冪函數(shù)的圖象隨冪指數(shù)的增加而變高；那么對應的，在左區(qū)（直線x=1的左邊與y軸之間的部分），不同的冪函數(shù)的圖象隨冪指數(shù)的增加而變矮．可見，兩個不同的冪函數(shù)的圖象，以束點為變化點，在束點左邊方位高的曲線，對應地在束點右邊就變成了方位低的曲線，反之亦然．
通過冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的函數(shù)圖象的變化，結(jié)合冪函數(shù)本身的奇偶性，同學們可補全函數(shù)圖象，從而全面了解冪函數(shù)圖象的變化情況和冪函數(shù)的性質(zhì)．
（新課程）高中數(shù)學 3.3《冪函數(shù)》學案2 新人教B版必修1
